離心率的五種求法第6頁共7頁離心率的五種求法橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率．一、直接求出、，求解圓錐曲線的標準方程或、易求時，可利用率心率公式來解決。例1：雙曲線〔〕的一條準線與拋物線的準線重合，那么該雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.解：拋物線的準線是，即雙曲線的右準線，那么，解得，，，應(yīng)選D變式練習1：假設(shè)橢圓經(jīng)過原點，且焦點為、，那么其離心率為〔〕A.B.C.D.解：由、知，∴，又∵橢圓過原點，∴，，∴，，所以離心率.應(yīng)選C.變式練習2：如果雙曲線的實半軸長為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D解：由題設(shè)，，那么，，因此選C變式練習3：點P〔-3，1〕在橢圓〔〕的左準線上，過點且方向為的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，那么這個橢圓的離心率為〔〕ABCD解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線〔對稱關(guān)系〕為，那么解得，，那么，應(yīng)選A二、構(gòu)造、的齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件，借助、、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)系〔特別是齊二次式〕，進而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率。例2：、是雙曲線〔〕的兩焦點，以線段為邊作正三角形，假設(shè)邊的中點在雙曲線上，那么雙曲線的離心率是〔〕A.B.C.D.解：如圖，設(shè)的中點為，那么的橫坐標為，由焦半徑公式，即，得，解得〔舍去〕，應(yīng)選D變式練習1：設(shè)雙曲線〔〕的半焦距為，直線過，兩點.原點到直線的距離為，那么雙曲線的離心率為()A.B.C.D.解：由，直線的方程為，由點到直線的距離公式，得，又,∴,兩邊平方，得，整理得，得或，又，∴，∴，∴，應(yīng)選A變式練習2：雙曲線虛軸的一個端點為，兩個焦點為、，，那么雙曲線的離心率為〔〕ABCD解：如以下列圖，不妨設(shè)，，，那么，又，在中，由余弦定理，得,即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，應(yīng)選B三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，假設(shè)為等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是________。解：四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解例4：設(shè)橢圓〔〕的右焦點為，右準線為，假設(shè)過且垂直于軸的弦的長等于點到的距離，那么橢圓的離心率是 .解：如以下列圖，是過且垂直于軸的弦，∵于，∴為到準線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，變式練習：在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，那么該橢圓的離心率為〔〕ABCD解：五、構(gòu)建關(guān)于的不等式，求的取值范圍例5：設(shè)，那么二次曲線的離心率的取值范圍為〔〕A.B.C.D.另：由，，得，,∴,∴∵，∴,∴，∴，應(yīng)選D例6：如圖，梯形中，，點分有向線段所成的比為，雙曲線過、、三點，且以、為焦點．當時，求雙曲線離心率的取值范圍。解：以的垂直平分線為軸，直線為軸，建立如以下列圖的直角坐標系，那么軸.因為雙曲線經(jīng)過點、，且以、為焦點，由雙曲線的對稱性知、關(guān)于軸對稱．依題意，記，，，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高．由定比分點坐標公式得，，設(shè)雙曲線的方程為，那么離心率，由點、在雙曲線上，所以，將點的坐標代入雙曲線方程得①將點的坐標代入雙曲線方程得②再將①、②得，∴③④將③式代入④式，整理得，∴，由題設(shè)得：，解得，所以雙曲線的離心率的取值范圍為配套練習1.設(shè)雙曲線〔〕的離心率為，且它的一條準線與拋物線的準線重合，那么此雙曲線的方程為〔〕A. B. C. D.2．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，那么橢圓的離心率等于〔〕A． B． C． D．3．雙曲線的一條漸近線方程為，那么雙曲線的離心率為〔〕ABCD4．在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1，那么該橢圓的離心率為ABCD5．在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，那么該雙曲線的離心率為〔〕ABCD6．如圖，和分別是雙曲線〔〕的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，那么雙曲線的離心率為〔〕A B C D7.設(shè)、分別是橢圓〔〕的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為〔為半焦距〕的點，且，那么橢圓的離心率是〔〕ABCD8．設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點，假設(shè)雙曲線上存在點，使，且，那么雙曲線離心率為〔〕A B C D9．雙曲線〔〕的右焦點為，假設(shè)過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，那么此雙曲線離心率的取值范圍是〔〕ABCD10．橢圓〔〕的焦點為、，兩條準線與軸的交點分別為、，假設(shè)，那么該橢圓離心率的取值范圍是〔〕A． B． C． D．答案：1.由可得應(yīng)選D2.橢圓的長軸長是短軸長的2倍，∴，橢圓的離心率，選D。3.雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,應(yīng)選A4.不妨設(shè)橢圓方程為〔ab0〕，那么有，據(jù)此求出e＝5.不妨設(shè)雙曲線方程為〔a0，b0〕，那么有，據(jù)此解得e＝，選C6.解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△是等邊三角形，連接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，雙曲線的離心率為，選D。7.由P〔〕，所以化簡得．8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點。假設(shè)雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，