課時(shí)作業(yè)(十五)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示練基礎(chǔ)1.若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，則|2a＋b|＝()A．eq\r(7)B．3C．eq\r(10)D．3eq\r(2)2．(多選)已知向量a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＋b＝(7，－5，0)B．a(chǎn)－b＝(5，－1，4)C．a(chǎn)·b＝8D．|a|＝eq\r(5)3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(－1，2，－3)，B(2，－4，6)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，則C點(diǎn)坐標(biāo)為________．4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，eq\f(5,4))，求證：△ABC是直角三角形．提能力5.已知兩個(gè)向量a＝(1，2，1)，b＝(2，m，2)，若a⊥b，則m的值為()A．－4B．－2C．2D．86．已知向量a＝(1，0，m)，b＝(2，0，－2)，若a∥b，則|a|＝()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．27．已知向量a＝(5，3，1)，b＝(－2，t，－eq\f(2,5))，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________．8．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，O為原點(diǎn)，已知點(diǎn)A(2，1，0)，B(3，2，2)，C(－1，1，4)，設(shè)向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若a與a－kb互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．9．已知四邊形ABCD是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的一個(gè)平行四邊形，且A(0，1，2)，B(－2，0，5)，C(1，－2，4).(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形ABCD的面積S.培優(yōu)生10.如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段C′D上，點(diǎn)F在線段BB′上，則線段EF長(zhǎng)的最小值為()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．1D．eq\r(2)11.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq\r(3)，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn)．(1)求AC與PB所成角的余弦值；(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．課時(shí)作業(yè)(十五)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．解析：由于向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，所以2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝eq\r(42＋（－1）2＋12)＝eq\r(18)＝3eq\r(2).答案：D2．解析：因?yàn)閍＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正確；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正確；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正確；|a|＝eq\r(1＋4＋4)＝3，故D不正確．答案：AC3．解析：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2，z＋3)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2－x，－4－y，6－z)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2（2－x）,y－2＝2（－4－y）,z＋3＝2（6－z）))，解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2,z＝3))，故C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2，3).答案：(1，－2，3)4．證明：∵在空間直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)分別為A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，eq\f(5,4))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，1，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，－1，－eq\f(7,4))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－5，－2，eq\f(9,4))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－6－1＋7＝0，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．5．解析：因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，即2＋2m＋2＝0，解得m＝－2.答案：B6．解析：由a∥b，則a＝λb，即1＝2λ，m＝－2λ，則λ＝eq\f(1,2)，m＝－2×eq\f(1,2)＝－1，所以a＝(1，0，－1)，則|a|＝eq\r(12＋02＋（－1）2)＝eq\r(2).答案：B7．解析：由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－eq\f(2,5))＝3t－eq\f(52,5).因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5，3，1)＝λ(－2，t，－eq\f(2,5))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝λt，,1＝－\f(2,5)λ，))所以λ＝－eq\f(5,2)，t＝－eq\f(6,5).故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(－∞，－eq\f(6,5))∪(－eq\f(6,5)，eq\f(52,15)).答案：(－∞，－eq\f(6,5))∪(－eq\f(6,5)，eq\f(52,15))8．解析：(1)由題，a＝(1，1，2)，b＝(－3，0，4)，故a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5，|a|＝eq\r(6)，|b|＝5，所以cos〈a，b〉＝eq\f(5,\r(6)×5)＝eq\f(\r(6),6)，故a與b夾角余弦值為eq\f(\r(6),6).(2)由a與a－kb互相垂直知，a·(a－kb)＝a2－ka·b＝0，|a|2＝6，a·b＝5，即k＝eq\f(a2,a·b)＝eq\f(|a|2,a·b)＝eq\f(6,5).9．解析：(1)由題設(shè)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，令D(x，y，z)，則(－2，－1，3)＝(1－x，－2－y，4－z)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x＝－2,－2－y＝－1，,4－z＝3))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1,z＝1))，故D(3，－1，1).(2)由(1)知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，則cos∠DAB＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AD,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，又∠DAB∈(0，π)，則sin∠DAB＝eq\f(\r(3),2)，∴平行四邊形ABCD的面積S＝2×eq\f(1,2)×|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|sin∠DAB＝7eq\r(3).10．解析：依題意，BA，BC，BB′兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，D(0，1，0)，B′(0，0，2)，C′(2，0，2)，eq\o(DC′,\s\up6(→))＝(2，－1，2)，eq\o(BB′,\s\up6(→))＝(0，0，2)，設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC′,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，則E(2λ，1－λ，2λ)，設(shè)F(0，0，z)，有eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2λ，1－λ，z－2λ)，線段EF長(zhǎng)最短，必滿足EF⊥BB′，則有eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BB′,\s\up6(→))＝0，解得z＝2λ，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2λ，1－λ，0)，因此，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(（2λ）2＋（1－λ）2)＝eq\r(5λ2－2λ＋1)＝eq\r(5（λ－\f(1,5)）2＋\f(4,5))≥eq\f(2\r(5),5)，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝eq\f(1,5)時(shí)取“＝”，所以線段EF長(zhǎng)的最小值為eq\f(2\r(5),5).答案：B11．解析：(1)由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(eq\r(3)，0，0)，C(eq\r(3)，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，eq\f(1,2)，1)，從而eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，－2).設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,2\r(7))＝eq\f(3\r(7),14).∴AC與PB所成角的余弦值為eq\f(3\r(7),14).(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，則eq\o(NE,\s\up6(→))＝(－x，eq\f(1,2)，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(NE,\s\up6(→))·\o(AP,\s\up6(→))＝0，,\o(NE,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(