概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)總結(jié)(超詳細(xì)版)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第一章概率論的基本概念

§2．樣本空間、隨機(jī)事件

1．事件間的關(guān)系BA?則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

B}xxx{∈∈=?或ABA稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個發(fā)生時，事件BA?發(fā)生

B}xxx{∈∈=?且ABA稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時發(fā)生時，事件BA?發(fā)生

B}xxx{?∈=且—ABA稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時，事件BA—發(fā)生

φ=?BA，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的

且S=?BAφ=?BA，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對立事件

2．運(yùn)算規(guī)則交換律ABBAABBA?=??=?

結(jié)合律)()()()(CBACBACBACBA?=???=??分配律)()B(CAACBA???=??）（))(()(CABACBA??=??徳摩根律BABAABA?=??=?B—

§3．頻率與概率

定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)An稱為事

件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nnA稱為事件A發(fā)生的頻率

概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實(shí)數(shù)，記為P（A），稱為事件的概率1．概率)(AP滿足下列條件：

（1）非負(fù)性：對于每一個事件A1)(0≤≤AP（2）規(guī)范性：對于必然事件S1)S(=P

（3）可列可加性：設(shè)nAAA,,,21Λ是兩兩互不相容的事件，有∑===n

kk

nkk

APAP1

1

)()(Y（n可

以取∞）

2．概率的一些重要性質(zhì)：（i）0)(=φP

（ii）若nAAA,,,21Λ是兩兩互不相容的事件，則有∑===n

kk

nkk

APAP1

1

)()(

Y（n可以取∞）

（iii）設(shè)A，B是兩個事件若BA?，則)()()(APBPABP-=-，)A()B(PP≥（iv）對于任意事件A，1)(≤AP

（v）)(1)(APAP-=（逆事件的概率）

（vi）對于任意事件A，B有)()()()(ABPBPAPBAP-+=?

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個元素，試驗(yàn)中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件

A

包含

k

個基本事件，即}{}{}{2]1kiiieeeAYΛYY=，里

個不同的數(shù)，則有

中某，是，，kkn2,1iii,21ΛΛ()

中基本事件的總數(shù)

包含的基本事件數(shù)

S}{)(1

jAnkePAPk

ji==

=∑=§5．條件概率

（1）定義：設(shè)A,B是兩個事件，且0)(>AP，稱)

()

()|(APABPABP=為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率

（2）條件概率符合概率定義中的三個條件

1。

非負(fù)性：對于某一事件B，有0)|(≥ABP

2。規(guī)范性：對于必然事件S，1)|(=ASP

3可列可加性：設(shè)Λ,,21BB是兩兩互不相容的事件，則有

∑∞

=∞==1

1

)()(iiiiABPABPY

（3）乘法定理設(shè)0)(>AP，則有)|()()(BAPBPABP=稱為乘法公式

（4）全概率公式：∑==

n

ii

i

BAPBPAP1

)|()()(

貝葉斯公式：∑==

n

ii

i

kkkBAPBPBAPBPABP1

)

|()()

|()()|(

§6．獨(dú)立性

定義設(shè)A，B是兩事件，如果滿足等式)()()(BPAPABP=，則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)A，B是兩事件，且0)(>AP，若A，B相互獨(dú)立，則()BPABP=)|(定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對事件也相互獨(dú)立：A與—

—

—

—

與，與，BABAB

第二章隨機(jī)變量及其分布

§1隨機(jī)變量

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為X(e)X{e}.S==是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X(e)X=為隨機(jī)變量

§2離散性隨機(jī)變量及其分布律

1．離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨

機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量

kk)(pxXP==滿足如下兩個條件（1）0k≥p，（2）∑∞

=1

kkP=1

2．三種重要的離散型隨機(jī)變量

（1）分布

設(shè)隨機(jī)變量

X

只能取

與

1

兩個值，它的分布律是

)101,0kp-1p)k(k

-1k分布或兩

點(diǎn)分布。

（2）伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布

設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個可能結(jié)果：A與—

A，則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)

1)p0pP(A).將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的

獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。

n2,1,0kqpkn)kX(k

-nkΛ，

，=???

???==P滿足條件（1）0k≥p，（2）∑∞

=1kkP=1注意

到k

-nkqpkn???

?

??是二項(xiàng)式

nqp）（+的展開式中出現(xiàn)k

p的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。（3）泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2…，而取各個值的概率為

,2,1,0,k!

e)kX(-kΛ==

=kPλ

λ其中0>λ是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布記為

）

（λπ~X§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)∞分布函數(shù))()(xXPxF≤=，具有以下性質(zhì)(1))(xF是一個不減函數(shù)（2）

1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤FFxF，且（3）是右連續(xù)的即)(),()0(xFxFxF=+

§4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度

連續(xù)隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)可積函數(shù))(xf，使對于任意函數(shù)x有,

dttf)x(Fx

-?

∞

=

）（則稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X

的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度

1概率密度)(xf具有以下性質(zhì)，滿足（1）1)(

(2),0)(-=≥?

+∞

∞

dxxfxf；

（3）?

=

≤≤2

1

)()(21xxdxxfxXxP；（4）若)(xf在點(diǎn)x處連續(xù)，則有=)(Fx，

)(xf

2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

(1)均勻分布

若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度?????，0aa-b1)(b

xxf，則成X在區(qū)間(a,b)上服從

均勻分布.記為），（baU~X

(2)指數(shù)分布

若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度為?????>=，其他

，0

0.e

1)(x-xxfθθ

其中0>θ為常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。

（3）正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

，

，）

∞--

xe

xfx-21)(2

2

2(σμσ

πσμσσμ，服從參數(shù)為為常數(shù)，則稱（，其中X)0>的正態(tài)分布或高斯分布，記為

）

，（2N~Xσμ特別，當(dāng)10==σμ，時稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,-)(x∞0)(,>xg，則

Y=)(Xg是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為

[]?

?

?αyyhyhfyfXY第三章多維隨機(jī)變量

§1二維隨機(jī)變量

定義設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是X(e)X{e}.S==和Y(e)Y=是定義在S上的隨機(jī)變量，稱X(e)X=為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個向量（X，Y）叫做二維隨機(jī)變量

設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)

y}YxP{Xy)}(Yx)P{(XyxF≤≤≤?≤=，記成），（稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的

分布函數(shù)

如果二維隨機(jī)變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機(jī)變量。

我們稱Λ，

，，，2,1ji)yY(ijji====pxXP為二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布律。

對于二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)），（yxF，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f（x，y），

使對于任意x，y有，），（）

，（??

∞∞

=y-x

-dudvvufyxF則稱（X，Y）是連續(xù)性的隨機(jī)變量，

函數(shù)f（x，y）稱為隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密

度。

§2邊緣分布

二維隨機(jī)變量（X，Y）作為一個整體，具有分布函數(shù)），（yxF.而X和Y都是隨機(jī)

變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為）

（（y),xFXYF，依次稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）

關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。

Λ

，，2,1i}xP{Xp1

jiiji====∑∞

=?p

Λ，，2,1j}yP{Yp1

iiij====∑∞

=?jp

分別稱?ipjp?為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。

?∞∞

-=dyyxfxfX）,()(?∞

∞

-=dxyxfyfY）,()(分別稱)(xfX，

)(yfY為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。

§3條件分布

定義設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若,0}{>=jyYP則稱Λ,2,1,}

{}

,{}{==

====

==?ippyYPyYxXPyYxXPj

ijjjiji為在jyY=條件下

隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣Λ

,2,1,}

{},{}{========?

jppxXPyYxXPXXyYPiijijiij為在ixX=條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為),(yxf，（X，Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為)(yfY，若對于固定的y，)(yfY〉0，則稱

)

()

,(yfyxfY為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為)(yxfYX=

)

()

,(yfyxfY§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

定義設(shè)），（yxF及)(FxX，)(FyY分別是二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于所有x,y有y}}P{Y{},{≤≤===xXPyYxXP，即

(y))F(F},{FYXxyx=，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

對于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y），X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0=ρ

§5兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1，Z=X+Y的分布

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度),(yxf.則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為?

∞

∞

-+-=

dyyyzfzfYX）,()(或?∞

∞

-+-=dxxzxfzfYX）,()(

又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為)(),(yfxfYX則

?∞∞

-+-=dyfyzfzfYXYXy)()(（）和?

∞

∞

-+-=dxxzfxfzfYXYX)(()(）這兩個公式稱為YXff,的卷積公式

有限個相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2，的分布的分布、XYZX

Y

Z==

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度),(yxf，則XYZX

Y

Z==，仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為

dxxzxfxzfXY),()(?∞∞

-=dxx

z

xfxzfXY),(1)(?

∞

∞

-=又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為)(),(yfxfYX則可化為dxxzfxfzfYXXY?∞∞

-=)()()(

dxx

z

fxfxzfYXY)()(1)(X?

∞

∞

-=3的分布及，},min{NY}{XmaxYXM==

設(shè)X，Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為)(),(yFxFYX由于

Y}{Xmax，=M不大于z等價于X和Y都不大于z故有z}Yz,P{Xz}P{M≤≤=≤又

由于X和Y相互獨(dú)立，得到Y(jié)}{Xmax，=M的分布函數(shù)為)()()(maxzFzFzFYX=

},min{NYX=的分布函數(shù)為[][])(1)(11)(minzFzFzFYX---=

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

§1．?dāng)?shù)學(xué)期望

定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為kkpxXP==}{，k=1,2，…若級數(shù)

∑∞

=1

kkk

px

絕對

收斂，則稱級數(shù)

∑∞

=1

kkk

px

的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為)(XE，即∑=i

kkpxXE)(

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為)(xf，若積分

?

∞

∞

-dxxxf)(絕對收斂，則稱積分

?

∞

∞

-dxxxf)(的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為)(XE，即?+∞

∞

-=dxxxfXE)()(

定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=)(Xg(g是連續(xù)函數(shù))

（i）如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為kpXP==}x{k，k=1,2，…若

k

kk

pxg∑∞

=1

(）

絕對收斂則有=)Y(E=

))((XgEk

kk

pxg∑∞

=1

(）

（ii）如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為)(xf，若?

∞

∞

-dxxfxg)()(絕對收斂則

有=)Y(E=

))((XgE?

∞

∞

-dxxfxg)()(

數(shù)學(xué)期望的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有CCE=)(

2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有)()(XCECXE=3設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，則有)()()(YEXEYXE+=+；4設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有)()()(YEXEXYE=

§2方差

定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若[]})({2

XEXE-存在，則稱[]})({2

XEXE-為X的方

差，記為D（x）即D（x）=[]})({2

XEXE-，在應(yīng)用上還引入量)(xD，記為)(xσ，

稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。

222)()())(()(EXXEXEXEXD-=-=

方差的幾個重要性質(zhì)

1設(shè)C是常數(shù)，則有,0)(=CD

2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有)(C)(2

XDCXD=，D(X))(=+CXD

3設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，則有E(Y))}-E(X))(Y-2E{(XD(Y)D(X))(++=+YXD特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有)()()(YDXDYXD+=+

40)(=XD的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X)，即1)}({==XEXP

切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望2

)(σ=XE，則對于任意正數(shù)ε，不等式

22

}-XP{εσεμ≤≥成立

§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

定義量)]}()][({[YEYXEXE--稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為),(YXCov，即

)()()())]())(([(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov-=--=

而D(Y)

D(X)YX(XY），Cov=

ρ稱為隨機(jī)變量X和Y