赤峰學(xué)院附屬中學(xué)2018級高三文科數(shù)學(xué)周測（10月31日）一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B．C．的共軛復(fù)數(shù) D．為純虛數(shù)3．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合稱，“干支紀(jì)年法”是我國傳統(tǒng)的紀(jì)年法.如圖是查找公歷某年所對應(yīng)干支的程序框圖.例如公元年，即輸入，執(zhí)行該程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出，從干支表中查出對應(yīng)的干支為辛酉.我國古代杰出數(shù)學(xué)家秦九韶出生于公元年，則該年所對應(yīng)的干支為（）六十干支表（部分）戊辰己巳庚午辛未壬申己未庚申辛酉壬戌癸亥A．戊辰 B．辛未 C．已巳 D．庚申5．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，其解析式為，則在點處的切線方程為（）A． B．C． D．6．若函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．8．若隨機(jī)變量，且.已知為拋物線的焦點，為原點，點是拋物線準(zhǔn)線上一動點，若點在拋物線上，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖像關(guān)于點對稱，則下列判斷正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為D．要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個單位11．已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時，的最大值為（）A． B． C． D．1二、填空題13．向量，，且、的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是________.14．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個定理：如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；（2）在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù)．則在區(qū)間上至少存在一個數(shù)，使得，其中稱為拉格朗日中值．則在區(qū)間上的拉格朗日中值________．15．已知四棱錐，底面為正方形，平面，，，球與四棱錐的每個面都相切，則球的半徑為______．16．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若在第一象限，那么_______________．三、解答題17．在中，角所對的邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若，求的面積.18．某工廠有工人1000名，為了提高工人的生產(chǎn)技能，特組織工人參加培訓(xùn).其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為類工人）.現(xiàn)從該工廠的工人中共抽查了100名工人作為樣本，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)），得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（圖1），類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（圖2）.（1）在樣本中求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀，現(xiàn)以樣本中頻率作為概率，從1000名工人中按分層抽樣共抽取名工人進(jìn)行調(diào)查，請估計這名工人中的各類人數(shù)，完成下面的列聯(lián)表.若研究得到在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān)，則的最小值為多少？參考數(shù)據(jù)：參考公式：，其中.19．在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點是的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.20．已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的上頂點作直線交拋物線于兩點，為原點.①求證：；②設(shè)、分別與橢圓相交于、兩點，過原點作直線的垂線，垂足為，證明:為定值.21．已知，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，．（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直，求的解析式；（2）設(shè)，若對任意的，且，都有，求的取值范圍．【選考題】（請考生在第22、23題中任選一題作答）22．在直角坐標(biāo)系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C是什么曲線；設(shè)直線l與曲線C相交與M，N兩點，當(dāng)，求的值．23．已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）已知，若對任意，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案1．A【解析】求解二次不等式可得：，求解對數(shù)不等式可得：，結(jié)合交集的定義有：.本題選擇A選項.2．D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,即可求得結(jié)果.【詳解】,的虛部為,,,.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的概念,難度容易.3．D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出每個數(shù)的范圍，即可判斷大小.【詳解】因為，，，所以.故選：D.【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】【分析】輸出，計算輸出結(jié)果，查表可得結(jié)果.【詳解】輸入，，第一次循環(huán)，，，不成立；第二次循環(huán)，，，不成立；第三次循環(huán)，，，不成立；由上可知，每執(zhí)行一次循環(huán)后，的值對應(yīng)地在上一次循環(huán)后的值中減去，則輸出的的值為除后的余數(shù)，，則輸出的的值為，因此，公元年對應(yīng)的干支為戊辰.故選：A.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)文化中的“干支紀(jì)年法”，考查程序框圖的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.5．A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)及分段函數(shù)解析式求法，先求得時的解析式，即可由導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程.【詳解】定義在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時，其解析式為，則當(dāng)時，，則，而，所以當(dāng)時，，則，所以切點坐標(biāo)為，由，可得，所以切線斜率為則切線方程為，化簡可得，故選：A.【點睛】本題考查了由奇偶性求函數(shù)解析式，由導(dǎo)函數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】【分析】可判斷為上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，則不等式可化為，即，討論的范圍去絕對值即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且滿足，所以為上的奇函數(shù)，則可化為，因為恒成立，所以為上的增函數(shù).所以原不等式等價于不等式.①當(dāng)時，可化為，所以；②當(dāng)時，可化為，所以.綜上，原不等式的解集為.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.7．A【解析】【分析】根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.8．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件先得到的值即得到了的值，再利用拋物線的定義由的值可得到點的坐標(biāo)為，要求的最小值即要在準(zhǔn)線上找一點到兩個定點的距離之和最小，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值.【詳解】隨機(jī)變量，且，1和關(guān)于對稱，即，設(shè)為第一象限中的點，，拋物線方程為：，，解得即，關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，根據(jù)對稱性可得：當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立.如圖故選：D【點睛】本題考查了利用拋物線的定義求解距離，定直線上的動點到兩個定點的距離之和的最小值，關(guān)鍵是利用對稱性把距離之和最小值轉(zhuǎn)化為三點共線問題，屬于較難題.9．D【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)．解題時不能隨便約分漏解．10．D【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)f（x）的解析式，再判斷四個選項中的命題是否正確即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）中，A，，∴T＝π，ω2，又f（x）的圖象關(guān)于點（，0）對稱，∴ωx+φ＝2×（）+φ＝kπ，解得φ＝kπ，k∈Z，∴φ；∴f（x）sin（2x）；對于A，x∈[，]時，2x∈[，]，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，錯誤．對于B，x時，f（）sin（2）＝0，f（x）的圖象不關(guān)于x對稱，錯誤；對于C，x∈[，]時，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）的最小值為，C錯誤；對于D，ycos2x向右平移個單位，得ycos2（x）cos（2x）的圖象，且ycos（2x）cos（2x）sin（2x），∴正確；故選D．【點睛】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；(2)求ω，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②特殊點法：確定φ值時，往往以尋找“最值點”為突破口．具體如下：“最大值點”(即圖象的“峰點”)時ωx＋φ＝；“最小值點”(即圖象的“谷點”)時ωx＋φ＝.11．C【解析】【分析】把函數(shù)交點有兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點，作出對應(yīng)函數(shù)圖象和直線，利用導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)切線的斜率，由圖象觀察出的范圍．【詳解】，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)的圖象，如下圖，由得，設(shè)直線與圖象切點為，則，，所以．由得，，與在原點相切時，，由得，，與在原點相切時，，所以直線，，與曲線相切，由直線與曲線的位置關(guān)系可得：當(dāng)時有兩個交點，即函數(shù)恰有兩個零點.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)問題，解題方法是把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象與直線通過數(shù)形結(jié)合思想求解．12．B【解析】【分析】根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.13．【解析】【分析】利用模長以及數(shù)量積公式求出，，，，結(jié)合題意得到，化簡即可求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】,由于、的夾角為銳角則，解得：或故答案為【點睛】本題主要考查了向量的模長以及數(shù)量積、向量的夾角的求法，屬于中等題.14．【解析】【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得，進(jìn)而求得的值即可.【詳解】，則，所以，由拉格朗日中值的定義可知，，即，所以．故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】【分析】計算出四棱錐的表面積，利用等體積法計算出球的半徑.【詳解】依題意底面為正方形，平面，所以，由于，所以平面，平面，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，四棱錐的表面積，則有，解得．故答案為：【點睛】本小題主要考查幾何體內(nèi)切球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.16．2【解析】【分析】如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過點B作于點E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=nm，因為,所以|AB|=3(nm)，所以3(nm)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.17．(1)見解析;(2).【解析】【分析】（1）將條件變形可得，利用余弦定理可得所證的結(jié)論．（2）當(dāng)時，由（1）中的結(jié)論可得；再根據(jù)正弦定理可得，又，根據(jù)面積公式可得結(jié)果．【詳解】（1）∵，∴，由余弦定理可得，∴，∴.（2）∵，∴，由正弦定理得，∴，又，∴.18．（1）132.6；（2）360【解析】試題分析：（1）由莖葉圖知A類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，由頻率分布直方圖，估計出B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)；（2）列出能力與培訓(xùn)的列聯(lián)表，計算卡方，結(jié)合表格作出判斷.試題解析：（1）由莖葉圖知類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)為123，由頻率分布直方圖，估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)為；（2）由（1）及所給數(shù)據(jù)得能力與培訓(xùn)的列聯(lián)表如下：由上表得，解得，又人數(shù)必須取整，∴的最小值為360.19．（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連結(jié)，，證明，再利用線面平行判定定理證明即可；（2）設(shè)點到平面的距離為，利用等積法，可求得答案.【詳解】（1）取中點，連結(jié)，.因為為中點，所以，.因為，.所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）取的中點，連由（1）得平面，設(shè)點到平面的距離為，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理平面；在等腰直角三角形中，∵，∴，在直角三角形中，，又，∵，∴，由，∴點到平面的距離.【點睛】本題考查線面平行的證明、點到面的距離，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意等積法的應(yīng)用.20．（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓過定點以及橢圓的離心率可得，解得的值，由橢圓的定義可得的值，將的值代入橢圓方程即可得答案；（2）①設(shè)過橢圓的上頂點的直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)出點的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系分析計算的值，由向量數(shù)量積的性質(zhì)可得證明；②直線與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式可得，的等量關(guān)系，結(jié)合點到直線距離公式可得結(jié)果.試題解析：(1)，所以，又，解得，，所以橢圓的方程為（2）①證明：設(shè)、，依題意，直線一定有斜率，的方程為，聯(lián)立方程消去得，，又，，②證明：設(shè)、，直線的方程為，，，，聯(lián)立方程消去得，，，而由得，即.所以為定值.【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊