常州2022-2023新課結束考試數(shù)學易錯點

考點一：一元二次方程與二次函數(shù)

一元二次方程

思路：定義一一般式一解方程一實際問題

注意：解方程的公式及實際問題

1、下列方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.2x2—1+1=0B.（%+1）（%—1）=x2—x

C.5x2—4=0D.ax2+bx+c=0

2、如果方程（m-3）/標-7-x+3=。是關于%的一元二次方程，那么根的值為（）

A.+3B.3C.-3D.都不對

3、已知機是一元二次方程f-X-2=0的一個根，則2022-m2+m的值為.

4、設一元二次方程x2-2x-1=0的兩根為Xl，X2,貝XI-X1X2+X2的值為（）

A.1B.-1C.0D.3

5、已知關于x的方程x2-（3k+l）x+2k2+2k=0.

（1）求證：無論k取何值，方程總有實數(shù)根；

（2）若等腰三角形的底邊長3,另兩邊長恰好是這個方程的兩根，求此三角形的周長.

6、如圖，在△48C中，ZABC=90°,AB=3cm,BC=6cm,動點P,。分別從點A,B同

時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為Icvn/s,點。的速度為25而，點。移

動到C點后停止，點尸也隨之停止運動，當四邊形APQC的面積為9c#時，則點尸運

動的時間是（）

A.3sB.3s或5sC.4sD.5s

7、某水果經銷商以10元/千克的價格向當?shù)毓r收購某種水果，該水果的市場銷售價為20

元/千克，根據(jù)市場調查，經銷商決定降價銷售.已知這種水果日銷售量y（千克）與每千

克降價x（元）（0Wx<10）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關系.

⑴求y與x之間的關系式；

⑵若經銷商計劃該種水果每日獲利440元，那么該種水果每千克應降價多少元進行銷售？

其相應的日銷售量為多少？

8、2022年冬奧會在北京順利召開，冬奧會吉祥物冰墩墩公仔爆紅.據(jù)統(tǒng)計冰墩墩公仔在某

電商平臺1月份的銷售量是5萬件，3月份的銷售量是7.2萬件.

(1)若該平臺1月份到3月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？

(2)市場調查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪冰墩墩公仔的進價為每件60元，若售價為每件100元，

每天能銷售20件，售價每降價1元，每天可多售出2件，為了推廣宣傳，商家決定降價

促銷，同時盡量減少庫存，若使銷售該公仔每天獲利1200元，則售價應降低多少元？

二次函數(shù)問題

思路：解析式一開口一對稱軸—最大最小一特殊轉化

注意點：圖像補充/對稱軸判定/交點確定

1.已知函數(shù)y=(x-s)(x-〃)(其中根＜〃)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=妙+機的圖象

(0,3)兩點之間(包含端點).下列結論中正確的是()

①不等式加+c<-bx的解集為X<-1或x>3；

②9/-從<0；

③一元二次方程52+法+4=0的兩個根分別為占=(,x2=-l；

(4)6<3/j-2<10.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

3.2013年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯(lián)蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸

業(yè).比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線(如圖).若不考慮外力因素，羽

2Q1A

毛球行進高度y(米)與水平距離x(米)之間滿足關系y=-§x2+]x+5,則羽毛球飛出

的水平距離為米.

4.如圖，已知拋物線丫=/+法+。經過4(-1,0)、8(3,0)兩點，與y軸相交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是對稱軸上的一個動點，當△PAC的周長最小時，直接寫出點戶的坐標和周

長最小值；

(3)點。為拋物線上一點，若5如3=8,求出此時點。的坐標.

4.(1)y=x2-2x-3；(2)尸(1,-2),而+3夜；(3)Q(1-2^2,4)，0(1+2?4)

Q(l,—4)

5.如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為。，拋物線y=o（x-2）2+1（a>0）的頂點

為4過點A作y軸的平行線交拋物線y=-；f-2于點B,連接A。、B0,則MOB的面積

為.

類型二：圓

思路：定義一性質一性質一證明

注意點：垂徑定理/切線/圓周角圓心角/

1.（2020?青白江區(qū)模擬）如圖，已知AC是。的直徑，過點C的弦8平行于半徑OB,

若NC的度數(shù)是40。，則々的度數(shù)是（）

2.（2020?濱湖區(qū)一模）如圖，已知C為AB上一點，若NA03=100。，則NAC3的度數(shù)為（

3.（2020?鎮(zhèn)江模擬）如圖所示，菱形A3a）邊長為2,NABC=60。，則陰影部分的面積為

4.已知AABC的三邊長為AB=2,BC=3,AC=4,則三角形內切圓半徑為()

AV15口岳?715「店

A.--------D.--------L?--------D.--------

2634

5.(2020?金湖縣一模)如圖，已知4?是。的直徑，/1￡平分NS4E交O于點E,過點

作C￡>J_AF交AF的延長線于點￡>,交回的延長線于點C.

(1)試說明8是：。的切線；

(2)若AD=5,O的半徑為4,求AE的長.

6.(2020?常州模擬)如圖，四邊形內接于O,AC為。的直徑，。為弧AC的

中點，過點。作DE//AC,交BC的延長線于點E.

(1)判斷。E與O的位置關系，并說明理由；

(2)若O的半徑為6,A8=9,求CE的長.

類型三：相似

思路：相似判定一相似性質一格點相似一相似動點

注意點：相似比/位似/存在性問題

1.下列四條線段為成比例線段的是（）

A.a=10,b=5,c=4,d=7B.a=l,b=G，c=瓜,d=0

C.a=8,b=5,c=4,d=3D.a=9,b=G，c=3,d=>/6

-HC~a+b,,^什xyzx-y+3z

2.若3a=2bn,il則［］的值為______；若則nil--——=________.

b432x

57

2n.——

34

3.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是叵口

2

（叵口，0.618,稱為黃金分割比例），如圖，著名的"斷臂維納斯〃便是如此.此外，最美

2

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是叵口.若某人滿足上述兩個黃金分

2

割比例，且腿長為105ca，頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.115cmC.185cmD.190cm

4.如圖，已知ABC,任取一點。，連A。，BO,CO,分別取點D,E,F,使OD=；A。,

OE=；BO,OF=gc。，得DEF.下列說法中，錯誤的是（）

A.DEF與4ABe是位似三角形B.OAC與,ODF是位似三角形

C.OEF與aABC周長的比是1：3D.圖中位似的兩個三角形面積比是1:9

5.如圖所示，將回ABC的三邊分別擴大一倍得到回AiBiCi,（頂點均在格點上），它們是以P

點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是（）

6.已知：西BC在直角坐標平面內，三個頂點的，坐標分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,

2)(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).

(1)畫出向下平移4個單位長度得到的MiBiQ,點G的坐標是；

(2)以點8為位似中心，在網格內畫出蜘282c2,使兇282c2與位似，且位似比為2：1,

點Ci的坐標是.

7.如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部(點0)5米的A處，沿

OA所在的直線行走到點C時^,人影長度增長3米，則小方行走的路程AC=.

8.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,動點D從A點出發(fā)到B點止，動點

E從C點出發(fā)到A點止.點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm秒.如果兩點同

時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與回ABC相似時?，運動的時間是（)

A.3或2.8B.3或4.8C.1或4D.1或6

答案

1.

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且最高次項的次數(shù)是2次，并且是整式方

程，即可判斷.

【詳解】

解：A.分母中有未知數(shù)，它不是整式方程，它不是一元二次方程，故此項不符合題意；

B.選項化簡，得x-l=O,不含有2次項，它不是一元二次方程，故此項不符合題意；

C.只含有一個未知數(shù)，并且最高次項的次數(shù)是2次，并且是整式方程，它是一元二次方程，

故此選項符合題意；

D.選項當a=0時，不含有2次項，它不是一元二次方程，故此項不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程，對一元二次方程的定義的準確理解是解決本題的關鍵.

2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用一元二次方程定義可得，7-7=2,且加3x0,再解出"?的值即可.

【詳解】

解：由題意得：m2-7=2,且，〃-3H0,

解得：，”=-3,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，

并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

3

【答案】2020

【解析】

【分析】

把X=TH代入方程/-%-2=0,得巾2-血=2,再整體代入，求出所求代數(shù)式的值.

【詳解】

解：回機是一元二次方程/—%—2=0的一個根，

13把x=m代入方程/—x-2=0,得Hi?~m=2,

02022-m2+m=2022-(m2-m)=2022-2=2020,

故答案為：2020.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值；能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值是一元二次方程的解.解題關鍵利用整體代入的思想

4.

【分析】先利用根與系數(shù)的關系得Xl+X2=2,X1X2=-1,再變形得到xi-X1X2+X2=X1+X2

-X1X2,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解:根據(jù)根與系數(shù)的關系得Xl+X2=2,X1X2=-1,

所以XI-X1X2+X2=X1+X2-X1X2=2-(-1)=3.

故選：D.

5.

【分析】(1)通過計算A=b2-4ac=(k-1)2,由偶次方的非負性可證明結論；

(2)由等腰三角形的性質可得該方程由兩個相等的實數(shù)根，結合根的判別式可求解k值，

再將k值代入方程，得到X2-4X+4=0,解方程求出兩腰的長為2,又已知底邊是3,則

根據(jù)三角形的周長公式即可求解.

【解答】(1)證明:VA=b2-4ac=[-(3k+l)產-4?(2/+2k)—k2-2k+l—(k-1)

220,

,無論k取何值，方程總有實數(shù)根；

(2)解：；等腰三角形的底邊長3,

,另兩邊長即為等腰三角形的腰長，

?.?另兩邊長恰好是這個方程的兩根，

,該方程有兩個相等的實數(shù)根，

/.A=b2-4ac=[-(3k+l)]2-4?(2/c2+2fr)=k?-2k+l=(fc-1)2=0,

解得A=L

將k=l代入方程，得/-4x+4=0,

解得：X1=X2=2.

此時△ABC三邊為3,2,2；

所以周長為3+2+2=7.

6.

【答案】A

【解答】解：設動點尸，Q運動/秒后，能使四邊形APQC的面積為

則8P為(8-f)cm,BQ為2tcm,由三角形的面積計算公式列方程得，

Ax(8-t)X2t=(24-9),

2

解得n=3,f2=5(當f=5時，B(2=10,不合題意，舍去).

動點P，。運動3秒時?，能使四邊形4P0c的面積為9sl2.

故選：A.

7.

【答案】(l)y=10x+50(04x<10)

(2)6元，110千克

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圖象上點的坐標，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；

(2)每日利潤=每千克銷售利潤x日銷售量，由此可得關于x的一元二次方程，求出x的值，

代入y與x之間的關系式即可求出相應的日銷售量.

⑴

解：設y與x之間的關系式為y=爪+伙04x<10),

觀察圖象，將(1,60),(4,90)代入產奴+b得，

j60=k+b

\90=4k+b

k=10

解得

6=50

故y與x之間的關系式為y=10x+50(0Vx<10)；

⑵

解：依題意，降價x元后，每千克銷售利潤為(20-10-x)元，日銷量為(10x+50)千克,

貝iJ(20-10-x)(10x+50)=440,

整理得x?—5x—6=0,

解得士=6或%=-1(不合題意，舍去)

當x=6時，7=10x6+50=110,

故該種水果每千克應降價6元進行銷售，其相應的日銷售量為110千克.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)和一元二次方程的實際應用，第1問需要掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)

的解析式，關鍵是從圖象中找出有用信息；第2問關鍵是根據(jù)題意找出等量關系列方程并正

確求解.

8.

【解答】解：(1)設月平均增長率是X,

依題意得：5(1+x)2=7.2,

解得：Xi=0.2=20%,刈=-2.2(不合題意，舍去).

答：月平均增長率是20%.

(2)設售價應降低y元，則每件的銷售利潤為(100-y-60)元,每天的銷售量為(20+2y)

件，

依題意得:(100-y-60)(20+2y)=1200,

整理得：/-30y+200=0,

解得：），1=10,”=20.

又,?,要盡量減少庫存，

.“=20.

答：售價應降低20元.

二次函數(shù)問題

思路：解析式一開口一對稱軸一最大最小一特殊轉化

注意點：圖像補充/對稱軸判定/交點確定

1.D

【分析】

根據(jù)題意可得二次函數(shù)與x軸的交點為（m,0）,（n,0）,從而得到加

進而得到函數(shù)丫=加+〃?經過第一三四象限，且與y軸的交點位于點（0,-1）的下方，即可

求解.

解：令y=0,則（x-wt）（x-"）=0,

解得:=m,x2=n,

國二次函數(shù)與x軸的交點為（m,0）,（n,0）,

回m<n,

0/?<-l,O<n<l,

回函數(shù)y="+m經過第一、三、四象限，且與y軸的交點位于點（0,-1）的下方.

故選：D

【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)和■次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)

的圖象和性質是解題的關鍵

2.

2.D

【分析】

利用對稱軸及點A的坐標可以求出拋物線與x軸的另一交點，結合圖象即可求出不等式

的解集；利用對稱軸X=-3=1,可知6=2,進一步可求出9/—6=5/“；利用韋

2a

hc

達定理求出方程如2+區(qū)+c=o根與系數(shù)的關系，可知一一=2,—=-3,進一步可以求出方

aa

1

a-——c

b=-2a一,其中2<c<3,再利用

程c￡+bx+a=0的兩根；利用可以推出

a-b+c=O

b=-c

3

4/76,—

n=PJ3n-2=4c-2,利用c的范圍可以求出3〃—2的范圍:

4〃

解：團對稱軸x=l,A(—1,0),

團拋物線交于x軸的另?點坐標為(3,0),

團結合圖象可知以?+fcv+c<0的解集為x<-l或％>3,故①正確；

團對稱軸x=-2=i,

2a

^h=-2a,BP9a2-b2=5a2>0,故②錯誤；

hc

團ar?+Jx+c=O中根與系數(shù)的關系：X]+x,=—=2,x?x=—=-3

a]2a

假設方程ex2+hx+a=O的根為七和x4，

團―fH--X+1—0,

aa

?-3x2-2x+l=0,

因式分解得：(3x-l)(x+l)=0

一?1

團芻=-1,x4=-

回“2+法+”=0的兩個根分另U為玉=；,々=-1,故③正確;

[b=-2a

[a-h+c=O

1

a=——c

b=-c

[3

c4ac-b2

?n--------

4a

團3n-2=4c-2

02<c<3

04x2-2<3n-2<4x3-2,即6V3〃-2410,故④正確;

綜上所述：正確的有①③④，

故選：D.

3.

3.5

【分析】

試題分析：根據(jù)羽毛球飛出的水平距離即為拋物線與x軸正半軸交點到原點的距離求出

即可.

OQ1H

解：當y=0時,-1x2+|x+y=0,

解得：Xl=-1(舍)，X2=5.

回羽毛球匕出的水平距離為5米.

4.

4.(1)y=x2-2x-3；(2)P(L-2),而+30；(3)Q(1-272,4),(2式1+2也4),

ft(1,-4)

【分析】

⑴把A(-1,0)、8(3,0)代入拋物線y=f+fex+c即可求出b,c即可求解；

(2)根據(jù)A,B關于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于P點，即為所求,再求出坐標及的

周長；

(3)根據(jù)回QAB的底邊為4,故三角形的高為4,令3=4,求出對應的x即可求解.

,[0=l-b+c

解：⑴把A(T，0)、83,0)代入拋物線y=f+法+c得

[0=9+30+c

[b=-2

解得Q

[c=-3

回拋物線的解析式為：)，=/一2%-3;

(2)如圖，連接BC交對稱軸于P點,即為所求，

=x2-2x-3

團C(0,-3),對稱軸x=l

設直線BC為y=kx+b,

把5(3,0),C(0,?3)代入y=kx+b求得k=lzb=-3,

團直線BC為y=x-3

令x=l,得y=-2,

團P(1,-2),

色△E4c的周長=AC+AP+CP=AC+BC=J(-l-0)2+[0-(_3)『+5/(3-0)2+[0-(-3)]2=

V10+3>/2;

(3)00QAB的底邊為AB=4,S=；A8xH=8

田三角形的高為4,

令H=4,B|JX2-2X-3=±4

解得Xi=1—2>/2,X2=1+2\/2,X3=l

故點。的坐標為Q(l—20,4),2(1+20,4),。3(1，-4).

【點撥】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質，解題的關鍵是熟知待定系數(shù)法與一次函

數(shù)的求解.

5.

類型二：圓

思路：定義一性質一性質一證明

注意點：垂徑定理/切線/圓周角圓心角/

1.

【解答】解：CDIIBO,

/.ZBOC=ZC=40°,

AO=BO,

.?.ZA=NB,

ZA+N8=ZBOC=40。，

.?.NA=NB=20。.

故選：B.

2.

【解答】解：ZAOB=100°,

優(yōu)弧AB所對的圓心角為360。-100°=260°，

???由圓周角定理可知：ZACB=-x260°=130%

2

故選：D.

3.

【解答】解：連接30，AC交于O，

.四邊形45CD是菱形，

：.AC=2AO,BD=2BO，ACA.BD,

ZABC=60。，

.\ZABO=30°，

AB=2,

1x/3

/.AO=-AB=lfBO=LAB=B

22

.?.AC=2,BD=2y/3,

陰影部分的面積=5融枷「SM.=；x2x24-竺蠟=24一:萬

2JoU3

4.

【解答】解：過點C作CE>J_AB,垂足為。，連接4,Bl,€7,設AABC內切圓的半徑

為r,

山勾股定理得：CD。=AC?-A。?，CD2=BC2-BD2.

.-.42-X2=32-(2-X)2.

解得:x=2.75.

:.CD=7AC2-AD2=42-2.752=，

…S/HABC~S"OC+SgBO+SgcO

—xABxCD=—xACxr+—xABxr+—xBCxr?

2222

—x2x----=-x4xrd—x2xr4--x3xr,

24222

6

故選：B.

.\ZOAE=ZDAE

OE=OA,

:.ZOAE=ZOEA,

.\ZOEA=ZDAE,

:.OE//AD,

AD-LCD,

:.OE±CDf

。上過O,

「.C。是O的切線;

AB是O的直徑，AD±CDf

.\ZBEA=ZADE=90°,

ZBAE=ZDAE,

AAEB^AADE，

.AE_AB

4D-4E5

AD=5,。的半徑為4,

AE4+4

..----=-------,

5AE

解得：AE=2M.

6.

【解答】解：（1）DE與?O相切,

理由：連接?！辏?，

AC為O的直徑，

.■.ZADC=90°,

。為AC的中點，

AD=CD,

AD=CD，

.?.ZACD=45°,

O是AC的中點，

NODC=45。,

DE//AC,

.?.ZCDE=ZDC4=45°,

/.NODE=90。，

:.DE4O相切；

（2）。的半徑為6,

.?.AC=12,

??.AD=CD=6垃,

AC為O的直徑，

.\ZABC=90o.

ZBAD=ZDCE,

ZABD=NCDE=45。,

/SABD^ACDE，

ABAD

...----=-----,

CDCE

96&

"6^2~~CE'

:.CE=8.

類型三：相似

思路：相似判定一相似性質一格點相似一相似動點

注意點：相似比/位似/存在性問題

1.

1.B

【詳解】

A.從小到大排列，由于5x7/4x10,所以不成比例，不符合題意；

B.從小到大排列，由于&xB=lx",所以成比例，符合題意；

C.從小到大排列，由于4x5H3x8,所以不成比例，不符合題意；

D.從小到大排列，由于"X3W6X9,所以不成比例，不符合題意.

故選B.

【點撥】本題考查線段成比例的知識.解決本類問題只要計算最大最小數(shù)的積以及中間兩個

數(shù)的積，判斷是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例.

【解析】

【分析】

(1)由已知可得?=],再根據(jù)比例的性質即可解得學的值:

b3b

(2)先設用t表示出x、y、z,再代入要求的式子即可.

【詳解】

/、,a2a+ha25

(1)回3。二2卜，團一=一,團----=—+1=—+1=—；

b3bb33

(2)設;=則x=4t,y=3t,z=2t,團原式=*―二二.

4324:r'+6'4

57

故答案為：—.

【點撥】本題主要考查了比例的性質，是基礎題，比較簡單.

3.

【分析】

設某人身高為mcm,脖子下端至肚臍的長度為ncm,由腿長為105cm,可得

加一105V5-126+〃好二!■X0.618得到

>。0.618,解得m>169.890,根據(jù)

1052機一（〃+26）

加<178.218,由此得到答案.

【詳解】

解：設某人身高為mcm,脖子下端至肚臍的長度為ncm,則由腿長為105cm，可得

竺雪〉或二!0.618,解得">169.890.

1052

由頭頂至脖子下端的長度為26cm,

可得竺〉叵