初高中數(shù)學教材銜接高一

鷹城一中高一數(shù)學導學案設計人：謝添

初高中數(shù)學教材銜接（代數(shù)部分）

第一講數(shù)與式的運算

學習目標：

1、記住絕對值含義及絕對值方程、不等式的求法

2、記住乘法公式及其應用

3、記住二次根式的有關運算

4、會多項式的因式分解

記一記：

一、絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的

絕對值仍是零.即

a,a0,a）0,a0,

a,a0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.兩個數(shù)的

差的絕對值的幾何意義：ab表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.絕對值方程：1、

|x|=a（a>0）則x=-a或x=a

2、|x-3|+|y+4|+|z+5|=0則

絕對值不等式：1、x〉a（a>0）則x〈-a或x>a（結論：若則從兩根的兩邊取之）

2、|x|<a（a>0）則-a<x〈a（結論：若則從兩根的中間取之）

3、xx3〉4（提示零點分析法或數(shù)形結合法）

同學們試著做一做

零點分析法：數(shù)形結合法：

練一練

1、化簡：x-4|-|2x-10|(4<x<5)

2、解不等式3|2x-10i>151

鷹城一中高一數(shù)學導學案設計人：謝添

記一記：

二、乘法公式

(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2；

222

(2)完全平方公式(ab)a2ab.b

23

(3)立方和公式(ab)(aab2b)3a；b

23(4)立方差公式(ab)(aab2b)3a；b

222

(5)三數(shù)和平方公式(abcac)ab2c2(abbe；)

(6)兩數(shù)和立方公式(ab)3a33a2b3a2b；3

b

(7)兩數(shù)差立方公式(ab)3a33a2

b3a2b.b

練一練：

1.填空：

(1)

19a214b2(12b1

3

a)()；(2)(4m)216m2

4m()；

(3)(a2bc)2a24b2c2

().2.選擇題：

(1)若x2

1

2

mxk是一個完全平方式，則k等于((A)m2

(B)1212124m(C)3m(D)16m

(2)不論a,b為何實數(shù)，a2b2

2a4b8的值((A)總是正數(shù)(B)總是負數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)

2、解答：

1、計算(x1)(x1)(x2x1)(x2x1).

2、已知abc4,abbeac4,求a2b2c2的值

2))

鷹城一中高一數(shù)學導學案設計人：謝添記一記：

三、二次根式

一般地，形如a0)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式

子稱為無理式.例如

\lcr+b

3a

\]a~+b2

2b

72.

叵

2x

1,x2

向

y21、分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有理化，需

要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根

式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式

V2

,例如

72

與

0

8

瓜

瓜

0

6

一般

地,

b與b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程;

而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行,

\!ab

aO.b0)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化

進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同

類二次根式.

的意義

1、填空:

\-yf3

1+小

a,a0,a,a0.練一練:

J(5-x)(x-3)一

(XX的取值范圍是;

724

x/54

麻

x/150

)______;

22、

我

化簡：20042005.

3、化簡：(1

(2

x1)

(4

75

)若X

JX+]-yjx-1

y/x+1+\[x—1

\+1+\!X—1

yfx+1-\!X—I

3

鷹城一中高一數(shù)學導學案設計人：謝添記一記

四、因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應

了解求根法及待定系數(shù)法.

1、十字相乘法

對二次三項式ax2+bx+c進行分解因式

方法一對a,c進行分解a=al*a2,c=cl*c2

ax2+bx+c

al1

a2c2

alc2+a2cl=b(一次項的系數(shù))

ax2+bx+c=(alx+cl)(a2+c2)

方法二對b進行分解

ax2+bx+c

試值b=alc2+a2cl而a=al*a2,c=cl*c2

ax2+bx+c=(alx+cl)(a2+c2)

練一練:

1、分解因式

(1)X5x6_____________________________________________________o

(2)x5x6_____________________________________________________o

(3)x5x6_____________________________________________________o

(4)x5x6o

(5)xa1xa

22222

(6)xllx18o

(7)6x7x2o

(8)4m12m9。

(9)57x6x_____________________________________________________o

(10)12x2xy6y2_____________________________________________________o

2、x24xx3x

3、若x2axbx2x4則a,b。

2、提公因式與分組分解2222

分解因式：

(1)x393x23x；(2)2x2xyy24x5y6

3、求根法

令ax2bxc0(a0)求實數(shù)根xl、x2,則二次三項式ax2bxc(a0)就可分解為

a(xxl)(xx2)

22練習：分解因式(1)x2x1；(2)x4xy4y24

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4、公式法

(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2；

222(2)完全平方公式(ab)a2ab.b

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

23(1)立方和公式(ab)(aab2b)3a；b

23(2)立方差公式(ab)(aab2b)3a；b

222(3)三數(shù)和平方公式(abcc)ab2c2(abbe；)a

3323(4)兩數(shù)和立方公式(ab)a3ab3a2b；b

(5)兩數(shù)差立方公式

練習把下列各式分解

1、9mn2mn2

3、4x24x22

(ab)3a33a2b3a2bb2、3x2134、x42x215鷹城一中高一數(shù)學導

學案設計人：謝添

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第二講函數(shù)與方程

一、正比例函數(shù)y=kx(k#0)

K>0

(i)<2>

k<0時

WO)

K>0,b>0k>0,b<0k<0,b>0x

K<0k>0

四、二次函數(shù)

1、表達式(1)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a#0)

(2)頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(aWO)

(3)零點式y(tǒng)=a(x+xl)(x+x2)其中(xl,0)(x2,0)二次函數(shù)與x軸的交點

2、圖像和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW())具有下列性質(zhì)：

2b4acb2

,),(1)當a>0時，函數(shù)y=ax+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為(2a4a

bbb對稱軸為直線x=一；當xV時，y隨著x的增大而減??；當x>時，y隨著

2a2a2a

b4acb2

x的增大而增大；當x=時，函數(shù)取最小值y=.2a4a

b4acb2

2,),(2)當aVO時，函數(shù)y=ax+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為(2a4a

bbb對稱軸為直線x=一；當xV時，y隨著x的增大而增大；當x>時，y隨著

2a2a2a

b4acb2

x的增大而減小；當x=時，函數(shù)取最大值y=.2a4a6

鷹城一中高一數(shù)學導學案設計人：謝添圖2.2-4圖2.2-3

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來.因此，在

今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問

題.練習

1、求二次函數(shù)y=-3x2—6x+l圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最

小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象.

2函數(shù)y=ax+bx+c圖象作圖要領：（1）確定開口方向：由二次項系數(shù)a決定

b（2）確定對稱軸：對稱軸方程為x2a

圖2.2—5b4acb2

(3)確定頂點坐標(-,)2a4a

(4)確定圖象與x軸的交點情況，

①若△>()則與x軸有兩個交點，可由方程x2+bx+c=0求出xl,x2②若△=()則與x軸

有一個交點，可由方程x2+bx+c=0求出xl=x2③①若則與x軸有無交點。

(5)確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c,所以交點坐標為(0,

c)

由以上各要素出草圖。

7

鷹城一中高一數(shù)學導學案設計人：謝添小結：

拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式△=b2-4ac存在下列關

系：

(1)當A>0時，拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線

y=ax2+bx+c(aW0)與x軸有兩個交點，貝ij△>0也成立.

(2)當△=()時，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸有一個交點(拋物線的頂點)；

反過來，若拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸有一個交點，貝l|A=0也成立.

(3)當A<0時，拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y

=ax2+bx+c(a#0)與x軸沒有交點，則△<0也成立.

A=b2—4ac>0A=b2—4ac=0A=b2—4ac<0

③①②

8

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第三講方程與不等式

一、一元一次方程與不等式

1、ax+b=Ox=b/a

2、ax+b>0x>b/a(a>0)x<b/a(a<0)

二、一元二次方程與一元二次不等式

一無二次方程ax2+bx+c=0

1、判別式A=b2-4ac

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),用配方法可以將其變形為

b2b24ac)(x.①22a4a

根因為aWO,所以，4a2>0.于是(1)當b2-4ac>0時，方程①的右端是一個正

數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)

(2)當b2—4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根xl=x2

=—bxl,2

\!b2-4ac

=；2ab；2a

(3)當b2—4acV0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊(xb2)一定大2a

于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的情況可以由b2-4ac來判定，

我們把b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的判別式，通常用符號

“△”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO),有

b(1)當△>?時，方程有兩個不相等的實數(shù)根xl,2

\Jb2-4ac

=；2a

b(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根xl=x2=—；2a

(3)當A<0時，方程沒有實數(shù)根.

練一練

判定下列關于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的

實數(shù)根.

(1)x2-3x+4=0；(2)x2-2ax-l=0；

(3)x2-ax+(2a+l)=0；(4)x2—x+a=09

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2、?元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)根與系數(shù)的關系

(1)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a關0)有兩個實數(shù)根

—b+

xl

-b—y/b2—4ac

,x2,則有

bb2

—b+\1b~—4?

bb

xlx2

—Z?—\/b4cic

2aa

2b2(b4ac)4accxlx22.24a4aa

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系：如果ax2+bx+c=0(aWO)的兩

根分別是xl,x2,那么xl+x2=be,xl?x2=.這一aa關系也被稱為韋達定理.

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若xl,x2是其兩根，由

韋達定理可知

xl+x2=-p,xl?x2=q,

即p=—(xl+x2),q=xl?x2,

2所以，方程x+px+q=O可化為x2—(xl+x2)x+xl?x2=0,由于xl,x2是一元二

次方程

2x+px+q=0的兩根，所以,xl,x2也是一元二次方程x2—(xl+x2)x+xl?x2=

0.因此有以兩個數(shù)xl,x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是

x2—(xl+x2)x+xl?x2=0.

練習：已知關于x的方程x2+2(m—2)x+m

-b+\/b'-4ac

2+4=0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求m的值.

-b—\lb2—4ac

2)設xl和x分別是一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO),則

lyjlr-4ac

la

_b+b~-4ar

2a

,x2,xl

—b—Jb~4ac

2a

|xl-x21

Jb，二

瓜

-a||

練習：關于x的方程x2+4x+m=0的兩根為xl,x2滿足|xl—x2|=2,求實數(shù)m的

值.10

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3、一元二不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0與一元二次方程ax2+bx+c=0、二次函

數(shù)y=ax2+bx+c

A=b2-4acy=ar2+Z>x+cax1-irbx-\-c=^(a>0)aV+bx+oO

(a>0)(a>0)

A>0有兩相異實根〈2或T>占：

J

修，42(2<X2)結論：1、若”「貝IJ

從兩根的兩邊取值

—b+sjb2-4ac

X1.2'----------12、可觀察圖像x策II

2a上方

A=O有兩相等實根<xx^一-—1

\u

b、2aJ

七一勺一c

2a可觀察圖像X軸上