微積分基礎(chǔ)(國家開放大學(xué))---------極限的概念和計算解析2024-01-25CATALOGUE目錄極限概念引入極限定義及性質(zhì)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限極限計算方法與技巧極限在微積分學(xué)中的應(yīng)用典型例題分析與求解思路極限概念引入01早在古希臘時期，數(shù)學(xué)家們就開始探討無窮小的概念，試圖理解它與零的關(guān)系。這為后來極限概念的提出奠定了基礎(chǔ)。古代數(shù)學(xué)中的無窮小概念17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲獨(dú)立地發(fā)明了微積分，其中涉及到了極限的思想。然而，當(dāng)時他們并沒有給出嚴(yán)格的極限定義，導(dǎo)致了后來的數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分的起源19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家柯西和維爾斯特拉斯等人對極限概念進(jìn)行了嚴(yán)格的定義和闡述，使得微積分學(xué)建立在了堅實(shí)的基礎(chǔ)之上。極限概念的明確提出數(shù)學(xué)史背景連續(xù)復(fù)利問題01在金融領(lǐng)域，連續(xù)復(fù)利是一種重要的計算方式。它涉及到當(dāng)投資期限趨于無窮小時，投資回報率的極限情況。圓的面積計算02在幾何學(xué)中，圓的面積可以通過將圓劃分為無數(shù)個小的扇形并求和來近似計算。當(dāng)扇形的數(shù)量趨于無窮大時，其面積之和將趨近于圓的真實(shí)面積。物理學(xué)中的極限現(xiàn)象03在物理學(xué)中，許多現(xiàn)象都涉及到極限的概念。例如，當(dāng)物體接近光速時，其質(zhì)量會趨于無窮大；當(dāng)溫度接近絕對零度時，物質(zhì)的熱運(yùn)動將趨于停止。實(shí)際問題中的極限現(xiàn)象古代哲學(xué)中的極限思想在古希臘哲學(xué)中，芝諾的悖論就涉及到了無窮小和極限的思想。他通過一系列的論證，試圖說明運(yùn)動是不可能的，因為物體在達(dá)到目的地之前必須先經(jīng)過無限多的中點(diǎn)。近代數(shù)學(xué)中的極限思想隨著微積分學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們逐漸意識到極限思想的重要性。他們開始嘗試給出嚴(yán)格的極限定義，并探索其在各個領(lǐng)域的應(yīng)用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中的極限理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，極限理論已經(jīng)成為了分析學(xué)的基礎(chǔ)之一。它不僅在微積分學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，還滲透到了其他數(shù)學(xué)分支中，如拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等。極限思想的萌芽與發(fā)展極限定義及性質(zhì)02數(shù)列極限定義數(shù)列極限的ε-N定義對于任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，數(shù)列{an}與常數(shù)a的差的絕對值小于ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a。數(shù)列極限的幾何意義表示數(shù)列中的項隨著項數(shù)的無限增大而無限趨近于某個確定的常數(shù)。函數(shù)極限的ε-δ定義對于任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時，函數(shù)f(x)與常數(shù)A的差的絕對值小于ε，則稱函數(shù)f(x)在x趨近于x0時以A為極限。函數(shù)極限的幾何意義表示函數(shù)值隨著自變量的無限趨近而無限接近于某個確定的常數(shù)。函數(shù)極限定義極限的唯一性若數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則此極限是唯一的。極限的四則運(yùn)算法則若兩個函數(shù)的極限存在，則它們的和、差、積、商的極限也存在，且等于各自極限的和、差、積、商。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則若內(nèi)層函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在且外層函數(shù)在該點(diǎn)的極限也存在，則復(fù)合函數(shù)在該點(diǎn)的極限也存在且等于外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)極限處的函數(shù)值。極限的保號性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在且大于0（或小于0），則在該點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)函數(shù)值也大于0（或小于0）。極限性質(zhì)與運(yùn)算法則極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限03夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則如果三個數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：當(dāng)n>N0時，其中N0∈N*，有yn≤xn≤zn，且limyn=limzn=a，那么數(shù)列{xn}的極限存在，且limxn=a。夾逼準(zhǔn)則單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。在運(yùn)用以上兩條去求函數(shù)的極限時尤需注意以下關(guān)鍵之點(diǎn)。一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值。二是應(yīng)用夾擠定理的關(guān)鍵是找到極限值相同的函數(shù)，并且要滿足極限是趨于同一方向，從而證明或求得函數(shù)的極限值。單調(diào)有界準(zhǔn)則limsinx/x=1(x->0)。這個極限公式在三角函數(shù)和復(fù)變函數(shù)中都有廣泛應(yīng)用，如求解三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等。第一個重要極限公式lim(1+1/x)^x=e(x->∞)。這個極限公式在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)中都有廣泛應(yīng)用，如求解自然對數(shù)的底數(shù)e、計算連續(xù)復(fù)利等。第二個重要極限公式兩個重要極限公式及應(yīng)用無窮小量與無窮大量比較如果函數(shù)f(x)當(dāng)x->x0(或x->∞)時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x->x0(或x->∞)時的無窮小量。無窮大量如果對于任意給定的正數(shù)M（無論它多么大），總存在正數(shù)N，只要n>N，對應(yīng)的數(shù)列項xn就滿足|xn|>M，則稱數(shù)列{xn}為無窮大量。無窮小量與無窮大量的比較在同一自變量的趨向過程中，無窮大的倒數(shù)為無窮?。缓悴粸榱愕臒o窮小的倒數(shù)為無窮大。無窮小量極限計算方法與技巧0403對于一些簡單的函數(shù)表達(dá)式，直接代入法是一種快速有效的方法。01直接代入法是將$x$的值直接代入函數(shù)表達(dá)式中計算極限的方法。02當(dāng)函數(shù)在$x$的某一點(diǎn)處連續(xù)時，可以直接將$x$的值代入函數(shù)表達(dá)式計算極限。直接代入法010203消去零因子法是通過消去函數(shù)表達(dá)式中的零因子來計算極限的方法。當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中存在零因子時，可以先將其消去，再計算極限。消去零因子法常用于處理分式函數(shù)的極限問題。消去零因子法123洛必達(dá)法則是在一定條件下通過求導(dǎo)來計算極限的方法。當(dāng)函數(shù)表達(dá)式滿足洛必達(dá)法則的條件時，可以通過求導(dǎo)來簡化計算過程。洛必達(dá)法則常用于處理復(fù)雜函數(shù)表達(dá)式的極限問題，特別是當(dāng)直接代入法無法求解時。洛必達(dá)法則等價無窮小替換法01等價無窮小替換法是通過等價無窮小量替換來計算極限的方法。02當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中存在等價無窮小量時，可以將其替換為相應(yīng)的簡單函數(shù)，從而簡化計算過程。等價無窮小替換法常用于處理含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)的極限問題。03極限在微積分學(xué)中的應(yīng)用05連續(xù)函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、局部保號性、四則運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)性質(zhì)等。初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，而一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)也都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)概念及性質(zhì)030201導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的計算包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等。高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)可由一階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則逐次求導(dǎo)得到。導(dǎo)數(shù)概念及計算定積分的定義定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性質(zhì)、可加性、保號性、絕對值不等式性質(zhì)等。定積分的計算定積分的計算包括牛頓-萊布尼茲公式、換元積分法、分部積分法等。其中，牛頓-萊布尼茲公式是定積分計算的基礎(chǔ)，它建立了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。定積分概念及計算典型例題分析與求解思路06求極限$lim_{{ntoinfty}}frac{{n^2+1}}{{n^3+2}}$例題1首先，將分子分母同時除以$n^3$，得到$lim_{{ntoinfty}}frac{{1+frac{1}{n^2}}}{{1+frac{2}{n^3}}}$。由于$lim_{{ntoinfty}}frac{1}{n^2}=0$和$lim_{{ntoinfty}}frac{2}{n^3}=0$，所以原極限為$frac{1+0}{1+0}=1$。解析求數(shù)列或函數(shù)極限問題VS求極限$lim_{{xto0}}frac{{sinx}}{x}$解析利用洛必達(dá)法則，對分子分母分別求導(dǎo)，得到$lim_{{xto0}}frac{{cosx}}{1}=1$。例題2求數(shù)列或函數(shù)極限問題證明$lim_{{ntoinfty}}sqrt[n]{{a_1a_2cdotsa_n}}=lim_{{ntoinfty}}frac{{a_1+a_2+cdots+a_n}}{n}$，其中$a_n>0$首先，利用算術(shù)平均值不小于幾何平均值的不等式，得到$sqrt[n]{{a_1a_2cdotsa_n}}leqfrac{{a_1+a_2+cdots+a_n}}{n}$。然后，利用夾逼準(zhǔn)則和極限的保序性，可以證明兩邊極限相等。例題3解析利用極限性質(zhì)證明不等式或等式問題例題4一物體以速度$v(t)=t^2-4t+3$（單位：m/s）運(yùn)動，求物體在$t=2$到$t=4$這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程。解析首先，將速度函數(shù)進(jìn)行不定積分，得到位移函數(shù)$s(t)=frac{1}{