微積分函數(shù)_課件2024-01-25微積分函數(shù)基本概念極限與連續(xù)導數(shù)與微分中值定理與導數(shù)應用不定積分與定積分多元函數(shù)微積分學無窮級數(shù)與微分方程初步contents目錄01微積分函數(shù)基本概念函數(shù)定義設(shè)$x$和$y$是兩個變量，$D$是實數(shù)集的某個子集，若對于$D$中的每一個$x$值，變量$y$按照一定的對應法則總有一個確定的數(shù)值與之對應，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$，其中$x$稱為自變量，$y$稱為因變量，$f$稱為對應法則。函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等。這些性質(zhì)反映了函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的變化趨勢和特征，是研究函數(shù)的重要基礎(chǔ)。函數(shù)定義與性質(zhì)微分學的起源微分學的思想萌芽可以追溯到古代，如中國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。微積分的產(chǎn)生一般認為是由17世紀的科學家牛頓和萊布尼茲共同完成的，但是關(guān)于微積分的創(chuàng)立時間一直存在爭議。積分學的起源積分學的起源可以追溯到古代對面積和體積的計算。古希臘時期，阿基米德利用“窮竭法”計算出了拋物線弓形、螺線、圓的面積和橢球體、拋物面體等各種復雜幾何體的表面積和體積的公式。這些工作為積分學的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。微積分學的建立17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲在前人工作的基礎(chǔ)上，分別獨立地建立了微積分學。他們通過創(chuàng)立新的數(shù)學符號和運算規(guī)則，將微分和積分統(tǒng)一起來，建立了完整的微積分學體系。微積分學發(fā)展歷程物理學微積分在物理學中的應用非常廣泛，如描述物體運動的加速度、速度和位移之間的關(guān)系，以及計算物體的動能、勢能和機械能等。在工程學中，微積分被用于計算和優(yōu)化各種工程問題，如建筑設(shè)計、橋梁結(jié)構(gòu)分析、電路分析等。微積分在經(jīng)濟學中也有著重要的應用，如計算邊際效應、彈性分析、最優(yōu)化問題等。微積分在生物學中的應用包括描述生物種群數(shù)量的變化、分析生物化學反應速率等。除了上述領(lǐng)域外，微積分還被廣泛應用于計算機科學、化學、地理學等領(lǐng)域。工程學生物學其他領(lǐng)域經(jīng)濟學應用領(lǐng)域及意義02極限與連續(xù)

極限概念及性質(zhì)極限的定義描述函數(shù)在某一點或無窮遠處的變化趨勢。極限的性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號性、四則運算法則。左右極限函數(shù)在某一點左側(cè)和右側(cè)極限的定義及性質(zhì)。函數(shù)在某一點連續(xù)的定義及性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的定義局部性質(zhì)（局部有界性、局部保號性）、四則運算、復合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一類間斷點（可去間斷點、跳躍間斷點）和第二類間斷點（無窮間斷點、振蕩間斷點）的定義及性質(zhì)。間斷點及其分類連續(xù)函數(shù)定義與性質(zhì)03無窮小量與無窮大量無窮小量、無窮大量、同階無窮小、等價無窮小等概念及性質(zhì)。01極限存在準則夾逼準則和單調(diào)有界準則。02兩個重要極限lim(sinx/x)和lim(1+1/x)^x在x趨于無窮大或某一點時的極限值及推導過程。極限存在準則與兩個重要極限03導數(shù)與微分導數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導數(shù)定義導數(shù)計算方法高階導數(shù)通過求極限的方式計算導數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則。多次求導得到高階導數(shù)，描述了函數(shù)更高層次的變化特征。030201導數(shù)概念及計算方法微分是函數(shù)在某一點處的局部變化量的線性近似，即函數(shù)的微小增量。微分定義通過求導得到微分，微分的基本公式和運算法則與導數(shù)類似。微分計算方法微分在近似計算、誤差估計和微分方程等領(lǐng)域有廣泛應用。微分的應用微分概念及計算方法導數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的切線斜率，而微分則是函數(shù)在該點處的微小增量，兩者之間存在密切聯(lián)系。導數(shù)等于微分的商，即函數(shù)在某一點處的變化率。導數(shù)與微分的關(guān)系導數(shù)和微分在多個領(lǐng)域有廣泛應用，如物理學中的速度、加速度計算，經(jīng)濟學中的邊際分析，以及工程學中的優(yōu)化問題等。通過求導數(shù)和微分，可以揭示函數(shù)的變化規(guī)律，預測未來趨勢，為實際問題提供解決方案。導數(shù)與微分的應用導數(shù)與微分關(guān)系及應用04中值定理與導數(shù)應用證明通過構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-f(a)$，應用費馬引理進行證明。證明通過構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$，應用羅爾定理進行證明。證明通過構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$，應用羅爾定理進行證明。羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一個$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。拉格朗日中值定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導，則至少存在一個$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$?？挛髦兄刀ɡ砣绻瘮?shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導，且$g'(x)neq0$，則至少存在一個$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。010203040506中值定理內(nèi)容及證明單調(diào)遞減如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導，且$f'(x)<0$對任意$xinI$成立，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)遞減。單調(diào)遞增如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導，且$f'(x)>0$對任意$xinI$成立，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)遞增。判斷方法首先求出函數(shù)的導數(shù)$f'(x)$，然后判斷導數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的符號。利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性極值點如果函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處取得局部最大值或最小值，且$f'(x_0)=0$，則稱點$x_0$為函數(shù)$f(x)$的極值點。最值點如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上的最大值或最小值在點$x_0in[a,b]$處取得，則稱點$x_0$為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的最值點。求法首先求出函數(shù)的導數(shù)$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$得到可能的極值點。接著判斷這些點的左右兩側(cè)導數(shù)的符號變化來確定是極大值還是極小值。對于最值點，除了考慮極值點外，還需要考慮區(qū)間端點的函數(shù)值。利用導數(shù)求極值和最值05不定積分與定積分不定積分概念及性質(zhì)不定積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果存在可導函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對任意$xinI$都成立，則稱$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個原函數(shù)，或稱$F(x)$為$f(x)$的不定積分，記作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$為任意常數(shù)。線性性質(zhì)$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$積分區(qū)間可加性$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$常數(shù)因子可提取$intkf(x)dx=kintf(x)dx$定積分的定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有定義，如果對于任意分割$T:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，以及任意點集${\xii}\subset[a,b]$，只要$\lambda=\max{1\leqi\leqn}\Deltaxi$足夠小，就有$\lim{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Deltax_i$存在且唯一，則稱該極限值為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記作$\int_a^bf(x)dx$。定積分概念及性質(zhì)$int_a^b[af(x)+bg(x)]dx=aint_a^bf(x)dx+bint_a^bg(x)dx$線性性質(zhì)$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$積分區(qū)間可加性若在$[a,b]$上$f(x)geq0$，則$int_a^bf(x)dxgeq0$；若在$[a,b]$上$f(x)leqg(x)$，則$int_a^bf(x)dxleqint_a^bg(x)dx$保號性定積分概念及性質(zhì)牛頓-萊布尼茲公式計算平面圖形的面積計算旋轉(zhuǎn)體的體積計算變力做功牛頓-萊布尼茲公式及應用如果函數(shù)$F(x)$是連續(xù)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的一個原函數(shù)，則$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$。通過定積分可以計算由連續(xù)曲線繞某一直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。通過定積分可以計算由連續(xù)曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。通過定積分可以計算變力在直線位移上所做的功。06多元函數(shù)微積分學多元函數(shù)定義01設(shè)D為一個非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對應規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應規(guī)則f，都有唯一確定的實數(shù)y與之對應，則稱對應規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)的性質(zhì)02包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。多元函數(shù)的表示方法03可以用解析式、圖像、表格等方式表示多元函數(shù)。多元函數(shù)概念及性質(zhì)偏導數(shù)與全微分計算方法全微分定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可以表示為△z=A△x+B△y+o(ρ)，其中A、B不依賴于△x，△y而僅與x，y有關(guān)，ρ趨近于0(ρ=√[(△x)2+(△y)2])，此時稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微分，A△x+B△y稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分。偏導數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量△x時，相應地函數(shù)有增量f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z與△x之比當△x→0時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導數(shù)。計算方法偏導數(shù)可以通過求導法則和鏈式法則進行計算；全微分可以通過偏導數(shù)進行計算。極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于P0的點P(x,y)，如果都適合不等式f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)），則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)有極大值（或極小值）。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則f(x)在[a,b]上的最大值與最小值只能在區(qū)間端點或駐點上取得?？梢酝ㄟ^求偏導數(shù)并令其等于零來找到可能的極值點；然后通過比較這些點的函數(shù)值來確定極值；最后通過比較各極值點的函數(shù)值來確定最值。最值定義求解方法多元函數(shù)極值和最值求解方法07無窮級數(shù)與微分方程初步無窮級數(shù)定義無窮級數(shù)是由無窮多個數(shù)相加得到的數(shù)列，其和可能有限也可能無限。收斂與發(fā)散無窮級數(shù)根據(jù)其部分和數(shù)列的收斂性可分為收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)。絕對收斂與條件收斂對于收斂級數(shù)，若其各項絕對值所構(gòu)成的級數(shù)也收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂；否則稱為條件收斂。無窮級數(shù)概念及性質(zhì)常微分方程是含有未知函數(shù)的導數(shù)（微分）的方程，且未知函數(shù)是一元函數(shù)。常微分方程定義常微分方程的階數(shù)是指方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)；若方程中未知函數(shù)及其