第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)1.1引言1.2時域離散信號1.3時域離散系統(tǒng)1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法—線性常系數差分方程1.5模擬信號數字處理方法1.1引言根據信號的自變量和函數值的取值情況，信號可分為3種：模擬信號：自變量和函數值都取連續(xù)值時域離散信號：自變量取離散值，函數值取連續(xù)值數字信號：自變量和函數值都取離散值圖1.1.1模擬信號和時域離散信號1.2時域離散信號由模擬信號產生時域離散信號一、時域離散信號的產生x(n)是一串有序的數字集合，因此時域離散信號也稱為序列二、序列的表示法1）用集合符號表示序列2）用函數解析式表示序列x(n)=a|n|0＜a＜1,-∞＜n＜∞

3）用圖形表示序列三、常用的典型序列2單位階躍序列u(n)

δ(n)與u(n)的關系：1單位采樣序列δ(n)3矩形序列RN(n)用單位階躍序列表示矩形序列：4實指數序列5正弦序列x(n)=sin(ωn)6復指數序列7周期序列【例】，分析其周期性

一般正弦序列的周期性判斷：任意序列x(n)的表示方法：【例1】用(1.2.12)式表示下圖所示的序列【例2】用(1.2.12)式表示序列x(n)=0.5nu(n)四、序列的運算1加法和乘法2移位、翻轉及尺度變換將x(n)每m個相鄰序列值取一個，或者說將原來的x(n)坐標橫軸壓縮了1/m1.3時域離散系統(tǒng)圖1.3.1時域離散系統(tǒng)模型系統(tǒng)：由若干元件、部件以特定方式連接而成，為共同完成某種特殊功能的有機整體。運算關系T[]滿足不同的條件，對應著不同的系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)將輸入序列轉變?yōu)檩敵鲂蛄?，系統(tǒng)的功能是完成將輸入x(n)轉變?yōu)檩敵鰕(n)的運算，記為一、線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)：輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統(tǒng)。1.可加性假設T[x1(n)]=y1(n)，T[x2(n)]=y2(n)

若T[

x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n)，則稱系統(tǒng)具有可加性。2.比例性假設T［x1(n)］=y1(n)若T［ax1(n)］=ay1(n)，則稱系統(tǒng)具有比例性（齊次性）T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)【例1.3.1】證明所代表的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)二、時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)：如果系統(tǒng)對輸入信號的運算關系T[]在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應與輸入信號加于系統(tǒng)的時間無關?！纠?.3.2】檢查y(n)=ax(n)+b

所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。【例1.3.3】檢查y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。三、線性時不變系統(tǒng)及其輸入與輸出之間的關系結論：線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應的卷積（線性卷積）。1.用圖解法求卷積(1)按照(1.3.7)式，卷積運算主要是對m的運算，公式中的n作參變量。首先將x(n)、h(n)的n變成m，然后將h(m)進行翻轉，形成h(-m)。此時相當于n=0。(2)令n=1，將h(-m)移位n，得到h(n-m)。

(3)將x(m)和h(n-m)同樣的m的序列值相乘，再相加，得到x(n)。(4)再令n=2，重復(2)(3)步，然后n=3,4,…，直到對所有的n都計算完為止【例1.3.4】已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),用圖解法求y(n)=x(n)*h(n)。m-3-2-10123456x(m)1111h(m)1111h(-m)1111y(0)=1h(1-m)1111y(1)=2h(2-m)1111y(2)=3h(3-m)1111y(3)=4h(4-m)1111y(4)=3h(5-m)1111y(5)=2h(6-m)1111y(6)=1用列表法解卷積2.用解析法求卷積【例1.3.4】已知x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，用解析法求y(n)=x(n)*h(n)。解：y(n)的非零區(qū)間要求m同時滿足下面兩個不等式：

0≤m≤3

n-3≤m≤nm的取值和n的取值有關，需要將n作分段的假設。

max{0,n-3}≤m≤min{3,n}

n<0或n>6時，y(n)=00≤n≤3時，0≤m≤n，y(n)=n+14≤n≤6時，n-3≤m≤3，y(n)=7-n【例1.3.5】設x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。3.用MATLAB計算兩個有限長序列的卷積yn=conv(xn,hn)4.卷積運算的性質圖1.3.3串并聯系統(tǒng)【例1.3.6】【例】按照下圖描繪的時域離散時不變系統(tǒng)，用h1(n)、h2(n)、h3(n)和h4(n)表示系統(tǒng)總的單位脈沖響應h(n)。四、系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性

系統(tǒng)的因果性指的是系統(tǒng)的可實現性。具體地說就是，如果系統(tǒng)n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入信號，而和n時刻以后的輸入信號無關，則說該系統(tǒng)具有因果性質，或者稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。如果n時刻的輸出還取決于n時刻以后的輸入信號，在時間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實現，則該系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。 線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應滿足

系統(tǒng)穩(wěn)定性指的是若輸入有界，輸出也有界。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是【例1.3.7】設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=anu(n)，a是實常數，分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性?！纠?.3.8】設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=u(n)，求對于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)，并驗證系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數差分方程一、線性常系數差分方程

N階差分方程(1)經典法(2)遞推法

(3)Z變換法二、線性常系數差分方程的求解

【例1.4.1】設因果系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。

對同一個差分方程和同一個輸入信號，如果初始條件不同，得到的輸出信號也不同。在已知N個初始條件的情況下才能得到唯一解。【例1.4.2】設系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入信號x(n)=δ(n)。已知當n>0時，y(n)=0，求輸序列y(n)。1.5模擬信號數字處理方法圖1.5.1模擬信號數字處理框圖圖1.5.2對模擬信號進行采樣單位沖激串矩形脈沖串一、采樣定理頻移特性（調制特性）理想采樣前后信號頻譜的變化根據頻域卷積定理圖1.5.3采樣信號的頻譜采樣定理：連續(xù)時間信號xa(t)經過理想抽樣后，其頻譜將以抽樣頻率Ωs=2π/T為間隔而重復，即頻譜產生周期延拓。如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號通過一個增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復出原連續(xù)信號xa(t)。如果采樣角頻率Ωs<2Ωc

，會造成采樣信號中頻譜混疊現象，不可能無失真地恢復原連續(xù)信號。

理想采樣前后信號頻譜的變化圖