專題Ol導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

?.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

J(x)=c(c為常數(shù))/(X)=O

=Xa(α∈Q,α≠0)f(x)-axa1

火X)=SinXf(X)-COSX

fix)=COSX/(X)=-SinX

fix)=a?a>0?cι≠i)/(%)=α'lna

Λ-r)=et/W=ev

,穴X)=Iog(K(α>0且存1),，⑴-xlna

/(x)=:

T(X)=InX

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若了(X)，g'(χ)存在，則有[cKx)Y=c7(x);[∕U)±g(χ)]'=Λχ)±g'(χ);[Aχ)g(χ)]'=F(X)g(χ)+火χ)g'(χ);[爆]'

3.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=Λ")和“=g(x),如果通過(guò)中間變量小y可以表示成X的函數(shù)，那么稱這

個(gè)函數(shù)為函數(shù))=火〃)與"=g(χ)的復(fù)合函數(shù)，記作y=7(g(χ)).

(2)復(fù)合函數(shù)y=ι∕(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y-f(U),"=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x-y'u-u'x,即y對(duì)X的導(dǎo)數(shù)等

于y對(duì)"的導(dǎo)數(shù)與"對(duì)X的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【方法總結(jié)】

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法

基本原則：先化簡(jiǎn)、再求導(dǎo)；

具體方法：

(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；

(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；

(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；

(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式，再求導(dǎo)；

(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；

(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).

【例題選講】

［例1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=x2sinx；

COSX

(2)y=

(3)y=xsin^2x+^jcos^2x+^J；

(4)y=ln(2r-5).

[例2]⑴(2020.全國(guó)ΠI)設(shè)函數(shù)火X)=裊.若/⑴貝IJa=

(2)已知函數(shù)?r)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),XX)=2X2-3√(1)+1ΠΛ,則11)=.

(3)已知力(X)=Sinx+cosX,%+ι(x)是啟x)的導(dǎo)函數(shù)，即用X)=∕√(x),力(X)=打(X),…，fn+ι(,x)=fn'(x),n

eNs,則及022。)等于()

A.—sinχ-cosxB.SinX-cosxC.—sinx+cosxD.sinx÷cosx

(4)(多選)給出定義：若函數(shù)./U)在。上可導(dǎo)，即〃x)存在，且導(dǎo)函數(shù)/(x)在。上也可導(dǎo)，則稱,/U)在。

上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記r0)=uQ))',若/'(χ)<o在。上恒成立，則稱y(x)在。上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)

在(0,號(hào)上是凸函數(shù)的是()

A.∕x)=sinx+cosxB.Kr)=Inx—2XC.J(x)=xi+2χ-1D.Kr)=Xer

(5)已知y(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),若滿足MFa)-yu)=]2+χ,且HI)21,則HX)的解析式可能是()

A.x1-χ?nx+xB.x2-xlnχ-χC.x2+xlnx+xD.x2+2xlnx+x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.ɑr÷^)z=l÷~2B.(IOg2、丫=；由：2ɑ-(5")'=5'log5ΛD.(x2cosx)f=-2xsinx

2.函數(shù)y=xcosχ-sinx的導(dǎo)數(shù)為()

A.xsinXB.—xsinxC.xcosxD.-χcosX

3.(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(sinQy=CoSa(a為常數(shù))B.(sin2x),=2cos2x

c?(Wy=Ξ?D.(ev-Inx+2x2)z=er-?+4x

4.已知函數(shù)凡r)=sin淙X?I則，(x)=

()，∈

5.己知函數(shù)人幻的導(dǎo)函數(shù)為/(x),記力(X)=/X力(X)=∕ι(x),…，fn+?(x)=fl1(x)(nN*),若於)=期inx,

則及019(4)+我。2G)=()

A.—2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

6.fix)=x(2021+lnx),若/(κo)=2O22,則M)等于()

A.e2B.1C.In2D.e

7.已知函數(shù)於)="τ{+eXcosx,若，(O)=-1,貝IJa=.

8.已知函數(shù)於)=ln(2x—3)+。Xer,若/(2)=1,則α=.

9.己知函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足關(guān)系式段)=∕+34(2)+lnx,則/(2)的值等于()

99

A.-2B.2C.-4D.W

10.已知yU)=W+2√(l),則/(0)=.

11.設(shè)函數(shù)/U)在(0,+oo)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且y∏nx)=x+lnx,則/(D=.

12.已知，(1)是函數(shù)7U)的導(dǎo)數(shù)，ΛX)=∕(1)?2Λ+X2,則/(2)=()

12-8E224_

?,l-21n2B-l-2ln2C,l-21n2D，~2

13.(多選)若函數(shù)兀V)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則1X)的解析式可能為()

A.X%)=3cosxB.∕Λ)=Λ3+XC.j(x)=x+~D.J(x)=ex+x

3

14.Kr)="j?+R,其導(dǎo)函數(shù)為/(x),貝IJ42020)+4-2020)+/(2019)-/(—2019)的值為()

A.1B.2C.3D.4

15.已知凡T)=OX4+bcosx+7χ-2.若/(2020)=6,貝∣J∕(-2020)=.

16.分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

^lIAXXI~~；—x3+2r-x2lnx

(l)y=e'lnx;(2)y=A(x20+-l+lpJ；(3)y=χ-sin5cos5;(4)y=ln√l+2x.(5次X)=-------------------

專題02曲線的切線方程

考點(diǎn)一求切線的方程

【方法總結(jié)】

求曲線切線方程的步驟

(1)求曲線在點(diǎn)P(Λ?,和)處的切線方程的步驟

第一步，求出函數(shù)y=√(x)在點(diǎn)X=XO處的導(dǎo)數(shù)值/(xo),即曲線y=，/(X)在點(diǎn)P(X0，√(xo))處切線的斜率；

第二步，由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為y~fi,χo)=∕(xo)?(x~xo)■

(2)求曲線過(guò)點(diǎn)Pa0,加)的切線方程的步驟

第一步，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P(XI,./(Xi)):

第二步，寫出過(guò)Pa1,人制))的切線方程為卜一次乃)=/(乃)(X-X|)；

第三步，將點(diǎn)P的坐標(biāo)(xo,%)代入切線方程，求出x∣;

第四步，將Xi的值代入方程y-/(XI)=/(xι)(χ-Xi)可得過(guò)點(diǎn)P(X0，州)的切線方程.

注意：在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線

方程，在點(diǎn)尸處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)尸不一定是切

點(diǎn).

【例題選講】

[例l](l)(2021.全國(guó)甲)曲線y=TW在點(diǎn)(一1,一3)處的切線方程為.

(2)(2020.全國(guó)I)函數(shù)y(x)=x4—2P的圖象在點(diǎn)(1,41))處的切線方程為()

A.y--2x~lB.y-~2x+?C.y=2χ-3D.y-2x+1

(3)(2018?全國(guó)I)設(shè)函數(shù)y(x)=x3+(α—l)χ2+αr.若危)為奇函數(shù)，則曲線y=∕(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方

程為()

A.y=~2xB.y=~xC.y=2xD.y=x

(4)(2020?全國(guó)I)曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

(5)已知函數(shù)兀V)=Xl?u,若直線/過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=Λx)相切，則直線/的方程為.

(6)(2021?新高考I)若過(guò)點(diǎn)伍，力可以作曲線y=e'的兩條切線，則()

A.eh<aB.ea<bC.O<a<e*D.O<txea

(7)已知曲線人X)=X3—》+3在點(diǎn)P處的切線與直線x+2y-l=0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

(8)(2019?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一e,

一l)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

(9)設(shè)函數(shù)HX)=V+(α-l)?N+以，若人x)為奇函數(shù)，且函數(shù)y=∕(x)在點(diǎn)P(X°，凡To))處的切線與直線尤

+y=0垂直，則切點(diǎn)P(X0,?ro))的坐標(biāo)為.

Y—1

(10)函數(shù)y=RY在點(diǎn)(0,—1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為()

111

-UD

-一

A.8B.42

(11)曲線y=x2-lnx上的點(diǎn)到直線X一廠2=0的最短距離是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.設(shè)點(diǎn)尸是曲線y=V—√5χ+j上的任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)尸處切線的傾斜角ɑ的取值范圍為()

「2H

B.-y,

2.函數(shù)式X)=e，+：在x=l處的切線方程為.

3.(2019?全國(guó)I)曲線y=3(x2+x)e"在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

4.曲線式X)=-在點(diǎn)P(l,寅1))處的切線/的方程為()

A.x+y-2=0B.2x+y-3=0C.3x+y+2=0D.3x+y-4=0

5.(2019?全國(guó)II)曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(兀，-1)處的切線方程為()

A.x~y~π-1=0B.2x~y~2π~1—0

C.2x+y-2π+l=0D.x+y-π+l=0

Y

6.(2019.天津)曲線y=cosx一爹在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

7.已知為奇函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則曲線y=∕(x)在X=O處的切線方程為.

8.己知曲線尸53上一點(diǎn)《2,1),則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為.

9.已知函數(shù)次X)=XlnX,若直線/過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=∕(x)相切，則直線/的方程為.

10.設(shè)函數(shù)y(x)=∕(J)χ2-2χ+y(l)lnx,曲線y(x)在(1,犬1))處的切線方程是()

A.5χ-y-4=0B.3χ-y-2=0C.χ-y=0D.x=1

H.我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施"以直代曲”的近似計(jì)算，用正〃邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”

的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”

的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算.設(shè)40

=In(I+x),則曲線尸危)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為,用此結(jié)論計(jì)算ln2022-ln2021≈

12.曲線火X)=X+Iiu在點(diǎn)(1,1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()

311

2-C--

A.B.22D.4

14

13.已知曲線y=p3+g.

(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;

(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程.

14.設(shè)函數(shù)√(x)=αχ-曲線y=∕(x)在點(diǎn)(2,y(2))處的切線方程為7x—4y-12=0.

(1)求貝x)的解析式；

(2)證明曲線兀r)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

15.(2021?全國(guó)乙)已知函數(shù)7(X)=Λ3-Jt2+4x+1.

(1)討論yω的單調(diào)性；

(2)求曲線y=∕(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=∕(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

考點(diǎn)二求參數(shù)的值(范圍)

【方法總結(jié)】

處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①

切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.

注意：曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.

【例題選講】

[例1](1)已知曲線＜x)=nχ3+ι∏x在(1,∕U))處的切線的斜率為2,則實(shí)數(shù)α的值是.

(2)若函數(shù)火X)=InΛ+Zx2-Oi的圖象上存在與直線2χ-y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

(3)設(shè)函數(shù)兀v)="lnx+/3的圖象在點(diǎn)(1,一1)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則α+6的值為.

(4)(2019?全國(guó)In)已知曲線y=αe'+xlnx在點(diǎn)(1,優(yōu))處的切線方程為y=2x+'則()

l

A.α=e,b=-?B.a=e,b=1C.α=e-lb=lD.a=e~fb=-?

(5)設(shè)曲線y=受在點(diǎn)(1,一2)處的切線與直線4x+力+c=0垂直，則5=()

A.IB.—IC.3D.—3

(6)已知直線y=fcr—2與曲線y=xlnx相切，則實(shí)數(shù)Z的值為.

(7)已知函數(shù)｛X)=x+祗，若曲線y=?r)存在兩條過(guò)(1,0)點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是.

(8)關(guān)于X的方程2僅+3=-有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.若曲線y=Mnx在x=l與x=f處的切線互相垂直，則正數(shù)，的值為.

2.設(shè)曲線y=e"'Tn(x+l)在X=O處的切線方程為2Λ—y+l=0,則“=()

A.0B.1C.2D.3

3.若曲線Ju)=V—x+3在點(diǎn)尸處的切線平行于直線y=2x—1,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,一3)

4.函數(shù)y(x)=lnx+αx的圖象存在與直線2x—y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

5.己知函數(shù)段)=XCoSX+αsinX在X=O處的切線與直線3x—y+1=0平行，則實(shí)數(shù)”的值為.

6.已知函數(shù)段)=%3+αx+6的圖象在點(diǎn)(1,川))處的切線方程為2r—y—5=0,則a=；b=.

7.若函數(shù)次功=℃一：的圖象在點(diǎn)(1,41))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,4),貝IJa=.

8.若曲線丫=廿在X=O處的切線也是曲線y=lnx+b的切線，則。=()

A.—1B.1C.2D.e

9.曲線y=3+l)e*在點(diǎn)(0,1)處的切線與X軸交于點(diǎn)(一/0),!ΦJa=；

10.過(guò)點(diǎn)M(—1,0)引曲線C：y=2x3+αr+“的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A、B兩點(diǎn),若∣M4∣

=?MB?f則4=.

11.已知曲線C：X%)=x3-3x,直線/：y=aχ-y∣3a,則。=6是直線/與曲線C相切的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.己知點(diǎn)仞是曲線y=∣?—2Λ2+3X+1上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為/,求：

(1)斜率最小的切線方程；

(2)切線/的傾斜角α的取值范圍.

13.已知函數(shù)/(X)=ΛJ+(1—a)/一α(α+2)x+8(a,ft∈R).

(1)若函數(shù)4v)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為-3,求處人的值;

(2)若曲線y=∕(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求”的取值范圍.

14.已知函數(shù)段)=∣r3-2√+3x(χeR)的圖象為曲線C.

(1)求在曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；

(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

專題03曲線的公切線方程

【方法總結(jié)】

解決此類問(wèn)題通常有兩種方法

(1)利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；

(2)設(shè)公切線/在y=∕(x)上的切點(diǎn)PGl√(x∣)),在y=g(x)上的切點(diǎn)Pι(x2,g(xι)),則/(Xl)=g'S)=如三出

X?-X2

注意：求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，為了使思路更清晰，

一般是把兩條曲線分開(kāi)考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋

物線相切可用判別式法.

【例題選講】

[例1]⑴(2020?全國(guó)In)若直線/與曲線尸表和圓/+y2=/都相切，則/的方程為()

A.y=2x+IB.y=2x+^C.y=^.v÷ID.

(2)已知危)=e'(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+2,直線/是火x)與g(x)的公切線，則直線1的方程

為.

(3)曲線Ci：y=lnx+x與曲線C2：y=N有條公切線.

(4)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=0r2+(α+2)χ+l相切，貝!]。=.

(5)(2016?課標(biāo)全國(guó)H)若直線y=fcc+〃是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=e'的切線,則b=

(6)已知曲線|X)=InX+1與g(x)=x2-x+α有公共切線，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.若直線/與曲線y=e'及y=—%?都相切，則直線/的方程為.

2.已知函數(shù)yu)=N的圖象在x=ι處的切線與函數(shù)g(x)=$的圖象相切，則實(shí)數(shù)。等于()

A.y[eB.C.坐D.e√e

3.已知函數(shù)yU)=dj+l,g(x)=Hn%,若在X=(處函數(shù)KX)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為(.)

A.；B?；C.1D.4

4.若於)=lar與g(x)=χ2+Qχ兩個(gè)函數(shù)的圖象有一條與直線產(chǎn)工平行的公共切線，則〃等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

5.若直線y=fcr+6是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則/?=.

17

6.已知yu)=ι∏x,雙元)=//+〃?%+,加V0),直線/與函數(shù)yu),g(無(wú))的圖象都相切，與犬工)圖象的切點(diǎn)為

(1,11))，則m=.

7.已知定義在區(qū)間(O,+co)上的函數(shù)於)=—2γ2+m,g(x)=-3hir-X,若以上兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn),

且在公共點(diǎn)處切線相同，則m的值為()

A.2B.5C.1D.0

8.若直線y="+匕是曲線y=*的切線，也是曲線y=e'—1的切線，則Z+b等于()

In2I-In2-In2-1In2

A.—^2-B.—2—C.-2—D.

9.設(shè)曲線y=d在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=&x>0)在點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為.

10.已知曲線火X)=Λ3+ΛX+［在X=O處的切線與曲線g(x)=—Inx相切，則”的值為.

11.已知曲線y=e"在點(diǎn)(x∣,e")處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)3，】詐)處的切線相同，則(制+1)3—1)=(

A.-1B.-2C.1D.2

12.曲線C∣:y=/與曲線C2：y=mY4>0)存在公切線，則α的取值范圍是.

13.若存在過(guò)點(diǎn)。(0,0)的直線/與曲線y=x3-3∕+2x和y=x2+“都相切，求α的值.

14.已知函數(shù)y(x)=αr3+3χ2-60χ-11,g(x)=3%2+6x+12和直線/n：y-kχ-?^9,且『(一1)=0.

(1)求。的值;

(2)是否存在k,使直線m既是曲線y=∕(x)的切線，又是曲線y=g(x)的切線？如果存在，求出k的值;

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

專題04函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

已知函數(shù)40在區(qū)間伍，力上可導(dǎo)，

(1)如果/(x)>0,那么函數(shù)y=∕(x)在(〃，與內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)如果/(x)V0,那么函數(shù)y=∕(x)在3，份內(nèi)單調(diào)遞減；

(2)如果/(x)=O,那么函數(shù)y=∕(x)在(α,份內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

注意：1.在某區(qū)間內(nèi)/(x)>o(T(χ)<o)是函數(shù)yu)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.

2.可導(dǎo)函數(shù)段)在(4,份上是增(減)函數(shù)的充要條件是VXe(a,b),都有/(χ)≥O(f(Λ?)≤O)且/(X)在5，b)

上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

(1)在函數(shù)定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào).

(2)兩個(gè)或多個(gè)增(減)區(qū)間之間的連接符號(hào)，不用“U”,可用“，”或用“和”.

考點(diǎn)一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

【方法總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)/(x)的零點(diǎn)；

第3步，用/(x)的零點(diǎn)將段)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出了(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出

函數(shù)y=Λχ)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

【例題選講】

【例H(I)定義在［-2,2］上的函數(shù)40與其導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C,D

四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為一；，T1,則函數(shù)y岑的單調(diào)遞減區(qū)間是()

D.(1,2)

(2)已知函數(shù)y=∕(x)的導(dǎo)函數(shù)y=∏x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=∕(x)的圖象可以是()

(3)函數(shù)y(x)=x2+xsinx的圖象大致為()

(4)函數(shù)Kr)=X+2在*的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

(5)設(shè)函數(shù)式X)=X(e，-1)一%2,則y(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(6)函數(shù)y=*—Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)

(7)設(shè)函數(shù)./(X)=2(∕-x)InX-/+2Λ,則函數(shù)4x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(0,￡)B.&1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)

(8)已知定義在區(qū)間(0,兀)上的函數(shù)式X)=X+2CoSX,則./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(9)函數(shù)兀r)=2kiIuI+cos2x在[一],市上的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.和[0，∣]B.[-1,0]和￠,?]AI-3一親和京，f]D.[-∣,1]

(IO)下列函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y(x)=sin2jcB.fix)-xexC.fi,x)-xi-χD.式X)=—x+lnx

Inγ—I—k

［例2］已知函數(shù)於)=—^(A為常數(shù))，曲線y=Λx)在點(diǎn)(1,貝I))處的切線與X軸平行.

(1)求實(shí)數(shù)Z的值；

(2)求函數(shù)y(x)的單調(diào)區(qū)間.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.如圖是函數(shù)y=Λx)的導(dǎo)函數(shù)y=∕(x)的圖象，則下列判斷正確的是()

,y=Γ(χ)

書yf一

A.在區(qū)間(-2,1)上7(x)單調(diào)遞增B.在區(qū)間(1,3)上y(x)單調(diào)遞減

C.在區(qū)間(4,5)上y(x)單調(diào)遞增D.在區(qū)間(3,5)上次x)單調(diào)遞增

2.函數(shù)y=∕(x)的導(dǎo)函數(shù)y=∕f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=∕U)的圖象可能是()

3.(多選)已知函數(shù)7U)的導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，那么下列圖象中不可能是函數(shù)兀V)的圖象的是()

4.函數(shù)火x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)有下列信息：

◎(x)>0時(shí)，一1令<2；射(X)Co時(shí)，XC-I或x>2；酗(*)=0時(shí)，X=-I或x=2.

則函數(shù)/U)的大致圖象是()

5.函數(shù)y=√(x)的圖象如圖所示，則y=∕(x)的圖象可能是()

A.(0,+00)B.+∞C.(—00,-1)

8.函數(shù)7U)=a—2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間為

9.函數(shù)yu)=α-De”一/的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

10.函數(shù)yu)=χ2-21IU的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(一8，1)D.(-1,1)

3

11.函數(shù)y=x+g+21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)

12.函數(shù)Tu)=XInΛ+X的單調(diào)遞增區(qū)間是()

?-(?+∞)B.(0,F)C.隹,+∞J

13.已知函數(shù)7(x)=∕-5x+21nx,則函數(shù)次1)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

B.(0,1)和(2,+∞)C.(0,

和(2,+∞)D.(1,2)

14.函數(shù)大幻=自的單調(diào)遞減區(qū)間是.

15.函數(shù),/(x)=Λosx的單調(diào)遞增區(qū)間為.

16.函數(shù)y=XCOSX-sin?在下面哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增()

(π3π?

?-GτjB.(π,2π)C.(2，2JD.(2π,3π)

17.己知定義在區(qū)間(一兀，兀)上的函數(shù)7U)=xsinx+COSx,則J(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

18.(多選)若函數(shù)g(x)=e7U)(e=2.718…，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在?r)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)次x)

具有M性質(zhì).下列函數(shù)不具有M性質(zhì)的為()

A.B-Λx)=x2+∣c.fix)=sinXD.J(x)=x

19.已知函數(shù),/Cr)=++/.

⑴求曲線於)在點(diǎn)(一小/(一部處的切線方程;

(2)討論函數(shù)y=∕(x)e?'的單調(diào)性.

20.設(shè)函數(shù)y(x)=xe"r+bx,曲線y=Λx)在點(diǎn)(2,正2))處的切線方程為y=(e—l)x+4.

(1)求α,人的值；

(2)求y(x)的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)二比較大小或解不等式

【方法總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

問(wèn)題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

【例題選講】

[例3](1)在R上可導(dǎo)的函數(shù)段)的圖象如圖所示，則關(guān)于X的不等式獷(x)<0的解集為()

A.(-8,-1)U(O,1)B.(-1,O)U(1,+∞)

C.(—2,—1)U(1,2)D.(—8,—2)U(2,+∞)

(2)已知函數(shù)<x)=XSiRX,x∈R,則//)，川)，/(一§的大小關(guān)系為()

A.X-∣)>ΛD>Xf)B,*)>/(一(M})c.Xf)>ΛD>∕(-f)D,/(-f)>Xf‰D

(3)已知奇函數(shù)次幻是R上的增函數(shù)，g(x)=xf(x),貝∣J()

A.j?jɑɑg?l)>^(2-2)>^(2-∣)B.^log3^>^(2-∣)>^(2-∣)

C.g(2-∣)>g(2-∣)>?(log3ξ)D.g(2-∣)>g(2-∣)>g(log3ξ)

1-Y

(4)對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)兀V),若滿足777二°，則必有()

J?^)

A.Λ0)+Λ2)>2∕(l)B.ΛO)+Λ2)<2A1)C.Λ0)+Λ2)<2ADD.Λ0)+∕2)>2∕(l)

(5)已知函數(shù)y(x)=e*-e=—2x+1,則不等式√(2χ-3)>1的解集為.

(6)設(shè)函數(shù),/(X)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，|X)=U—cosx,則不等式式及一l)+√(χ-2)>0的解集為()

A.(-8,1)B.(-8,?jC.(；，+oo)D.(1,+∞)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)y=∕U)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式?√7(x)≥0的解集為.

2.已知函數(shù)y(x)=3x+2cosx,若。=/(3也)，6=人2),c?=∕(log27),則4,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<hC.b<a<cD.b<c<a

3.已知函數(shù)段)=sinx+cosχ-2x,a=J(-π)fb=修),c=∕ln2),則〃，b,C的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

4.函數(shù)./(X)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若為X)=J(2—x),且當(dāng)xG(—8,1)時(shí)，(X-1V,(X)<0,設(shè)。=式0),

C=A3),則a,b,C的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

5.已知函數(shù)/)=Λ3—2x+-p,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若火”-1)+大2取0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

6.已知函數(shù)HX)=53—4x+2e*—2e",其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，?r√(w-l)+√(2α2)≤0,則實(shí)數(shù)”的取

值范圍是()

A.(-8,—1]B.+8)C.(-1，D.—1.J

7.若函數(shù)外)=hιx+ev-siar,則不等式於一1)Wyo)的解集為.

8.已知函數(shù)y(x)=xsinx+cosx+χ2,則不等式4nχ)+y⑴的解集為.

考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【方法總結(jié)】

利用單調(diào)性求參數(shù)的兩類熱點(diǎn)問(wèn)題的處理方法

(1)函數(shù),/U)在區(qū)間D上存在遞增(減)區(qū)間.

方法一：轉(zhuǎn)化為TXX)>0(<0)在區(qū)間。上有解”；

方法二：轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間D的一個(gè)子區(qū)間使/(x)>0(<0)成立”.

(2)函數(shù)y(x)在區(qū)間D上遞增(減).

方法一：轉(zhuǎn)化為‘W巨O(MO)在區(qū)間D上恒成立”問(wèn)題；

方法二：轉(zhuǎn)化為“區(qū)間D是函數(shù)y(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子集”.

【例題選講】

[例4](1)若函數(shù),/(X)=Zr3-3∕nχ2+6χ在區(qū)間(1,+s)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù),W的取值范圍是()

A.(—8,IJB.(—8,1)C.(-∞92]D.(—8,2)

(2)設(shè)函數(shù)√U)=%2-9InX在區(qū)間1,α+l]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

(3)若函數(shù)TU)=e*(sinx+Q)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[-y∣2f+∞)B.[1,+oo)C.(—8,—也]D.(―∞,IJ

(4a2,C

?xl+-;—-4。，0<r≤^,

(4)若y(x)=jx+“一是(0,+8)上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

[x—xlnX,x>a

A.[1,e2]B.[e,e2]C.[e,+∞)D.[e2,+∞)

(5)若函數(shù)yU)=-∣r3+++20x在弓，+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則”的取值范圍是.

(6)若函數(shù)J(X)=2x2—∣nX在其定義域的一個(gè)子區(qū)間伙一1,k+l)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

是.

[例5]已知函數(shù)/(x)=InX,g(x)=%χ2+2χ(W0).

(1)若函數(shù)∕z(x)=∕(x)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求”的取值范圍；

(2)若函數(shù)∕z(x)=Λx)-g(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求”的取值范圍；

(3)若函數(shù)"x)=Λx)-g(x)在[1,4]上不單調(diào)，求〃的取值范圍.

[例6]已知函數(shù)段)=Inx,g(x)=^ax+b.

(1)若y(x)與g(x)的圖象在X=I處相切，求g(x);

(2)若夕(X)=哆Fr(X)在[1,+oo)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)T(X)=X2+*若函數(shù)y(x)在[2,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

A.(一8,8)B.(-∞,16]C.(-∞,-8)U(8,+∞)D.(-∞,-16]U[16,+∞)

2.已知函數(shù)"r)=∕ɑ3—N+x在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

*_

3.若y=x+1(q>0)在[2,+s)上是增函數(shù)，則”的取值范圍是.

4.若函數(shù)T(X)=9+'”在百，+oo)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

5.已知函數(shù)7U)=sin2x+4cosχ-辦在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[0,3]B.[3,+∞)C.(3,+∞)D.[0,+∞)

6.若函數(shù)g(x)=ln%+52—s-i)χ存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是()

A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(—8,3)D.(―∞,3]

「

7.已知函數(shù)段)=lnx+(L∕W∈R)在1岳"I可上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

8.己知函數(shù)於)=一余+以一3InX在[3t+l]上不單調(diào)，則I的取值范圍是.

9.(多選)若函數(shù)Kr)=Or3+3∕-χ+l恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)Q的取值可以是()

A.-3B.-1C.0D.2

10.已知二次函數(shù)∕z(x)=0τ2+?r+2,其導(dǎo)函數(shù)y=∕f(χ)的圖象如圖所示，J(x)=6lnx+h(x).

⑴求函數(shù)段)的解析式；

(2)若函數(shù)y(x)在區(qū)間(1,加+鄉(xiāng)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

11.已知函數(shù)"r)=x2+0lnx.

(1)當(dāng)。=—2時(shí)，求函數(shù)yu)的單調(diào)遞減區(qū)間；

2

(2)若函數(shù)g(x)=於)+嚏在［1,+8)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

12.己知函數(shù)"x)=eA-ace'-ameR).

(1)若人外在(0,+8)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)求證：X在(0,2)上任取一個(gè)值，不等式-?J恒成立(注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

?CIN

專題05含參函數(shù)的單調(diào)性討論

【方法總結(jié)】

分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性

討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況，所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析

式中的符號(hào)變化部分，即導(dǎo)數(shù)的主要部分，簡(jiǎn)稱導(dǎo)主.討論時(shí)要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)

符號(hào)的影響，一般來(lái)說(shuō)需要進(jìn)行四個(gè)層次的分類：

(1)最高次基的系數(shù)是否為0,即“是不是”；

(2)導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)，即“有沒(méi)有”；

(3)導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)，即“在不在”：

(4)導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系，即“大不大

牢記：十二