第16講高考中的圓題型一|直線與圓及圓與圓(2016·江蘇高考)如圖16－1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．圖16－1(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得eq\o(TA,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\o(TQ,\s\up14(→))，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．[解題指導(dǎo)](1)設(shè)圓心N(6，y0)eq\o(→,\s\up15(圓N與圓M外切),\s\do15(圓N與x軸相切))求出y0→寫出圓N的方程(2)l∥OA→設(shè)l的方程→弦心距、半弦長、半徑間的關(guān)系→求l的方程(3)設(shè)P，Q的坐標(biāo)建立P，Q坐標(biāo)間的關(guān)系eq\o(→,\s\up15(等價(jià)轉(zhuǎn)化))圓與圓的位置關(guān)系[解]圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.3分因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.4分(2)因?yàn)橹本€l∥OA，所以直線l的斜率為eq\f(4－0,2－0)＝2.5分設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線l的距離d＝eq\f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq\f(|m＋5|,\r(5)).7分因?yàn)锽C＝OA＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，而MC2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2，所以25＝eq\f(m＋52,2)＋5，解得m＝5或m＝－15.9分故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.10分(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，eq\o(TA,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\o(TQ,\s\up14(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝x1＋2－t，,y2＝y(tǒng)1＋4.))①11分因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②12分將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.13分于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，從而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)，所以5－5≤eq\r([t＋4－6]2＋3－72)≤5＋5，14分解得2－2eq\r(21)≤t≤2＋2eq\r(21).因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－2eq\r(21)，2＋2eq\r(21)].16分【名師點(diǎn)評(píng)】本題涉及知識(shí)面較廣，既考查了直線與直線的位置關(guān)系，也考查了直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系，求解的關(guān)鍵是充分利用上述關(guān)系建立數(shù)量關(guān)系，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．(1)求圓M的方程；(2)若直線l：mx－2y－(2m＋1)＝0與圓M交于點(diǎn)P，Q，且eq\o(MP,\s\up14(→))·eq\o(MQ,\s\up14(→))＝0，求實(shí)數(shù)m的值．[解](1)法一：設(shè)圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋F＋1＝0，,3D＋F＋9＝0，,E＋F＋1＝0，))5分解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－4，,F＝3.))所以圓M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.8分法二：線段AC的垂直平分線的方程為y＝x，線段AB的垂直平分線的方程為x＝2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝2，))解得M(2,2).5分所以圓M的半徑r＝AM＝eq\r(5)，所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.8分(2)因?yàn)閑q\o(MP,\s\up14(→))·eq\o(MQ,\s\up14(→))＝0，所以∠PMQ＝eq\f(π,2).又由(1)得MP＝MQ＝r＝eq\r(5)，所以點(diǎn)M到直線l的距離d＝eq\f(\r(10),2).14分由點(diǎn)到直線的距離公式可知，eq\f(|2m－4－2m－1|,\r(m2＋4))＝eq\f(\r(10),2)，解得m＝±eq\r(6).16分2．(2013·江蘇高考)如圖16－2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．圖16－2(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．[解](1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3.3分由題意，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.6分(2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，10分所以eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋2a－32)≤3.整理，得－8≤5a2－12a≤0.14分由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤eq\f(12,5).所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).16分題型二|與圓有關(guān)的函數(shù)建模問題(2014·江蘇高考)如圖16－3，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).圖16－3(1)求新橋BC的長；(2)當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？[解題指導(dǎo)](1)建立平面直角坐標(biāo)系→求AB，BC的斜率→求點(diǎn)B及BC的長(2)設(shè)OM＝d，圓的半徑為r→用d表示r→建立關(guān)于d的不等式組→求d的范圍[解]法一：(1)如圖(1)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.(1)由條件知A(0,60)，C(170,0)，直線BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－eq\f(4,3).又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝eq\f(3,4).4分設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC＝eq\f(b－0,a－170)＝－eq\f(4,3)，①kAB＝eq\f(b－60,a－0)＝eq\f(3,4).②聯(lián)立①②解得a＝80，b＝120.6分所以BC＝eq\r(170－802＋0－1202)＝150.因此新橋BC的長是150m．8分(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由條件知，直線BC的方程為y＝－eq\f(4,3)(x－170)，即4x＋3y－680＝0.10分由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，即r＝eq\f(|3d－680|,\r(42＋32))＝eq\f(680－3d,5).12分因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r－d≥80，,r－60－d≥80，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－60－d≥80.))解得10≤d≤35.14分故當(dāng)d＝10時(shí)，r＝eq\f(680－3d,5)最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM＝10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.16分法二：(2)(1)如圖(2)，延長OA，CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠an∠FCO＝eq\f(4,3)，所以sin∠FCO＝eq\f(4,5)，cos∠FCO＝eq\f(3,5).2分因?yàn)镺A＝60，OC＝170，所以O(shè)F＝OCtan∠FCO＝eq\f(680,3)，CF＝eq\f(OC,cos∠FCO)＝eq\f(850,3)，從而AF＝OF－OA＝eq\f(500,3).6分因?yàn)镺A⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝eq\f(4,5).又因?yàn)锳B⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝eq\f(400,3)，從而BC＝CF－BF＝150.因此新橋BC的長是150m．8分(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連結(jié)MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝eq\f(MD,MF)＝eq\f(MD,OF－OM)＝eq\f(r,\f(680,3)－d)＝eq\f(3,5)，所以r＝eq\f(680－3d,5).12分因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r－d≥80，,r－60－d≥80，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－60－d≥80，))解得10≤d≤35.14分故當(dāng)d＝10時(shí)，r＝eq\f(680－3d,5)最大，即圓面積最大．所以當(dāng)OM＝10m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.16分【名師點(diǎn)評(píng)】本題以直線、圓的知識(shí)為載體，與實(shí)際生活問題相結(jié)合，重在考查建立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，求解的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化．1．一條形如斜L型的鐵路線MON在經(jīng)過某城市O時(shí)轉(zhuǎn)彎而改變方向，測(cè)得tan∠MON＝－3，因市內(nèi)不準(zhǔn)建站，故考慮在郊區(qū)A，B處分別建設(shè)東車站與北車站，其中東車站A建于鐵路OM上，且OA＝6km，北車站B建于鐵路ON上，同時(shí)在兩站之間建設(shè)一條貨運(yùn)公路，使直線AB經(jīng)過貨物中轉(zhuǎn)站Q，已知Q站與鐵路線OM，ON的垂直距離分別為2km，eq\f(7\r(10),5)km.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖16－4所示的直角坐標(biāo)系．圖16－4(1)若一貨運(yùn)汽車以36eq\r(2)km/h的速度從車站A開往車站B，不計(jì)途中裝卸貨物時(shí)間，則需多長時(shí)間？(2)若在中轉(zhuǎn)站Q的正北方向6km有一個(gè)工廠P，為了節(jié)省開支，產(chǎn)品不經(jīng)中轉(zhuǎn)站而運(yùn)至公路上C處，讓貨車直接運(yùn)走，試確定點(diǎn)C的最佳位置．[解](1)由已知得A(6,0)，直線ON的方程為y＝－3x，設(shè)Q(x0,2)(x0>0)，由eq\f(|3x0＋2|,\r(10))＝eq\f(7\r(10),5)及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分∴直線AQ的方程為y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－3x，,x＋y－6＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝9，))即B(－3,9)，∴AB＝eq\r(－3－62＋92)＝9eq\r(2)，從而t＝eq\f(9\r(2),36\r(2))＝eq\f(1,4)h.即貨運(yùn)汽車需要15分鐘時(shí)間.8分(2)點(diǎn)P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C.由(1)知直線AB的方程為x＋y－6＝0，12分∵P(4,8)，則直線PC的方程為x－y＋4＝0，聯(lián)立上述兩式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,5).16分2．(2016·南京鹽城二模)如圖16－5，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門采納了此建議，決定在