2024屆北京海淀外國語實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

229

1.已知雙曲線C：三一匕=1的漸近線方程是丁=土一x,則機(jī)=()

m43

A.3B.6

341

2.數(shù)列一,一,一,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()

472

-----B.a=

3n+l-----------------n+3

111

3.已知數(shù)列｛4｝中，4=1前〃項(xiàng)和為S〃，且點(diǎn)P(%,4+I)(〃￡N*)在直線x—y+l=。上，則不+^++^==

"2(〃+1)

x..2,

4.已知實(shí)數(shù)了,y滿足約束條件y.2,貝!]z=x+2y的最大值為()

x+y,6,

1

5.已知a>0、b>0,直線乙：x+(a—4)y+l=0,l2:2bx+y-2=0,且/i，/?，則」一+--的最小值為()

。+12b

A.2B.4

24

c.一D.-

55

6.若數(shù)列1,a,b,c,9是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.5B.-3

C.3D.3或-3

7.某學(xué)校的校車在早上6：30,6：45,7：00到達(dá)某站點(diǎn)，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點(diǎn)，且到達(dá)的時(shí)

刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過5分鐘的概率是（）

11

A.—B.-

23

11

C.一D.-

45

8.下列直線中，傾斜角為45。的是（)

A.x+y—1=0B.x+l=0

C.x-y+2-OD?x-tx/^2y-1—0

V2222

9.已知隨圓二十y=1（?！?,?！?）與雙曲線二—與=1相同的焦點(diǎn)，則橢圓和雙曲線的離心G,02分別為（）

3a2ab

A.q=*,4=6

B￡=j=旦

1222

=：,4—6

C.e1D.「"=正

22

10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（l,1,2）,B（-3,1,-2）,則線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(-2,1,2)B.(-l,1,0)

C.(-2,0,1)D.(—1,1,2)

11.過拋物線V=6x焦點(diǎn)R的直線與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，4尸=3反，拋物線的準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)。，則ABC

的面積為（）

A.6V2B.6月

C.3V2D.3A/3

12.設(shè)力，c非零實(shí)數(shù)，且。＞6,則（）

11

A.a+/?>0B.—<—

ab

C.a-Z?>0D.ac>be

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知橢圓二+當(dāng)=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)4、5在橢圓上，且滿足

ab

\AB\=\FiF2\,若令N耳鉆=。且Oe今,；，則該橢圓離心率的取值范圍為

14.長方體A3CD—AgG。中，A3=AD=2,AA=1,已知點(diǎn)”與4G三點(diǎn)共線且，則點(diǎn)”到平

面ABC。的距離為

15.某古典概型的樣本空間O=｛。也c,d｝,事件A=｛a,Z?｝,貝!|P（A）=.

16.過點(diǎn)P（2,l）與直線2x—y+1=0平行的直線的方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

4

17.（12分）在阿中，角4B,C的對邊分別是a,dc,已知a=61=5,cosA=—二

（1）求角8的大??；

（2）求三角形腦的面積.

18.（12分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答

①過（-1,2）；②與直線3x-4y+2=0平行；③與直線4x+3y-1=0垂直

問題：已知直線/過點(diǎn)M（3,5）,且______

（1）求/的方程；

（2）若/與圓/+/一4x—6y+9=0相交于點(diǎn)A、B,求弦A3的長

19.（12分）已知橢圓F：與+/=1（?！?〉0）經(jīng)過點(diǎn)（I,?）且離心率為g,直線4和4是分別過橢圓廠的左、

右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線，它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、3和C、D,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線43和直線CZ＞相交于M.記直

線OA,OB,OC,OD的斜率分別為kAO,kB0,kco,kD0,且上AO+kBO=kco+kpo

（1）求橢圓廠的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）是否存在定點(diǎn)P,Q,使得|。河|+|加|為定值.若存在，請求出尸、。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

20.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且S〃=2a“—3”（〃eN*）

（1）證明數(shù)列+3｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）在%與。“+1之間插入“個(gè)數(shù)，使得包括（與4+1在內(nèi)的這〃+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為勾，求數(shù)列:的

前n項(xiàng)和Tn

21.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S〃，q=2,且a,,.=24+2

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

（2）令%=△~”，記數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和為北，求證：Tn<3

22.（10分）某項(xiàng)目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元）之間存

在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

補(bǔ)貼額X（單位：百萬元）23456

經(jīng)濟(jì)回報(bào)y（單位：千萬元）2.5344.56

（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程夕=%+6；

（2）為高質(zhì)量完成該項(xiàng)目，決定對負(fù)責(zé)該項(xiàng)目的7名工程師進(jìn)行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格.現(xiàn)從這7名工程

師中隨機(jī)抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

支（%-元）（y-刃

參考公式：$-------------,a=y-bx

可2

i=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線求得機(jī)的值.

【詳解】依題意可知加>0,

雙曲線片—其=1的漸近線為工—斗=0,丁=百//=±展》，

m4tn4m7m

所以=3,m=9.

故選：C

2、A

【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項(xiàng)公式，即可得答案.

341345

【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列一,一,一,…的前三項(xiàng)為：,一,一,

4724710

所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為4=-------

3〃+1

故選：A

3、C

【解析】點(diǎn)eN*）在一次函數(shù)上y=x+l的圖象上,

aa

■-n+i-n=1'

二數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為4=1,公差為1,

/.an=n,

???數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S"=幽土2,

Sn〃(〃+1)n+1)

1/1111In

+H----2-1-----1---------F+—

S“(223n〃+l

故選C

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和

4、A

【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫出

向可行域平移即可求解.

【詳解】作出可行域，如圖所示

Iz

z=x+2y轉(zhuǎn)化為y=一5兀+5,令z=0,則x+2y=0,

作出直線x+2y=0并平移使它經(jīng)過可行域點(diǎn)，經(jīng)過5時(shí),

fx=2x=2.、

小解得一所以5(2,4)

[x+y=6['=4

z

此時(shí)5取得最大值，即z有最大值，即Zm”=2+2x4=10

故選：A.

5、D

【解析】先由/1，2,可得a+23=4,變形得:[(“+1)+2可=1,所以々+4=1[(0+1)+2可[上+《

化簡

5〃+12b51a+121J,

后利用基本不等式求解即可

【詳解】因?yàn)閍>0、b>Q,直線/i：x+(a—4)y+l=0,/2：26x+y—2=0,且

所以2b+a—4=0,即a+2Z?=4,

所以(a+l)+2匕=5,所以g[(a+l)+2可=1,

所以工+:=

—[(?+1)+2可?J1

1〃+1

2+

5~2b

1a+12b4

>—2+2,

-52b〃+15

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?衛(wèi)，即力=3時(shí)，取等號(hào)，

2ba+i24

114

所以—L+力的最小值為一，

a+l2b5

故選：D

6、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解

【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q,

;數(shù)列1,a,b,c,9是等比數(shù)列，

??q—1,=9,??。5=%xq,

故9=lx/,解得q=±6，

:?b=a?=%xq2-3

故選：C

7、B

【解析】求出小明等車時(shí)間不超過5分鐘能乘上車的時(shí)長，即可計(jì)算出概率.

【詳解】6:40至7：10共30分鐘，

小明同學(xué)等車時(shí)間不超過5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，

共10分鐘，所以所求概率為

故選：B

8、C

【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.

【詳解】由直線傾斜角為45。，可知直線的斜率為左=1,

對于A,直線斜率為左=-1,

對于B,直線無斜率，

對于C,直線斜率左=1,

對于D,直線斜率左=在，

2

故選：C

9、B

【解析】設(shè)公共焦點(diǎn)為（±c,0）,推導(dǎo)出片=2/，可得出c=^a,進(jìn)而可求得弓、e2的值.

【詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為(±c,0),貝!1。2=3〃-3/=/+/?2,貝；］儲(chǔ)=2/,

即。2=3片，故,力a，

22

故選：B

10、B

【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)41,1,2),8(-3,1,-2),

則線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)是(Y1-3，——1+1，?2-2)=(-1，1)0)

222

故選：B.

11、B

【解析】畫出圖形，利用已知條件結(jié)合拋物線的定義求解邊長CEBK,然后求解三角形的面積即可

【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/,過A作AM_L/于過B作BNL于N,過3作于K,

設(shè)忸司=加，則根據(jù)拋物線的定義可得忸N|二加JAF|=|AM|=3M,|AB|二4%

|AK|=2m,cosZ.BAM==—=>Z.BAM=60,|CF|=p=—m=39m=29/.\BK\=2y/3m=4A/3,

AB22

ABC的面積為S^SACF+SBCF=；?|b|?忸K|=66，

故選：B.

【解析】對于A、B、D；取特殊值否定結(jié)論;

對于C：利用作差法證明.

【詳解】對于A：取a=-1/=-2符合已知條件，但是。+匕>0不成立.故A錯(cuò)誤;

對于B：取a=1/=-2符合已知條件，但是！=1,?=—工，所以不成立.故B錯(cuò)誤；

ab2ab

對于C：因?yàn)椤?gt;6,所以a—/?>0.故C正確；

對于D：取a=l力=—2,c=-1符合已知條件，但是ac=—l,bc=2,所以ac>A不成立.故D錯(cuò)誤;

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

「I

【解析】由145|=山閶得居為矩形，則跳;=2c-sin6,A耳故e=*=--------------,結(jié)

asin9+cos0

合正弦函數(shù)即可求得范圍

【詳解】由已知可得AB=2c,且四邊形為矩形

所以BFX=2c-sin0,AFX=2c-cos6=BF2,

又因?yàn)?4+BF2=2a,所以2c-sin。+2c-cos。=2a

e=—c=----1--=-----1---

得離心率asin0+cos0/r.(n萬、

?2sm■一

I4J

71

因?yàn)楣?可得sin[e+1

4

從而ew

故答案為：亨，*

【解析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可求即求?

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,G（2,2』）,4（2,0,1）,

A

y

因?yàn)辄c(diǎn)H與4G三點(diǎn)共線且AG=（2,2,1）,

設(shè)AH=/L4G=彳（2,21）=（242%/1）,即〃（2424力），

.?.4//=（22-2,244-1）,

,,.B.H-Aq=（2A-2,22,A-l）-（2,2,1）=42-4+42+2-1=0,

2=-,即〃（?口，

9（99

點(diǎn)H到平面ABCD的距離為1.

故答案為：—.

1

15、—##0.5

2

【解析】根據(jù)定義直接計(jì)算得到答案.

21

【詳解】P=：=—.

42

故答案為：—.

16、2x—y—3=0

【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線方程，利用待定系數(shù)法求解即得.

【詳解】設(shè)與直線2%—y+1=。平行的直線的方程為2x-y+c=0（c^l）,

而點(diǎn)P（2,l）在直線2x—y+c=0上，于是得2x2—l+c=0,解得c=—3,

所以所求的直線的方程為2x-y-3=0.

故答案為：2x—y—3=0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴B=30。（2）5a=真^

3

【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系先求sinA=g,由正弦定理可求sinB值，從而可求B的值；（2）先求得

sinC=s%（A+3）=s山（A+30）的值，代入三角函數(shù)面積公式即可得結(jié)果.

詳解：⑴由正弦定理〃“/，、一"I1

3

又“「為銳角sinA=-,由正弦定理B=30°

（2）sinC=s譏（A+6）=s加（A+30）

373-4,

=sinAcos300+cosAsin300=

10

973-12

血而彳

s”=52

點(diǎn)睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近

幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以

及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.

18、⑴3%一4丁+11=0

⑵2百

【解析】（1）可依次根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為一1”求直線I

的方程；

⑵利用垂徑定理即可求圓的弦長.

【小問1詳解】

選條件①：

?.?直線/過點(diǎn)（3,5）及（一1,2）,

直線/的斜率為4=33,

4

依題意，直線/的方程為y—5=j（x—3）,

即3x—4y+ll=0；

選條件②：

3

?.?直線3x—4y+2=0的斜率為三，

4

3

直線/與直線3x-4y+2=0平行，.?.直線/的斜率為2,

4

3

依題意，直線/的方程為y-5=^(%-3)；

即3x-4y+ll=0；

選條件③：

3

???直線4x+3y—1=。的斜率為三，

4

直線/與直線4x+3y-1=0垂直，

3

??.直線/的斜率為％=—,

4

3

依題意，直線/的方程為y-5=z(x-3),

即3x-4y+ll=0；

【小問2詳解】

爐+y2-4x-6y+9=0=>(x-2)2+(y-3y=4

圓心為(2,3),半徑為2,

13x2-4x3+111

圓心到直線3x-4y+11=0的距離為d=J———L=1

V32+42

?*.\AB\=2d2?-f=2上

22

19、(1)——■i-^—=1；

32

⑵存在點(diǎn)P(o,-1),2(0,1),使得1PM+|Q"|為定值WL

【解析】(1)設(shè)a=",c=t,b=M，結(jié)合條件即求；

(2)由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得kA0+kBO=——六，kco+kD0=—-再結(jié)合條件可得點(diǎn)

2

M(羽y)的軌跡方程為］+必=1,然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.

【小問1詳解】

22

設(shè)a=，c—t9b=yf2t,t>Qf橢圓方程為：2=1,

橢圓過點(diǎn)

I2

?手+定=1'解得I'

22

所以橢圓F的方程是上+匕=1

32

【小問2詳解】

由題可得焦點(diǎn)與區(qū)的坐標(biāo)分別為（—1,0），（1,0），

當(dāng)直線45或CD的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（—1,0）或（1,0）,

當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為叫，加2,點(diǎn)A（%,%），5（乙，%），

直線45為丁="4(1+1),

22

土+2L=1

聯(lián)立《32,得(2+3犯?卜?+6若1+3町2-6二0

y=mi(x+1)

r,6m,23m,2-6

則“#%=一江薪汽演=三薪'A＞（），

/、

4m

kAO+^BO=~+~=小=犯2+^^二仍2-l

2c

XXYY\

4XBIAB7I—2

同理可得，kco+kDO=-

因?yàn)閗AO+kBO=kco+kDO,

—4叫一4叫

所以,化簡得（叫牲+2）（呵一叫）=。

“彳—2—2

由題意，知叫片機(jī)2，所以g+2=0

設(shè)點(diǎn)M（x,y）,貝卜4=」一，m?=。一

X+1X~1

2

所以上?上+2=0,化簡得匕+必xw±l)

x+1x-12

當(dāng)直線4或，2的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,0)或(1,0),也滿足此方程

2

所以點(diǎn)在橢圓]+必=1上，

根據(jù)橢圓定義可知，存在定點(diǎn)P(O,-1),e(o,i),使得歸為定值2&

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點(diǎn)M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題

得到解決.

20、(1)證明見解析，an=32-3

⑵

【解析】(1)根據(jù)公式。〃=S"—得至!]?！?2q_1+3,得到烏三=2,再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.

an-l+3

(2)根據(jù)等差數(shù)列定義得到a=」32，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.

n+1

【小問1詳解】

Sn=2an-3n,當(dāng)〃=1時(shí),Sr=2a1-3,得至!]%=3；當(dāng)時(shí)，Sn_x=2an_1-3(n-1),

兩式相減得到an=S“—Sn_｛=2an-3n-2an_x+3(?-l),整理得到an=2an_x+3,

即4+3=2(&T+3),故+[=2,

數(shù)列｛q+3｝是首項(xiàng)為6,公比為2的等比數(shù)列，4+3=6-2"T,

即?！?6-21-3=3-2"-3,驗(yàn)證”=1時(shí)滿足條件，故。“=3-2"-3.

【小問2詳解】

b3?2用—3—3-2〃+33Q故1一二+1」+1:丫

"n+1n+1n+1)bn3-2"3(2)’

升誓編+券齒…空⑶

2_丁=1±1.臼+出.臼+出.臼+…+ZL±1.臼，

2"3⑶33⑶3⑶

兩式相減得到：=HIH

整理得到：

2

7

n+l

21、(1)an=2-2

（2）證明見解析

【解析】（1）依題意可得4+1+2=2（%+2）,即可得到｛%+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式；

F7+1

（2）由（1）可得利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；

【小問1詳解】

解：因?yàn)閝=2,