課時作業(yè)(二十一)兩平行線間的距離與兩平行平面間的距離練基礎1．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，求平面AMN與平面EFBD間的距離．提能力2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA＝AB＝2，在棱PD上取點Q，使得PB∥平面ACQ.(1)求證：Q為PD中點；(2)求直線PB到平面ACQ的距離．課時作業(yè)(二十一)兩平行線間的距離與兩平行平面間的距離1．解析：如圖，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，M(2，0，4)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴EF∥MN，AM∥BF，∴平面AMN∥平面EFBD.設n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0，,－2x＋4z＝0，))令z＝1，得x＝2，y＝－2，則n＝(2，－2，1).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，4，0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))在n上的投影長為eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(8,\r(4＋4＋1))＝eq\f(8,3)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離為eq\f(8,3).2．解析：(1)證明：連接BD，交AC于點O，則平面PBD∩平面ACQ＝OQ，又因為PB∥平面ACQ，PB?平面PBD，則PB∥OQ，由于底面ABCD為正方形，所以點O為BD的中點，因此可得Q為PD中點．(2)由(1)知Q是PD的中點．由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，故AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，A(0，0，0)，C(2，2，0)，Q(0，1，1)，D(0，2，0)，∴AQ＝(0，1，1)，AC＝(2，2，0).設平面ACQ的法向量為n＝(x，y，z)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)＋z＝0,n·\o(AC,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0))，故可設n＝(－1，1，－1)，由于PB∥平面ACQ，則PB到平面ACQ的距離，即B到平面ACQ的距離．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，2，0)，B到平面ACQ的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→))·