第第頁培優(yōu)點5平面向量“奔馳定理”平面向量是高考的必考考點，它可以和函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等知識相結(jié)合考查.平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用.考點一平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例1已知O是△ABC內(nèi)部一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，則實數(shù)m等于()A.2B.3C.4D.5答案為：C解析：由奔馳定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.易錯提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點P為△ABC內(nèi)一點；定理中等式左邊三個向量的系數(shù)不是三角形的面積，而是面積之比.跟蹤演練1設(shè)點O在△ABC內(nèi)部，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(S△OAB,S△OBC)＝________.答案為：eq\f(3,5)解析：由eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，得﹣12eq\o(OA,\s\up6(→))＝4(eq\o(OB,\s\up6(→))﹣eq\o(OA,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))﹣eq\o(OA,\s\up6(→)))，整理得5eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(S△OAB,S△OBC)＝eq\f(3,5).考點二“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內(nèi)部)(1)O是△ABC的重心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)O是△ABC的內(nèi)心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O是△ABC的外心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin2A∶sin2B∶sin2C?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(4)O是△ABC的垂心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tanA∶tanB∶tanC?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.考向1“奔馳定理”與重心例2已知在△ABC中，G是重心，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且56aeq\o(GA,\s\up6(→))＋40beq\o(GB,\s\up6(→))＋35ceq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則B＝________.答案為：eq\f(π,3)解析：依題意，可得56a＝40b＝35c，所以b＝eq\f(7,5)a，c＝eq\f(8,5)a，所以cosB＝eq\f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)a))2,2a×\f(8,5)a)＝eq\f(1,2)，因為0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).考向2“奔馳定理”與外心例3已知點P是△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，C＝eq\f(2π,3)，則λ＝________.答案為：﹣1解析：依題意得，sin2A∶sin2B∶sin2C＝1∶1∶λ，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B，又C＝eq\f(2π,3)，∴A＝B＝eq\f(π,6)，又eq\f(sin2B,sin2C)＝eq\f(1,λ)，∴λ＝eq\f(sin2C,sin2B)＝eq\f(sin\f(4π,3),sin\f(π,3))＝﹣1.考向3“奔馳定理”與內(nèi)心例4在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O為△ABC的內(nèi)心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則3λ＋6μ的值為()A.1B.2C.3D.4答案為：C解析：eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))可化為eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))﹣λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))﹣μeq\o(OB,\s\up6(→))＝0，整理得(1﹣λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(λ﹣μ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以(1﹣λ)∶(λ﹣μ)∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝eq\f(5,9)，μ＝eq\f(2,9)，所以3λ＋6μ＝3×eq\f(5,9)＋6×eq\f(2,9)＝3.考向4“奔馳定理”與垂心例5已知H是△ABC的垂心，若eq\o(HA,\s\up6(→))＋2eq\o(HB,\s\up6(→))＋3eq\o(HC,\s\up6(→))＝0，則A＝________.答案為：eq\f(π,4)解析：依題意，可得tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，可得6tanA＝6tan3A，因為tanA≠0，所以tanA＝±1.又因為tanA<tanB<tanC，所以tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).規(guī)律方法涉及三角形的四心問題時，內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點都在三角形內(nèi)部，解題時，要注意觀察題目有無這一條件.跟蹤演練2(1)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，且2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，則角C＝________.答案為：eq\f(π,3)解析：由2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，可得a∶b∶c＝2∶3∶eq\r(7)，令a＝2k，b＝3k，c＝eq\r(7)k，則cosC＝eq\f(4k2＋9k2－7k2,2·2k·3k)＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).(2)設(shè)點P在△ABC內(nèi)部且為△ABC的外心，∠BAC＝eq\f(π,6)，如圖.若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則x＋y的最大值是______.答案為：eq\f(\r(3),3)解析：方法一據(jù)奔馳定理得，eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2xeq\o(PB,\s\up6(→))＋2yeq\o(PC,\s\up6(→))，平方得eq\o(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq\o(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq\o(PC,\s\up6(→))2＋8xy|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|·cos∠BPC，又因為點P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，且∠BPC＝2∠BAC＝eq\f(π,3)，所以x2＋y2＋xy＝eq\f(1,4)，(x＋y)2＝eq\f(1,4)＋xy≤eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，解得0<x＋y≤eq\f(\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),6)時取等號，所以(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3).方法二S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin2A∶sin2B∶sin2C，sin2A∶sin2B∶sin2C＝eq\f(1,2)∶x∶y，又∠BAC＝eq\f(π,6)，∴sin2A＝eq\f(\r(3),2)，∵x＝eq\f(\r(3),3)sin2B，y＝eq\f(\r(3),3)sin2C，∴x＋y＝eq\f(\r(3),3)(sin2B＋sin2C)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2B))))＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,3))).又∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))，∴2B﹣eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,3)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，∴x＋y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，∴(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3).專題強(qiáng)化練1.點P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A.2∶1B.3∶2C.3∶1D.5∶3答案為：C解析：根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.2.點O為△ABC內(nèi)一點，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)答案為：A解析：根據(jù)奔馳定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故λ＝eq\f(2,9)，μ＝eq\f(4,9).3.△ABC的重心為G，AB＝6，AC＝8，BC＝2eq\r(13)，則△BGC的面積為()A.12eq\r(3)B.8eq\r(3)C.4eq\r(3)D.4答案為：C解析：cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(36＋64－52,2×6×8)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8×sineq\f(π,3)＝12eq\r(3)，又G為△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝eq\f(1,3)S△ABC＝4eq\r(3).4.如圖所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M為△ABC的外心，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則4λ＋3μ等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3)D.eq\f(8,3)答案為：C解析：在△ABC中，由余弦定理，可得BC＝eq\r(82＋62－2×8×6cos60°)＝2eq\r(13)，所以圓M的半徑R＝eq\f(2\r(13),2sin60°)＝eq\f(2\r(39),3)，所以S△AMB＝eq\f(1,2)×8×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－42)＝eq\f(8\r(3),3)，S△BMC＝eq\f(1,2)×2eq\r(13)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－\r(13)2)＝eq\f(13\r(3),3)，S△CMA＝eq\f(1,2)×6×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－32)＝5eq\r(3).由eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(MA,\s\up6(→))＋λeq\o(MB,\s\up6(→))﹣λeq\o(MA,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))﹣μeq\o(MA,\s\up6(→))＝0，整理得(1﹣λ﹣μ)eq\o(MA,\s\up6(→))＋λeq\o(MB,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1﹣λ﹣μ)∶λ＝8∶13∶15，解得λ＝eq\f(5,12)，μ＝eq\f(2,9)，所以4λ＋3μ＝eq\f(7,3).5.(多選)如圖，設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則()A.eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,5)B.eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(1,3)C.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5)D.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(3,4)答案為：AC解析：由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(PB,\s\up6(→))﹣eq\f(2,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(PC,\s\up6(→))﹣eq\f(1,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，整理得eq\f(2,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,2＋2＋1)＝eq\f(1,5).由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(QB,\s\up6(→))﹣eq\f(2,3)eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(QC,\s\up6(→))﹣eq\f(1,4)eq\o(QA,\s\up6(→))＝0，整理得eq\o(QA,\s\up6(→))＋8eq\o(QB,\s\up6(→))＋3eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(3,1＋8＋3)＝eq\f(1,4)，eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5).6.△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為2，且S△ABC＝14,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的外接圓面積為________.答案為：eq\f(64π,7)解析：∵2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且O為內(nèi)心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，則b＝2k，c＝3k，設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，又S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r?eq\f(1,2)×7k×2＝14?k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cosC＝﹣eq\f(1,8)，sinC＝eq\f(3\r(7),8)，又2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))?R＝eq\f(8,\r(7))＝eq\f(8\r(7),7)，∴外接圓面積S＝πR2＝eq\f(64π,7).7.若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.則△ABC的面積為______.答案為：eq\f(6,5)解析：∵3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＝﹣5eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，∴9|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋16|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋24eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝25|eq\o(OC,\s\up6(→))|2，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴OA⊥OB，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，由奔馳定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，∴S△AOB＝eq\f(5,3＋4＋5)·S△ABC，∴S△ABC＝eq\f(12,5)S△AOB＝eq\f(6,5).8.已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.答案為：eq\f(1,30)解析：根據(jù)奔馳定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝eq\f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝eq\f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq\f(1,5)S△ABC，∴eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(S△QBC－S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,5)﹣eq\f(1,6)＝eq\f(1,30).培優(yōu)點6向量極化恒等式平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點，很多時候需要用基底代換，運算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、等和(高)線求解，能簡化向量代換，減少運算量，使題目更加清晰簡單.考點一向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)﹣eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)﹣eq\f(|a－b|2,4).(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2﹣eq\o(MB,\s\up6(→))2.考向1利用向量極化恒等式求值例1(1)如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F(xiàn)為線段BD的四等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.答案為：27解析：BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝12，∴AO＝6，OE＝3，∴由極化恒等式知eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2﹣eq\o(OE,\s\up6(→))2＝36﹣9＝27.(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點.eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝﹣1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________.答案為：eq\f(7,8)解析：設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2﹣eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2﹣m2＝4，①eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2﹣eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2﹣m2＝﹣1.②聯(lián)立①②，解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2﹣eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2﹣m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).考向2利用向量極化恒等式求最值、范圍例2(1)已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點，P是圓O所在平面上任意一點，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是________.答案為：﹣eq\f(1,2)解析：如圖所示，取OC的中點D，連接PD，因為O為AB中點，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，由極化恒等式得eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2﹣eq\o(DO,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4)，因此當(dāng)P為OC的中點，即|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝0時，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值﹣eq\f(1,2).(2)平面向量a，b滿足|2a﹣b|≤3，則a·b的最小值為________.答案為：﹣eq\f(9,8)解析：由向量極化恒等式知a·b＝eq\f(2a＋b2－2a－b2,8)＝eq\f(|2a＋b|2－|2a－b|2,8)≥eq\f(02－32,8)＝﹣eq\f(9,8)，當(dāng)且僅當(dāng)|2a＋b|＝0，|2a﹣b|＝3，即|a|＝eq\f(3,4)，|b|＝eq\f(3,2)，〈a，b〉＝π時，a·b取最小值.規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題.跟蹤演練1(1)如圖，在四邊形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝﹣eq\f(3,2)，則實數(shù)λ的值為________；若M，N是線段BC上的動點，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為________.答案為：eq\f(1,6)eq\f(13,2)解析：依題意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos∠BAD＝﹣eq\f(3,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝﹣eq\f(3,2)，得|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，因此λ＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6).取MN的中點E，連接DE(圖略)，則eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))2﹣(eq\o(DM,\s\up6(→))﹣eq\o(DN,\s\up6(→)))2]＝eq\o(DE,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4)eq\o(NM,\s\up6(→))2＝eq\o(DE,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4).當(dāng)點M，N在線段BC上運動時，DE的最小值等于點D到直線BC的距離，即AB·sinB＝eq\f(3\r(3),2)，因此eq\o(DE,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4)的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2﹣eq\f(1,4)＝eq\f(13,2)，即eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為eq\f(13,2).(2)如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________.答案為：[0,2]解析：由正方體的棱長為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2eq\r(3).當(dāng)弦MN的長度最大時，MN為內(nèi)切球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2﹣eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2﹣1.由于P為正方體表面上的動點，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2].考點二等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題等和(高)線平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過O點時，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.例3(1)在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.1答案為：A解析：方法一設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)﹣eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)，所以λ＋μ＝eq\f(1,2).方法二如圖，過N作BC的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由圖易知，eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).(2)如圖，圓O是邊長為2eq\r(3)的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點D，點M為圓上任意一點，eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.2eq\r(2)答案為：C解析：如圖，作出定值k為1的等和線DE，AC是過圓上的點最遠(yuǎn)的等和線，則eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))＝2x·eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))·＋yeq\o(BD,\s\up6(→))＝2xeq\o(BE,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))，當(dāng)M在N點所在的位置時，2x＋y最大，設(shè)2x＋y＝k，則k＝eq\f(|\o(NB,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|)＝2，所以2x＋y取得最大值2.易錯提醒要注意等和(高)線定理的形式，解題時一般要先找到k＝1時的等和(高)線，以此來求其他的等和(高)線.跟蹤演練2給定兩個長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3)，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的eq\o(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y的最大值是________.答案為：2解析：方法一以O(shè)為坐標(biāo)原點，eq\o(OA,\s\up6(→))所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示，則A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，設(shè)∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，則C(cosα，sinα).由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以當(dāng)α＝eq\f(π,3)時，x＋y取得最大值2.圖(1)圖(2)方法二令x＋y＝k，在所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心最遠(yuǎn)，如圖(2)，即此時k取得最大值，結(jié)合角度，不難得到k＝eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(OE,\s\up6(→))|)＝2.專題強(qiáng)化練1.已知正方形ABCD的面積為2，點P在邊AB上，則eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最大值是()A.eq\f(9,2)B.2C.eq\f(3,2)D.eq\f(3,4)答案為：B解析：如圖所示，取CD的中點E，連接PE，由極化恒等式可得eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))2﹣eq\o(EC,\s\up6(→))2＝eq\o(PE,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,2)，所以當(dāng)P與A(B)重合時，|PE|＝eq\f(\r(10),2)最大，從而(eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→)))max＝2.2.如圖，在四邊形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝﹣28，則eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))等于()A.64B.42C.36D.28答案為：C解析：由eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2﹣eq\o(ON,\s\up6(→))2＝36﹣eq\o(ON,\s\up6(→))2＝﹣28，解得eq\o(ON,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2﹣eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝100﹣64＝36.3.若A，B為雙曲線eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1上經(jīng)過原點的一條動弦，M為圓C：x2＋(y﹣2)2＝1上的一個動點，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值為()A.eq\f(15,4)B.7C.﹣7D.﹣16答案為：C解析：如圖，O為AB的中點，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))2，|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→))·\o(MB,\s\up6(→))))max＝9﹣eq\f(1,4)×64＝﹣7.4.如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點P是區(qū)域ABDC內(nèi)任意一點(含邊界)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))