第五章三角函數(shù)《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1本（A版）》5.5.2節(jié)《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》屬于新授課.本節(jié)的內(nèi)容是簡(jiǎn)單的三角恒等變換，主要內(nèi)容是利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來(lái)展現(xiàn)的，通過(guò)例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象和變換目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式，如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等屬性思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力。讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1．能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2．了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．3．體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思考?xì)w納能力，提高其思維靈活性.a.數(shù)學(xué)抽象：公式的應(yīng)用；b.邏輯推理：公式之間的聯(lián)系；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用公式求值；d.直觀想象：公式的靈活運(yùn)用；e.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用三角公式解決實(shí)際問(wèn)題；【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境提出問(wèn)題學(xué)習(xí)了和（差）角公式、二倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富．例７試以cosα表示sin2α2解：α是α2的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin2α中，以α代替2α得cosα=1-2sin所以sin2α2=在倍角公式cos2α=2cos2α-1中，以α代替2α，以得cosα=2cos所以cos2α2=將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除，得tan2α例7的結(jié)果還可以表示為sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))coseq\f(α,2)＝_____±eq\r(\f(1＋cosα,2))_，taneq\f(α,2)＝__±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))并稱為半角公式，符號(hào)由eq\f(α,2)所在的象限決定。歸納總結(jié)因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓剑@是三角恒等變換的一個(gè)重要特點(diǎn)．例８求證：（1）sinαcosβ=1(2)sin這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？證明：（１）因?yàn)閟inα+β=sinαcosβ+sinα-β=將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sinα+β+sinα-β=即sinαcosβ=（2）由（1）可得sinα+β+sinα-β設(shè)α=θ+φ2把α，β代入①，即得sinθ+cosφ=2sin如果不用（１）的結(jié)果，如何證明？歸納總結(jié)例８的證明用到了換元的方法．如把α+β看作θ，α-β看作φ，從而把包含α,β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ，φ的三角函數(shù)式．或者，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求x．它們都體現(xiàn)了化歸思想．例９求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（１）y=sinx+3cosx；（２）分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是y=Asin(x+φ),利用和角公式將其展開，可化為）y=asinx+bcosx的形式．反之，利用和（差）角公式，可將y=asinx+bcosx轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+φ)解：（1）y=sinx+3cosx=2（1=2（sinxcosπ3+cosxsin因此，所求周期為2π，最大值為２，最小值為－２．你能說(shuō)說(shuō)①這一步變形的理由嗎？（２）設(shè)y=3sinx+4cosx=Asinx+φ則3sinx+4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ于是Acosφ=3．于是A所以A2取A＝５，則cosφ=35,由y=5sin可知，所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5例10如圖5.5-2，已知OPQ是半徑為１，圓心角為π2的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP＝α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD分析:要求當(dāng)角取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大,可分二步進(jìn)行.①找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;②由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.設(shè)矩形的面積為,則.對(duì)于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍:由,得.所以當(dāng),即時(shí),因此,當(dāng)時(shí),矩形的面積最大,最大面積為.注：（1）在求解最大值時(shí)，要特別注意“”這一隱含條件;（2）應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后要回歸到實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)三角變換把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(x+)的函數(shù),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化?；瘹w思想通過(guò)開門見山，提出問(wèn)題，利用三角解決證明問(wèn)題，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過(guò)對(duì)三角公式的靈活運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的分析解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．若cosα＝eq\f(2,3)，α∈(0，π)，則coseq\f(α,2)的值為()A．eq\f(\r(6),6)B．－eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(30),6)D．－eq\f(\r(30),6)【解析】由題意知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴coseq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(\r(30),6).【答案】C2．已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，則sineq\f(α,2)等于()A．eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(2\r(5),5)【解析】由題知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sineq\f(α,2)>0，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(5),5).【答案】A3．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，則sin2α的值等于()A．eq\f(7,16)B．－eq\f(7,16)C．－eq\f(9,16)D．eq\f(9,16)【解析】由sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝eq\f(25,16)，所以sin2α＝－eq\f(9,16).【答案】C4．函數(shù)y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期為________．【解析】∵y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.【答案】π5．求證：4sinθcos2eq\f(θ,2)＝2sinθ＋sin2θ.【證明】法一：左邊＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ＋sin2θ＝右邊，所以原式成立．法二：右邊＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝4sinθcos2eq\f(θ,2)＝左邊，所以原式成立．6、如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的周長(zhǎng)最大？【精彩點(diǎn)撥】eq\x(設(shè)∠AOB＝α)→eq\x(建立周長(zhǎng)lα)→eq\x(求l的最大值)【解答】設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝eq\r(2)Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋R.∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，∴l(xiāng)的最大值為eq\r(2)R＋R＝(eq\r(2)＋1)R，此時(shí)，α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,4)，即當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，△OAB的周長(zhǎng)最大．通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，鞏固對(duì)三角公式運(yùn)用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．知識(shí)：如何采用兩角和或差的正余弦公式進(jìn)行合角,借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問(wèn)題是對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和(差)角公式的綜合應(yīng)用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).如何科學(xué)的把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問(wèn)題．2．思想：本節(jié)課通過(guò)由特殊到一般方式把關(guān)系式化成的形式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生探究、歸納、類比的能力.通過(guò)探究如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)．五、作業(yè)1.課時(shí)練2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2．了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．難點(diǎn)：能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．【知識(shí)梳理】1．你能填寫出下面我們學(xué)習(xí)了的公式嗎？；；?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】提出問(wèn)題學(xué)習(xí)了和（差）角公式、二倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富．例７試以cosα表示sin2α例８求證：（1）sinαcosβ=1(2)sinθ+cosφ=2sin例８的證明用到了換元的方法．如把α+β看作θ，α-β看作φ，從而把包含α,β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ，φ的三角函數(shù)式．或者，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x

，y的方程，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求x

．它們都體現(xiàn)了化歸思想．例９求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（１）y=sinx+3cosx；（２）例10如圖5.5-2，已知OPQ是半徑為１，圓心角為π2的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP＝α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．若cosα＝eq\f(2,3)，α∈(0，π)，則coseq\f(α,2)的值為()A．eq\f(\r(6),6)B．－eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(30),6)D．－eq\f(\r(30),6)2．已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，則sineq\f(α,2)等于()A．eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(2\r(5),5)3．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，則sin2α的值等于()A．eq\f(7,16)B．－eq\f(7,16)C．－eq\f(9,16)D．eq\f(9,16)4．函數(shù)y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期為________．5．求證：4sinθcos2eq\f(θ,2)＝2sinθ＋sin2θ.6、如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的周長(zhǎng)最大？【課堂小結(jié)】1．知識(shí)：如何采用兩角和或差的正余弦公式進(jìn)行合角,借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問(wèn)題是對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和(差)角公式的綜合應(yīng)用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).如何科學(xué)的把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問(wèn)題．2．思想：本節(jié)課通過(guò)由特殊到一般方式把關(guān)系式化成的形式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生探究、歸納、類比的能力.通過(guò)探究如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)．參考答案：知識(shí)梳理學(xué)習(xí)過(guò)程例７解：α是α2的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin2α中，以α代替2α得cosα=1-2sin所以sin2α2=在倍角公式cos2α=2cos2α-1中，以α代替2α，以得cosα=2cos所以cos2α2=將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除，得tan2α例８證明：（１）因?yàn)閟inα+β=sinαcosβ+sinα-β=將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sinα+β+sinα-β=即sinαcosβ=（2）由（1）可得sinα+β+sinα-β設(shè)α=θ+φ2把α，β代入①，即得sinθ+cosφ=2sin例９分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是y=Asin(x+φ)

,利用和角公式將其展開，可化為）y=asinx+bcosx的形式．反之，利用和（差）角公式，可將y=asinx+bcosx轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+φ)的形式，進(jìn)而就可以求得其周期和最值了．解：（1）y=sinx+3cosx=2（1=2（sinxcosπ3+cosxsin因此，所求周期為2π，最大值為２，最小值為－２．你能說(shuō)說(shuō)①這一步變形的理由嗎？（２）設(shè)y=3sinx+4cosx=Asinx+φ則3sinx+4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ于是Acosφ=3．于是A所以A2取A＝５，則cosφ=35,由y=5sin可知，所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5例10分析:要求當(dāng)角取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大,可分二步進(jìn)行.①找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;②由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.設(shè)矩形的面積為,則.對(duì)于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍:由,得.所以當(dāng),即時(shí),因此,當(dāng)時(shí),矩形的面積最大,最大面積為.注：（1）在求解最大值時(shí)，要特別注意“”這一隱含條件;（2）應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后要回歸到實(shí)際問(wèn)題.三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．【解析】由題意知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴coseq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(\r(30),6).【答案】C2．【解析】由題知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sineq\f(α,2)>0，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(5),5).【答案】A3．【解析】由sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝eq\f(25,16)，所以sin2α＝－eq\f(9,16).【答案】C4．【解析】∵y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.【答案】π5．【證明】法一：左邊＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ＋sin2θ＝右邊，所以原式成立．法二：右邊＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝4sinθcos2eq\f(θ,2)＝左邊，所以原式成立．6、【精彩點(diǎn)撥】eq\x(設(shè)∠AOB＝α)→eq\x(建立周長(zhǎng)lα)→eq\x(求l的最大值)【解答】設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝eq\r(2)Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋R.∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，∴l(xiāng)的最大值為eq\r(2)R＋R＝(eq\r(2)＋1)R，此時(shí)，α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,4)，即當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，△OAB的周長(zhǎng)最大．《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》同步練習(xí)一基礎(chǔ)鞏固1．已知，，則（）A． B． C． D．2．若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．B．C．D．3．設(shè)是第二象限角，，且，則（）A． B． C．D．4．已知，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則的最小正周期和最大值分別為（）A．， B．， C．， D．，6．若，則__________．7．化簡(jiǎn)：.8．求證：.能力提升9．已知，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)的最大值是11．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)，的值域.素養(yǎng)達(dá)成12．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換答案解析基礎(chǔ)鞏固1．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由及，故．故選D．2．若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，原式.故選C.3．設(shè)是第二象限角，，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，且，所以為第三象限角，所?因?yàn)?，所以，所?4．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，故選：D.5．已知函數(shù)，則的最小正周期和最大值分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】故又即最小正周期為。故選：6．若，則__________．【答案】【解析】故答案為7．化簡(jiǎn)：.【答案】【解析】原式，，，故，原式8．求證：.【答案】見解析【解析】左式，即得證.能力提升9．已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，．故選：D.10．函數(shù)的最大值是【答案】【解析】∵y＝sin（2x）sin（2x）{[cos（2x（2x）]﹣cos[（2x）﹣（2x）]}cos（4x）coscos（4x）∴ymax．故答案為：．11．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)，的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）f（x）2sinxcosx﹣（sin2x﹣cos2x）sin2x+cos2x＝2sin（2x）得ω＝2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期Tπ；（2）∵y＝f（x）＝2sin（2x），∵，∴2x∈[，]，∴sin（2x）∈[，]，∴2sin（2x）∈[﹣2，]，故函數(shù)y＝f（x）在上的值域?yàn)閇﹣2，].素養(yǎng)達(dá)成12．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)最小正周期.單調(diào)遞減區(qū)間為，.【解析】（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可知，解得.（2）由（1），知，所以函數(shù)的最小正周期.由，，可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》同步練習(xí)二一、選擇題1．化簡(jiǎn)cosx＋sinx等于()A．2cos B．2cosC．2cos D．2cos2．若，則的值等于（）A．B．或不存在C．2 D．2或3.在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形4．已知cosθ=－，θ∈（－π，0），則sin+cos=（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)在區(qū)間上的值域是，則常數(shù)ω所有可能的值的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．46．已知函數(shù)f（x）=2sin2x+2sinxcosx－1的圖象關(guān)于點(diǎn)（φ，0）對(duì)稱，則φ的值可以是（）A．B．C．D．二、填空題7．___________________________．8．求值：________．9．已知cosα+cosβ=，則coscos的值為.10．已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，則=.三、解答題11．已知函數(shù)f(x)=2sinxcos（1）當(dāng)x取什么值時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,并求其最大值;（2）若θ為銳角，且f(θ+π8)=12．如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為θ的扇形,A是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn),AB∥OQ,OP與AB交于點(diǎn)B,AC∥OP,OQ與AC交于點(diǎn)C．(1)當(dāng)θ=時(shí),求點(diǎn)A的位置,使矩形ABOC的面積最大,并求出這個(gè)最大面積;(2)當(dāng)θ=時(shí),求點(diǎn)A的位置,使平行四邊形ABOC的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換答案解析一、選擇題1．化簡(jiǎn)cosx＋sinx等于()A．2cos B．2cosC．2cos D．2cos【答案】B【解析】cosx＋sinx＝2＝2＝2cos.故選B.2．若，則的值等于（）A．B．或不存在C．2 D．2或【答案】B【解析】由得，即，所以或，所以或，所以不存在或，故選：B.3.在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．4．已知cosθ=－，θ∈（－π，0），則sin+cos=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵cosθ=－，θ∈（－π，0），∴cos2－sin2=（cos+sin）（cos－sin）＜0，∈（，0），∴sin+cos＜0，cos－sin＞0，∵（sin+cos）2=1+sinθ=1－=，∴sin+cos=．故選D．5．已知函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)在區(qū)間上的值域是，則常數(shù)ω所有可能的值的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx，化簡(jiǎn)可得f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋，因?yàn)閤∈，f(x)∈，所以－1≤sin≤0，則≤－≤，又T＝＝，所以≤≤，即≤ω≤3，sin＝0的結(jié)果必然是x＝或.當(dāng)x＝時(shí)，解得ω＝滿足題意，當(dāng)x＝時(shí)，解得ω＝滿足題意．所以常數(shù)ω所有可能的值的個(gè)數(shù)為2.故選C.6．已知函數(shù)f（x）=2sin2x+2sinxcosx－1的圖象關(guān)于點(diǎn)（φ，0）對(duì)稱，則φ的值可以是（）A．B．C．