第三章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第一節(jié)系統(tǒng)的微分方程第二節(jié)傳遞函數(shù)第三節(jié)系統(tǒng)框圖第四節(jié)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和功能框第五節(jié)自動控制系統(tǒng)的框圖第六節(jié)框圖的變換、化簡和系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取主要內容第一節(jié)系統(tǒng)的微分方程描述系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關系的最直接的數(shù)學方法是列寫系統(tǒng)的微分方程。

當系統(tǒng)的輸入量和輸出量都是時間t的函數(shù)時，其微分方程可以確切地描述系統(tǒng)的運動過程。它是系統(tǒng)的最基本數(shù)學模型。一、系統(tǒng)微分方程式的建立建立微分方程式的一般步驟是：①全面了解系統(tǒng)的工作原理、結構組成和支配系統(tǒng)運動的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。②一般從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。③將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來消去中間變量，求取一個僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。④將該方程整理成標準形式。即把與輸入量有關的各項放在方程的右邊，把與輸出量有關的各項放在方程的左邊，各導數(shù)項按降冪排列，并將方程中的系數(shù)化為具有一定物理意義的表示形式，如時間常數(shù)等。二、微分方程建立舉例[例3-1]直流電動機的微分方程。1.直流電動機(Direct-CurrentMotor)各物理量間的關系。直流電動機有兩個獨立的電路：一個是電樞(Armature)回路，有關物理量的角標用a表示，為直觀起見，現(xiàn)將電樞的電阻Ra和漏磁電感La單獨畫出；另一個電路便是勵磁回路,有關物理量的角標F用表示。直流電動機的電路圖如圖3-1所示。

圖3-1直流電動機電路圖

（3-3）’

（3-5）（3-6）（3-7）

（3-8）（3-9）第二節(jié)傳遞函數(shù)

（3-11）

（3-12）

④傳遞函數(shù)的分母多項式，即為微分方程的特征方程。⑤傳遞函數(shù)是一種數(shù)學模型，因此對不同的物理模型，它們可以有相同的傳遞函數(shù)（如后面的圖3-4～圖3-8所示）。反之，對同一個物理模型(系統(tǒng)和元件)，若選取不同的輸入量和輸出量，則傳遞函數(shù)將是不同的（如后面的式3-39與式3-40所示）。第三節(jié)系統(tǒng)框圖（結構圖）1．功能框(BlockDiagram)如圖a）所示。2．信號線(SignalLine)如圖b）所示。3．引出點(又稱分點)(PickoffPoint)如圖b）所示。4．比較點(ComparingPoint)(又稱和點)(SummingPoint)如圖c所示。圖3-2框圖的圖形符號圖3-3典型自動控制系統(tǒng)框圖第四節(jié)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和功能

a)功能框圖

b)階躍響應（3-13）圖3-4比例環(huán)節(jié)c)實例

（3-15）（3-16）圖3-5積分環(huán)節(jié)

a)功能框圖b)階躍響應c)實例4.實例

積分環(huán)節(jié)的特點是它的輸出量為輸入量對時間的積累。因此，凡是輸出量對輸入量有儲存和積累特點的元件一般都含有積分環(huán)節(jié)。例如水箱的水位與水流量，烘箱的溫度與熱流量(或功率)，機械運動中的轉速與轉矩，位移與速度，速度與加速度，電容的電量與電流等等。積分環(huán)節(jié)也是自動控制系統(tǒng)中遇到的最多的環(huán)節(jié)之一。

圖3-6理想微分環(huán)節(jié)a)功能框b)階躍響應c)實例（3-19）

（3-20）

（3-21）（3-22）慣性環(huán)節(jié)的階躍響應曲線如圖3-7b所示。由圖可見，當輸入量發(fā)生突變時，輸出量不能突變，只能按指數(shù)規(guī)律逐漸變化，這就反映了該環(huán)節(jié)具有慣性。此環(huán)節(jié)的階躍響應，在第2章［例2-5］已作了詳細的分析。圖3-7慣性環(huán)節(jié)a)功能框b)階躍響應4．實例【閱讀材料】實例分析圖3-8慣性環(huán)節(jié)實例a)電阻、電感電路b)電阻、電容電路c)慣性調節(jié)器d)彈簧阻尼系統(tǒng)

（3-23）

（3-24）

（3-25）

（3-26）

圖3－9比例加微分環(huán)節(jié)

（3-27）（3-28）

（3-29）其階躍響應曲線如圖3-10b所示。圖3-10振蕩環(huán)節(jié)a)功能框(0≤ζ<1)b)階躍響應4.實例【實例11】圖3-11為一RLC串聯(lián)電路。若以電源電壓作為輸入電壓，以電容器兩端電壓作為輸出電壓，求此電路的傳遞函數(shù)。并分析此為振蕩電路的條件。圖3-11

RLC串聯(lián)電路

（3-31）圖3－12延遲環(huán)節(jié)a)功能框b)階躍響應c)鋼板軋制厚度測量延遲示意圖4．實例①液壓油從液壓泵到閥控油缸間的管道傳輸產(chǎn)生的時間上的延遲。②熱量通過傳導因傳輸速率低造成的時間上的延遲③晶閘管整流電路，當控制電壓改變時，由于晶閘管導通后即失控，要等到下一個周期開始后才能響應，這意味著，在時間上也會造成延遲(對單相全波

圖3-13運算放大器電路圖由上式可見，若選擇不同的輸入回路阻抗和反饋回路阻抗，就可組成各種不同的傳遞函數(shù)。這是運放器的一個突出的優(yōu)點。應用這一點，可以組成各種調節(jié)器(Regulator)和各種模擬電路(AnalogSimulator)。

圖3-9c比例微分環(huán)節(jié)實例（3-33）

圖3-14比例加積分調節(jié)器電路圖第五節(jié)自動控制系統(tǒng)的框圖一、系統(tǒng)框圖的畫法①首先是列出系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的微分方程，然后進行拉氏變換，根據(jù)各量間的相互關系，確定該環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量，得出對應的傳遞函數(shù)，再由傳遞函數(shù)畫出各環(huán)節(jié)的功能框。②在各環(huán)節(jié)功能框的基礎上，首先確定系統(tǒng)的給定量(輸入量)和輸出量，然后從給定量開始，由左至右，根據(jù)相互作用的順序，依次畫出各個環(huán)節(jié)，直至得出所需要的輸出量，并使它們符合各作用量間的關系。③然后由內到外，畫出各反饋環(huán)節(jié)，最后在圖上標明輸入量、輸出量、擾動量和各中間參變量。④這樣就可以得到整個控制系統(tǒng)的框圖。

下面通過直流電動機來說明系統(tǒng)框圖的畫法：①列出直流電動機各個環(huán)節(jié)的微分方程［參見式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏變換式→傳遞函數(shù)→功能框。今將直流電動機的各功能框列于表3-1中。②如今以電動機電樞電壓作為輸入量，以電動機的角位移θ為輸出量。于是可由開始，按照電動機的工作原理，由依次組合各環(huán)節(jié)的功能框，然后再加上電勢反饋功能框，如圖3-15所示。

圖3-15直流電動機的系統(tǒng)框圖

圖3-16當負載轉矩增加時，電動機內部的自動調節(jié)過程圖3-16為負載轉矩增加時，直流電動機內部的自動調節(jié)過程。由圖可見，當負載轉矩TL增加時，Te<TL(平衡運行時，Te=TL)，這將使轉速n下降，它將導致電樞電勢e下降、電流ia增加，電磁轉矩Te增加，這一過程要一直延續(xù)到電磁轉矩Te達到TL值時，電動機才重新處于新的平衡狀態(tài)為止。從以上分析可以清楚看到，這個過程主要是通過電動機內部電動勢e的變化來進行自動調節(jié)的。一、框圖的等效變換規(guī)則框圖等效變換的原則是變換后與變換前的輸入量和輸出量都保持不變。第六節(jié)框圖的變換、化簡和系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取

圖3-17框圖串聯(lián)變換（3-36）

圖3-18框圖并聯(lián)變換（3-37）

圖3-19反饋聯(lián)接變換

（3-38）4.引出點和比較點的移動規(guī)則移動規(guī)則的出發(fā)點是等效原則，即移動前后的輸入量與輸出量保持不變。移動前后框圖的對照表3-2所示。圖3-20閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的意義

圖3-15直流電動機的系統(tǒng)框圖

（3-39）

圖3-15直流電動機的系統(tǒng)框圖（3-40）

（3-39）’

圖3-21直流電動機框圖（3-40）’【例3-6】化簡圖3-22a所示的多回環(huán)系統(tǒng)。圖3-22交叉多回環(huán)系統(tǒng)的簡化

（3-41）

圖3-23自動控制系統(tǒng)的典型結構

（3-42）

（3-43）（3-44）a)僅考慮給定量r(t)作用b)僅考慮擾動量d(t)作用圖3-24僅考慮一個作用量時的系統(tǒng)框圖

（3-45）

圖3-25

交叉反饋系統(tǒng)的化簡

（3-46）小結1．微分方程是系統(tǒng)的時間域模型，也是最基本的數(shù)學模型。對一個實際系統(tǒng)，一般是從輸入端開始，依次根據(jù)有關的物理定律，寫出各元件或各環(huán)節(jié)的微分方程，然后消去中間變量，并將方程整理成標準形式。2．傳遞函數(shù)是系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))在初始條件為零時的輸出量的拉氏變換式和輸入量的拉氏變換式之比。傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身內部的結構、參數(shù)有關，而與給定量、擾動量等外部因素無關。它代表了系統(tǒng)

(或環(huán)節(jié))的固有特性。它是系統(tǒng)的復數(shù)域模型，也是自動控制系統(tǒng)最常用的數(shù)學模型。3．對同一個系統(tǒng)，若選取不同的輸出量或不同的輸入量，則其對應的微分方程表達式和傳遞函數(shù)也不相同。4．典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有對一般的自動控制系統(tǒng)，應盡可能將它分解為若干個典型的環(huán)節(jié)，以利于理解系統(tǒng)的構成和系統(tǒng)的分析。

它還清楚地表明了各環(huán)節(jié)間的相互聯(lián)系，因此它是理解和分析系統(tǒng)的重要方法。建立系統(tǒng)框圖的一般步驟是：

①全面了解系統(tǒng)的工作原理、結構組成和支配系統(tǒng)工作的物理規(guī)律，并確定系統(tǒng)的輸入量(給定量)和輸出量(被控量)。

②將系統(tǒng)分解成若干個單元(或環(huán)節(jié)或部件)，然后從被控量出發(fā)，由控制對象→執(zhí)行環(huán)節(jié)→功率。放大環(huán)節(jié)→控制環(huán)節(jié)(含