2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第三輪沖刺：圓的綜合練習(xí)

1、已知：如圖，在AABC中，NC=90°,NBAC的平分線AO交8c于點。，過點。作

￡火，4)交43于點石，以AE為直徑作。O.

(1)求證：BC是0。的切線；

(2)若AC=3,8C=4,求BE的長.

2、如圖，點E在以A8為直徑的。。上，點C是BE的中點，過點。作垂直

于AE，交AE的延長線于點。，連接8E交AC于點尸.

(1)求證：C。是。。的切線；

4

(2)若cosNC4O=—,8/=15,求AC的長.

3,如圖，在aABC中，ZACB=90°,0是邊AC上一點，以0為圓心，0A為半徑的圓分別交

AB,AC于點E,D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF,EF與AC交于點G.

(1)試判斷直線EF與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若0A=2,ZA=30°,求圖中陰影部分的面積.

4、如圖，。。是△46C的外接圓，比1為。。的直徑，點￡為^4^的內(nèi)心，連接并延長

交。。于〃點，連接6〃并延長至凡使得盼隴連接。?、BE.

(1)求證：DB=DE-,

(2)求證：直線成為。。的切線.

5、如圖，已知仍是00的直徑，過。點作02149,交弦于點。，交。。于點反且使/

PC歸/ABC.

(1)求證：/個是。。的切線；

(2)若NQ60°,PC-2,求處的長.

6、如圖，在A4BC中，AB^AC,以A3為直徑的。。與邊8C,AC分別交于。,E兩點,

過點。作Ob，AC,垂足為點尸.

⑴求證：。咒是。。的切線；

2

⑵若AE=4,cosA=—,求。/的長

7、如圖，。0的直徑AB=12cm,C為AB延長線上一點，CP與。。相切于點P,過點B作弦

BD〃CP,連接PD.

(1)求證：點P為8￡)的中點；

(2)若NC=ND,求四邊形BCPD的面積.

8、如圖，PA、PB是。0的切線，A、B為切點，ZAPB=60°,連接P0并延長與。0交于C

點，連接AC,BC.

(1)求證：四邊形ACBP是菱形；

(2)若。0半徑為1,求菱形ACBP的面積.

9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D,AE

平分NBAC交邊BC于點E,經(jīng)過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，OF與y軸相交于

另一點G.

(1)求證：BC是。F的切線；

(2)若點A、D的坐標(biāo)分別為A(0,-1),D(2,0),求。F的半徑；

(3)試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

10、如圖，在用AABC中，NC=90°,AC=BC,點。在45上，經(jīng)過點A的。。與

相切于點。，交于點E.

(1)求證：評分NBAC：

(2)若8=1,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留了).

11、如圖，AB,8是OO的直徑，3E是OO的弦，且BE〃CE>,過點C的切線與的

延長線交于點P,連接8c.

(1)求證：平分45P；

(2)求證:PC=PB.PE；

(3)若BE-3P=PC=4,求(DO的半徑.

A

12、如圖，4ABC是一塊直角三角板，且NC=90°,ZA=30°,現(xiàn)將圓心為點0的圓形紙片

放置在三角板內(nèi)部.

（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不

寫作法與證明，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9,

圓形紙片的半徑為2,求圓心0運動的路徑長.

13、如圖，以原點0為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點（點B在點A的右邊），

P是半徑0B上一點，過P且垂直于AB的直線與。0分別交于C,D兩點（點C在點D的上方）,

直線AC,DB交于點E.若AC：CE=1：2.

（1）求點P的坐標(biāo)；

（2）求過點A和點E,且頂點在直線CD?上的拋物線的函數(shù)表達式.

14、定義：

數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,

那么稱三角形為“智慧三角形”.

理解:

⑴如圖1，己知A3是。。上兩點，請在圓上找出滿足條件的點C,使A4BC為“智慧三

角形”(畫出點C的位置，保留作圖痕跡)；

(2)如圖2,在正方形ABCD中，E是BC的中點，尸是CD上一點，且試

4

判斷AAEF是否為“智慧三角形”，并說明理由；

運用：

⑶如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,點。是直線y=3上的一點，若在

。。上存在一點P,使得AOPQ為“智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時，直接寫出此

時點P的坐標(biāo).

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第三輪沖刺：圓的綜合練習(xí)

1、已知：如圖，在AA3C中，NC=90°,NB4C的平分線A。交8c于點。，過點。作

￡>EJ_AL>交AB于點E，以AE為直徑作。O.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若AC=3,BC=4,求的長.

【答案】

試題解析：(1)證明：連接OD,如圖所示.

在Rt^ADE中，點0為AE的中心，

.?.D0=A0=E0=LAE,.?.點D在。0上，且NDAONADO.

2

又：AD平分/CAB,.\ZCAD=ZDA0,AZAD0=ZCAD,AAC//DO.

VZC=90°，.*.Z0DB=90o，BPODXBC.

又YOD為半徑,

，BC是。。的切線;

(2)解：?.?在RtZ\ACB中，AC=3,BC=4,.*.AB=5.

設(shè)0D=r,貝ljB0=5-r.

；OD〃AC,AABDO^ABCA,

.DOBOr5-r就”曰15

'.就=詼'即曠-T'解得:r=一

8

2、如圖，點E在以AB為直徑的。。上，點。是8E的中點，過點C作垂直

于A￡，交AE的延長線于點。，連接8E交AC于點尸.

D

(1)求證：C￡＞是。。的切線；

4

(2)若cosNC40=—,8尸=15,求AC的長.

【答案】試題解析：(1)證明：連接0C,如圖1所示.

?點C是BE的中點，，CE=BC，，OC_LBE.

；AB是。。的直徑，，ADJ_BE,，AD〃OC.

VADICD,.,.OC±CD,

...CD是。。的切線.

D

E

(2)解：過點0作OMLAC于點M,如圖2所示.

:點C是8￡的中點，:?CE=BC，ZBAC=ZCAE,

.EFBF

AE-Afi'

4EF34

***cosz^CAD=—,*,?-----=-tAB=—BF=20.

5AE43

14

在RtZ\AOM中，ZAM0=90°,A0=-AB=1O,cosZOAM=cosZCAD--,

3、如圖，在AABC中，ZACB=90°,0是邊AC上一點，以。為圓心，0A為半徑的圓分別交

AB,AC于點E,D,在BC的延長線上取點F,使得BF=EF,EF與AC交于點G.

(1)試判斷直線EF與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若0A=2,/A=30°,求圖中陰影部分的面積.

【答案】

試題分析：(D連接0E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NAEO,ZB=ZBEF,于是得到//G=90°,

即可得到結(jié)論；(2)由AD是。0的直徑，得到NAED=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NEOD=60°,求

得NEGO=30°,根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

試題解析：

(1)連接0E,

VOA=OE,

AZA=ZAEO,

VBF=EF,

AZB=ZBEF,

VZACB=90°,

???NA+NB=90°,

AZAE0+ZBEF=90°,

???NOEG=90°,

???EF是。。的切線；

(2)TAD是。。的直徑，

/.ZAED=90°,

VZA=30°,

/.ZE0D=60°,

AZEG0=30°,

VA0=2,

A0E=2,

AEG=2V3,

???陰影部分的面積=,x2x26-60萬x22=_24.

23603

B

4、如圖，是△力6c的外接圓，a1為00的直徑，點￡為4月比的內(nèi)心，連接并延長

交。。于〃點，連接劭并延長至R使得除。尸，連接伙BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)求證：直線”為。。的切線.

【答案】：(1)欲證明游龍，只要證明N如田/龐氏

(2)欲證明直線次為。。的切線，只要證明即可；

試題解析：(1)證明：；￡'是4/a'的內(nèi)心，，/胡氏/?！?,NEBA=NEBC,,:NBED=NBAE+

NEBA,ZDB4NEBC+NDBC,ZDBOAEAC,：*NDB夕/DEB,：.DB=DE.

(2)連接CD.?.?加平分N5/C,；./218=/04。，...筋=①，.?.3D=8,\'BD=DF,：.CD=DB=DF,

.,.23*90。，:.BClCF,「.C尸是0。的切線.

5、如圖，已知48是。。的直徑，過。點作班1/8,交弦于點〃交。。于點色且使N

PCA=AABC.

(1)求證：附是。。的切線；

(2)若/片60°，PO2,求管的長.

試題分析：(1)連接。c,由。B=OC及已知可得NPC4NOC5.由直徑所對的圓周角為直角有N4CB=90。,

從而可得/。8=90。，所以9C是。。的切線：(2)在RMC。中，利用NP的正切和正弦分別求得OC、OP

的長，再根據(jù)PE=OP-OE計算即可.

試題解析：⑴連接。C.'：OB=OC,：.乙4BC=NOCB.又NPC4=N45C,.?./PC4=NOCB..二二為。

。直徑，.,.NWCB=90。....43NOCB=90°,：.^ACO-ZPCA=9Q°,即NOCP=90°,二.PC是。。的切

線；

QQQQ

(2)在RtZsACO中，tan2內(nèi)——，：.0C=PCtanZ.P=2tan60°=2.J3.sin/片——，：.0P=

PCOP

sion/c尸一.<Y3=4,PE=0P-0E=0P-0C=^-2A/3

6、如圖，在A4BC中，AB^AC,以46為直徑的。。與邊8GAe分別交于O,E兩點,

過點。作DE_LAC,垂足為點尸.

A

⑴求證：OE是。。的切線；

2

⑵若AE=4,cosA=m,求。尸的長

試題分析：⑴證明：如圖,連接0D,作0G1AC于點d推出NODB二NC：然后根據(jù)DF±AC'ZDFC=90°,

推出NODF=/DFC=90°,即可推出DF是。0的切線.（2）首先判斷出：AG=1AE=2,然后判斷出四邊形OGFD

2

為矩形，即可求出DF的值.

試題解析:

（1）證明：如圖，連接0D,作OG1AC于點G,

/.ZODB=ZB,

又：AB=AC,

/.ZC=ZB,

.".ZODB=ZC,

".,DFIAC,

.,.ZDFC=90°,

.,.ZODF=ZDFC=90",

...DF是G）0的切線.

（2）解：AG=1AE=2,

2

cos4

OG=yfoA^~—AG'=V2l>

VZ0DF=ZDFG=Z0GF=90o,

???四邊形OGFD為矩形，

.-.DF=0G=V21.

7、如圖，(DO的直徑AB=12cm,C為AB延長線上一點，CP與。。相切于點P,過點B作弦

BD〃CP,連接PD.

(1)求證：點P為8￡)的中點;

(2)若ZC=ND,求四邊形BCPD的面積.

【答案】試題分析：(1)連接0P,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC_LOP,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

BD10P,根據(jù)垂徑定理

即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)圓周角定理得到NP0B=2ND,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NC=30°，推出四邊形

BCPD是平行四邊形，于是得到結(jié)論.

試題解析：

(1)證明：連接0P,

.「CP與。0相切于點P,

.".PC1OP,

?/BD//CP,

.,.BD10P,

：.PB=PD,

二點P為防的中點；

⑵解：?.NO/D,

VNP0B=2ND,

.*.ZP0B=2ZC,

VZCP0=90°,

ZC=30°,

VBD//CP,

ZC=ZDBA,

.?.ND=NDBA,

；.BC〃PD,

四邊形BCPD是平行四邊形，

,/PO=-AB=6,

2

：.PC=6^>

；NABD=NC=30。，

；.OE=ioB=3,

2

，PE=3,

...四邊形BCPD的面積=PJPE=6百X3=186.

8、如圖，PA、PB是(DO的切線，A、B為切點，ZAPB=60°,連接P0并延長與。0交于C

點，連接AC,BC.

(1)求證：四邊形ACBP是菱形；

(2)若。0半徑為1,求菱形ACBP的面積.

【解析】

試題分析：⑴連接AO,B0,根據(jù)PA、PB是。0的切線，得到N0AP=/0BP=90°,PA=PB,

ZAPO=ZBPO=^ZAPB=30°,由三角形的內(nèi)角和得到/A0P=60°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到/ACO=3O°,

得到AC=AP,同理BC=PB,于是得到結(jié)論；(2)交PC于D,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD1PC,解直角三

角形即可得到結(jié)論.

試題解析：

(1)連接AO,B0,

；PA、PB是。。的切線，.\Z0AP=Z0BP=90o,PA=PB,ZAP0=ZBP0=-ZAPB=30°,

2

AZA0P=60",VOA=OC,AZ0AC=Z0CA,/.ZA0P=ZCA0+ZAC0,AZAC0=30°,

AZAC0=ZAP0,；.AC=AP,

同理BC=PB,；.AC=BC=BP=AP,四邊形ACBP是菱形；

(2)連接AB交PC于D,

.,.ADlPC,.-.OA=1,ZAOP=60°,/.AD=—0A=—,

72

/.PD=-,.，.PC=3,AB=—,

二.菱形ACBP的面積=g處叩。=浮.

9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZsABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D,AE

平分/BAC交邊BC于點E,經(jīng)過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，。F與y軸相交于

另一點G.

(1)求證：BC是。F的切線：

(2)若點A、D的坐標(biāo)分別為A(0,-1),I)(2,0),求。F的半徑；

(3)試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接EF,

；AE平分NBAC,

.?.ZFAE=ZCAE,

VFA=FE,

ZFAE=ZFEA,

.,.ZFEA=ZEAC,

，F(xiàn)E〃AC,

ZFEB=ZC=90°,即BC是OF的切線;

(2)解:連接FD,

設(shè)。F的半徑為r,

則d=(r-1)?+22,

解得，唱，即OF的半徑為辛

(3)解：AG=AD+2CD.

證明：作FRJ_AD于R,

則NFRC=90°,又NFEC=NC=90°,

四邊形RCEF是矩形，

，EF=RC=RD+CD,

VFR1AD,

.\AR=RD,

.\EF=RD+CD=-1-AD+CD,

10、如圖，在他AABC中，NC=90°,AC=BC,點。在A8上，經(jīng)過點A的。。與8C

相切于點。，交AB于點E.

（1）求證：A。評分N84C；

（2）若CD=l,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留不）.

【答案】

試題分析：（1）連接DE,0D.利用弦切角定理，直徑所對的圓周角是直角，等角的余角相

等證明NDAO=NCAD,進而得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NBAC=45°,由BC相切。0于點D,得到N0DB=90°,

求得OD=BD,ZB0D=45°,設(shè)BD=x,則OD=OA=x,OB=0x,根據(jù)勾股定理得到BD=OD=&，

于是得到結(jié)論.

試題解析：（1）證明：連?接DE,0D.

：BC相切。0于點D,.*.ZCDA=ZAED,

：AE為直徑，.\ZADE=90°,

,/AC1BC,/.ZACD=90°,.\ZDAO=ZCAD,1.AD平分/BAC;

（2）?.,在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,/.ZB=ZBAC=45°,

：BC相切。0于點D,.?./ODBf）。，「.OD=BD,.?./BOD=45。，

設(shè)BD=x,貝ijOD=OA=x,0B=-flx,

/.BC=AC=x+l,,.,AC2+BC2=AB2>：.2（x-1）。2,/.x=-72,

.*.BD=OD=V2,

i「_45xx

圖中陰影部分的面積=sBOD-S.DOE=-X>/2xa----------=1-r-.

23604

11、如圖，AB,8是OO的直徑，BE是GX9的弦，且3E〃CZ),過點C的切線與的

延長線交于點P,連接BC.

(1)求證：BC平分NABP;

(2)求證:PC2=PB.PE；

⑶若BE-BP=PC=4,求。O的半徑.

【答案】

(1)VBE//CD,

/.Z1=Z3,

又；OB=OC,

?,.Z2=Z3,

/.Z1=Z2,即BC平分NABP；

(2)如圖,連接EC、AC,

「PC是。。的切線，

AZPCD=90°,又；BE〃DC,

/.ZP=90°,

AZl+Z4=90°,

：AB為。0直徑，

AZA+Z2=90°,

又/A=/5,

AZ5+Z2=90°,

VZ1=Z2,

；.N5=N4,

ZP=ZP,

/.△PBC^APCE,

PCPBm,

二法=正，即^^^汪；

(3),/BE-BP=PC=4,

.\BE=4+BP,

,.,PC2=PB-PE=PB-(PB-BE),

?.4*=PB-(PB+4+PB),即PB^+ZPB-SR,

解得：PB=2,

貝UBE=4+PB=6,

/.PE=PB+BE=8,

作EF1CD于點F,

VZP=ZPCF=90°,

...四邊形PCFE為矩形，

.,.PC=FE=4,-FC=PE=8,ZEFD=ZP=90°,

VBE/7CD,：.DE=BC^

ADE-BC,

在Rt^DEF和RtZXBCP中，

DE=BC

?[EF=CP'

ARtADEF^RtABCP(HL),

；.DF=BP=2,

則CD=DF+CF=10,

，。0的半徑為5.

12、如圖，^ABC是一塊直角三角板，且NC=90°,ZA=30°,現(xiàn)將圓心為點。的圓形紙片

放置在三角板內(nèi)部.

（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不

寫作法與證明，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9,

圓形紙片的半徑為2,求圓心。運動的路徑長.

一B

圖①圖②

【解答】解：（1）如圖①所示，射線0C即為所求;

（2）如圖，圓心0的運動路徑長為0△00.0,,

12

圖②

過點a作O1D_LBC、OF_LAC、OGLAB,垂足分別為點D、F、G,

過點0作OELBC,垂足為點E,連接OB

過點Q作02H_LAB,O2I1AC,垂足分別為點H、I,

在RtZXABC中，ZACB=90°、ZA=30°,

旦

哼中仃AB=2BC=18,NABO60。,

???C&\BC=9+9?+18=27+9

VO,D±BC>OiGlAB,

???D、G為切點,

/.BD=BG,

在RSOJBD和RtZWG中,

..’BD=BG

7<，

O1B=O1B

.,.△O.BD^AO^G(HL),

???N0IBG=N0IBD=30°,

在RtZWD中，Z0iDB=90°,Z0iBD=30°,

0T)2

?由=出尊=2仃

/.00F9-2-2后7-273，

：0Q=0E=2,OiD±BC,OE±BC,

.?.(WOE,且。山=0E,

...四邊形OEDOi為平行四邊形,

VZ0ED=90°,

???四邊形OEDOi為矩形，

同理四邊形OGHG、四邊形(XMF、四邊形OECF為矩形，

又OE=OF,

???四邊形OECF為正方形，

VZ0]GH=ZCD0F90°,NABC=60°,

???NG0D=120°,

XVZF01D=Z0201G=90°,

/.Z00i02=360°-90°-90°=60°=ZABC,

同理，N0Q()2=90°,

.??△00Q2sZSCBA,

C

.AOO,O2_O1O2B11CAOO.O,_7-2V3

??可丁W」而訪-k，

???CA00,0=15+73-即圓心0運動的路徑長為15+J1

13、如圖，以原點0為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(點B在點A的右邊)，

P是半徑0B上一點，過P且垂直于AB的直線與。0分別交于C,I)兩點(點C在點D的上方),

直線AC,DB交于點E.若AC：CE=1：2.

(1)求點P的坐標(biāo)；

(2)求過點A和點E,且頂點在直線CD?上的拋物線的函數(shù)表達式.

【答案】(1)如圖，作EF」y軸于F,DC的延長線交EF于H.設(shè)H(m,n),則P(m,0)，

/CPCAP\

PA=m+3,PB=3-m.首先證明△ACPs/\ECH,推出——=——=——=-,推出CH=2n,

CECHHE2

PBDPn\「后3-/

EH=2m=6,再證明△DPBsZ\DHE,推出———=—=—,可得-------求

EHDH4/742/+64

出m即可解決問題;

(2)由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-5),求出E點坐標(biāo)代入即可解決問題.

試題解析：⑴如圖，作EFly舉好F,DC的延長線交EF于H.設(shè)H(m,n)，則P(m,0),PA=m-3,

.,.△ACPCOAECH,

?_A_C__P_C__A_P__1

??而~~CH~TIE~

???CH=2n,EH=2m=6,

VCD1AB,

APC=PD=n,

VPB/7HE,

AADPB^ADHE,

.PB_DP_n

??茄一防一布一"

.3-7_1

??2勿+64'