第2章軸對(duì)稱圖形2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)1.在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,則∠B的度數(shù)是()A.20°B.50°C.80°D.20°或50°或80°2.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度數(shù)()知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的判定3.【教材變式·P73T8】如圖所示,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,那么下列結(jié)論:①BP=CP;②MN=BM+CN;③△BMP和△CNP都是等腰三角形;④△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC.其中正確的有()()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)4.在△ABC中,∠A=80°,當(dāng)∠B的度數(shù)為時(shí),△ABC是等腰三角形.()

5.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,在△ABC中,AB=BC,點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F,交BC于E,求證:BD=BE.知識(shí)點(diǎn)3等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定6.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)均為1cm,一個(gè)微型機(jī)器人由A點(diǎn)開(kāi)始按A-B-C-D-B-E-A的順序沿兩個(gè)等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng),行走2023cm停下,則這個(gè)微型機(jī)器人停在()A.點(diǎn)A處B.點(diǎn)B處C.點(diǎn)C處D.點(diǎn)E處7.(2022吉林長(zhǎng)春期末)如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù);(2)求證:DC=CF.知識(shí)點(diǎn)4直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)8.(2023江蘇興化月考)如圖,木桿AB斜靠在墻壁上,P是AB的中點(diǎn),當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí),木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng),則下滑過(guò)程中OP長(zhǎng)度的變化情況是()()A.逐漸變大B.不斷變小C.不變D.先變大再變小9.(2022江蘇高郵期中)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn),連接EF,CF.(1)求證:EF=CF;(2)若∠BAC=30°,AD=6,求C,E兩點(diǎn)間的距離.能力提升全練10.(2022江蘇淮安中考,8,★☆☆)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E為AC的中點(diǎn),若AB=10,則DE的長(zhǎng)是()()A.8B.6C.5D.411.(2022浙江湖州中考,8,★☆☆)如圖,已知在銳角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E是AD上一點(diǎn),連接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,則△EBC的面積是()()A.12B.9C.6D.3212.(2022海南中考,9,★☆☆)如圖,直線m∥n,△ABC是等邊三角形,頂點(diǎn)B在直線n上,直線m交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,若∠1=140°,則∠2的度數(shù)是()A.80°B.100°C.120°D.140°13.【新定義型試題】(2022江蘇蘇州中考,12,★★☆)定義:一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍,這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”,底邊BC的長(zhǎng)為3,則腰AB的長(zhǎng)為.

14.【一題多解】(2023江蘇常州期中,24,★★☆)如圖,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求證:AB=AC+CD.15.(2022浙江溫州中考,20,★★☆)如圖,BD是△ABC的角平分線,DE∥BC,交AB于點(diǎn)E.(1)求證:∠EBD=∠EDB;(2)當(dāng)AB=AC時(shí),請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.素養(yǎng)探究全練16.【推理能力】定義:頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做對(duì)頂三角形.如圖1,在△OAB與△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.(1)如圖1,△OAB與△OCD是對(duì)頂三角形,且A,O,C三點(diǎn)共線,請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)如圖2,△OAB與△OCD是對(duì)頂三角形,∠AOB=∠COD=90°,連接AC,BD,試探究線段AC,BD之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)如圖3,△OAB與△OCD是對(duì)頂三角形,∠AOB=∠COD=90°,連接AD,BC,取AD的中點(diǎn)E,連接EO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)F,延長(zhǎng)OE至點(diǎn)G,使EG=OE,連接AG,求證:EF⊥BC.圖1圖2圖317.【推理能力】【運(yùn)算能力】已知在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上,且ED=EC.(1)【特殊情況,探索結(jié)論】如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論:AEDB(填“>”“<”或“=”).

(2)【特例啟發(fā),解答題目】如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí),確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論:AEDB(填“>”“<”或“=”);理由如下:過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F(請(qǐng)你完成后續(xù)解答過(guò)程).

(3)【拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,且ED=EC,若△ABC的邊長(zhǎng)為1,AE=2,求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你畫(huà)出相應(yīng)圖形,并直接寫(xiě)出結(jié)果).圖1圖2

答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D當(dāng)∠A=∠B時(shí),∠B=80°;當(dāng)∠A=∠C時(shí),∠C=80°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-80°-80°=20°;當(dāng)∠B=∠C時(shí),∵∠A+∠B+∠C=180°,即80°+∠B+∠B=180°,∴∠B=50°.綜上所述,∠B的度數(shù)為20°或50°或80°.故選D.2.解析∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠DAE=∠BAD=28°,∠ADC=90°.∵AD=AE,∴∠ADE=12(180°-∠=12∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-76°=14°.3.B∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P,∴∠MBP=∠PBC,∠PCN=∠PCB.∵M(jìn)N∥BC,∴∠PBC=∠MPB,∠NPC=∠PCB,∴∠MBP=∠MPB,∠NPC=∠PCN,∴BM=MP,PN=CN,∴MN=MP+PN=BM+CN,△BMP和△CNP都是等腰三角形,故②③正確.∵△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN,MN=BM+CN,∴△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC,故④正確.當(dāng)∠ABC≠∠ACB時(shí),2∠PBC≠2∠PCB,∴∠PBC≠∠PCB,∴BP≠CP,故①錯(cuò)誤.故選B.4.答案20°或50°或80°解析①若∠A是頂角,則∠B=(180°-∠A)÷2=50°.②若∠A是底角,∠B也是底角,則∠B=∠A=80°.③若∠A是底角,∠B是頂角,則∠A=∠C=80°,∴∠B=180°-80°×2=20°.∴當(dāng)∠B的度數(shù)為20°或50°或80°時(shí),△ABC是等腰三角形.故答案為20°或50°或80°.5.證明∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴∠EFC-∠A=∠DFA-∠C.∵∠D=∠EFC-∠A,∠CEF=∠DFA-∠C,∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF,∴∠D=∠BED,∴BD=BE.6.B∵兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)均為1cm,∴機(jī)器人由A點(diǎn)開(kāi)始按A-B-C-D-B-E-A的順序沿兩個(gè)等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)一圈的路程為6cm,∵2023÷6=337……1,∴這個(gè)微型機(jī)器人停在B處.故選B.7.解析(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.(2)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°,∴△DEC是等邊三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF,∴DC=CF.8.C∵P是AB的中點(diǎn),∠AOB=90°,∴OP=12∵木桿AB的長(zhǎng)是定值,∴OP的長(zhǎng)度不變.故選C.9.解析(1)證明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∵點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn),∴EF=12∴EF=CF.(2)如圖,連接CE,由(1)得EF=AF=CF=12∴∠FEA=∠FAE,∠FCA=∠FAC,∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°,∴△EFC是等邊三角形,∴CE=EF=3,∴C,E兩點(diǎn)間的距離是3.能力提升全練10.C∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵E為AC的中點(diǎn),∴DE=12AC=5.故選11.B∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,∴BD=CD=12BC=3,AD⊥在Rt△EBD中,∠EBC=45°,∴ED=BD=3,∴S△EBC=12BC·ED=12×6×3=9.12.B如圖,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF=140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°.∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°.故選B.13.答案6解析∵等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”,BC是底邊,∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6,則△ABC的三邊長(zhǎng)分別是6,6,3,符合題意,∴腰AB的長(zhǎng)為6.若BC=3=2AB,則AB=1.5,△ABC的三邊長(zhǎng)分別是1.5,1.5,3,∵1.5+1.5=3,∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形,這種情況不存在.綜上所述,腰AB的長(zhǎng)是6.故答案為6.14.證明方法1(截長(zhǎng)法):如圖,在AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接DE.∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS),∴ED=CD,∠AED=∠C=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴EB=ED,∴BE=ED=CD,∴AB=AE+EB=AC+CD.方法2(補(bǔ)短法):如圖,延長(zhǎng)AC到E,使CE=CD,連接DE,則∠CDE=∠E,∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E.∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E.∵∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△AED(AAS),∴AB=AE=AC+CD.15.解析(1)證明:∵BD是△ABC的角平分線,∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED.理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.素養(yǎng)探究全練16.解析(1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,∴∠OCD=∠ODC=12(180°-∠∠OAB=∠OBA=12(180°-∠∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三點(diǎn)共線,∴AB∥CD.(2)AC=BD,AC⊥BD.理由:如圖,設(shè)BD交AC于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)J.∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,OA=OB∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM,∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD.(3)證明:如題圖3,∵E為AD中點(diǎn),∴AE,DE,在△AEG和△DEO中,AE=DE∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°.∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.在△GAO和△COB中,AG=OC∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC.∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC.17.解析(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),AE=DB.(2)AE=DB.理由:如圖,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF為等邊三角形,∴AE=AF=EF,∴BE=C