第21章 共邊比例定理 共角比例定理共邊比例定理假設兩個共邊的三角形，的對應頂點，所在直線與交于，那么．①張景中．幾何新方法和新體系．北京：科學出版社，2023：5．①張景中．幾何新方法和新體系．北京：科學出版社，2023：5．證法1由同底三角形的面積關系式，有，．由上述兩式相加即證得圖21-1中〔1〕、〔2〕，上述兩式相減即證得圖21-1中〔3〕、〔4〕情形．證法2不妨設與不同，那么．證法3在直線上取一點，使，那么，．所以，．共角比例定理假設與相等或互補，那么有〔或〕證明把兩個三角形拼在一起，讓的兩邊所在直線與的兩邊所在直線重合，如圖21-2所示，其中圖〔1〕是兩角相等的情形，圖〔2〕是兩角互補的情形，兩情形下都有共角比例定理的推廣與相等或互補，點在直線上且不同于，點在直線上且不同于，那么證明不妨設，，，共線如圖21-3，那么共角比例不等式如果，而且兩角之和小于，那么〔或〕．證明記，．如圖21-4，作一個頂角為的等腰，延長至，使，那么．由共角比例定理，有共角比例逆定理在和中，假設，那么與相等或互補．證明用反證法．假設，不相等也不互補，不妨設．這時有兩種情形：．假設，由共角比例不等式，得這與題給條件矛盾．假設，如圖21-5，延長至，使，延長至使．這時，，而且由共角比例不等式，得但由共邊比例定理，知，且，故上述不等式，即為這也與題給條件矛盾．從而假設，不相等也不互補不成立．故與相等或互補．下面給出應用上述定理證明問題的例子．例1〔1999年全國高中聯賽題〕在四邊形中，對角線平分．在上取一點，與相交于點，延長交于．求證：．證法1如圖21-6，在中，對割線應用梅涅勞斯定理，并注意到共邊比例定理，有．于是，證法2如圖21-6，對及點應用塞瓦定理〔令交于點〕，并注意到共邊比例定理，有〔以下同證法，略〕例2〔2003年全國高中聯賽題〕過圓外一點作圓的兩條切線和一條割線，切點為，，所作割線交圓于、兩點，在、之間，在弦上取一點，使么．求證：．證明如圖21-7，設，．在中，由正弦定理，有．過、分別作于，作于，注意到共邊比例定理，有．又，那么．于是，．故．例3〔2023年國家集訓隊測試題〕如圖21-8，在凸五邊形中，與相交于，與相交于，與相交于，與相交于，與相交于．設、、、、分別為與、與、與、與、與的交點．求證：．證明由共邊比例定理，有．其他的線段比例用同樣的方法〔共邊比例定理〕轉化，即只需證明①由于．用同樣方法轉化面積比，并消去上下相同的線段．因而只需證明有或． ②利用正弦定理，②式等價于：． ③而③式顯然成立，故結論獲證．例4〔2023年北方數學邀請賽題〕是的內切圓，、、分別為、、上的切點，聯結并延長交于點，聯結并延長交于點．求證：是的中點．證明如圖21-9，聯結，，由、、、及、、、分別四點共圓有，．由共邊比例定理，有，及．于是，．故是的中點．例5〔2023年國家隊選拔賽題〕在銳角中，，是的中點，是內一點，使得．設、、的外心分別是、、．證明：直線平分線段．證明如圖21-10，聯結、、、、，設直線與線段交于點．由共邊比例定理，有．又，，即．于是．故直線平分線段．例6在完全四邊形中，假設直線與直線交于點，直線分別交，于，．那么，，．證明如圖21-11，由共邊比例定理，有．．．注：〔1〕對于等的證明，也可由．〔2〕上述〔1〕的證明是對凸四邊形而言的，對下述的凹四邊形，折四邊形，按上述表達那么證得了上圖中的，．〔3〕上述證明是由出發(fā)，也可從下述等式出發(fā)：，，．例7〔梅涅勞斯定理〕設，，分別為的三邊、、所在直線上的點，假設、、三點共線，那么．證法1如圖21-13，聯結，．由共邊比例定理，有，，．上述三式相乘即證得結論．證法2如圖21-13．在直線上任取不重合兩點、，由共邊比例定理，有，即證．例8〔塞瓦定理〕在的三邊、、所在直線上取點，和，那么，，三直線共點的充要條件．證明必要性．如圖21-14．由共邊比例定理，有．充分性．假設有，如圖21-15，設和交于點，和交于點，要證明的是和重合，也就是有．由共邊比例定理，有，即證．例9〔牛頓線定理〕完全四邊形的三條對角線的中點共線．證法1如圖21-16，在完全四邊形中，、、分別為對角線，，的中點．設直線交于，下證與重合即可，即證為的中點即可．由共邊比例定理有即證注：〔*〕．〔**〕．證法2如圖21-17，同證法1，證為的中點即可．過，，，分別作直線的平行線交于點，，，．由共角比例定理及平行線的性質，有，，，．注意到為的中點，也為的中點，知，．以上四式相乘并化簡得，即．亦即，亦即．于是，．從而．又，故為的中點，由此即證得結論．證法3〔張景中證法〕．即知，故直線過的中點．例10圓弦的中點是，延長的兩端使，過，分別向圓作割線，，聯結，分別交于，，那么，如圖21-18所示．證明注意到共角比例定理，由，有． ①設，，，，那么，，，，，，，．于是①改寫為．化簡，整理得．②在②式中，〔因〕．故．例11圓弦中點為，延長的兩端，使得，過，分別向圓作割線，切線，聯結，分別交于，，那么，如圖21-19所示．證明注意到共角比例定理，由，，有．eq\o\ac(○,*)設，，．那么，，，．于是eq\o\ac(○,*)改寫成．化簡，整理得．故．練習題二十一1．〔帕斯卡定理〕設內接于圓〔與頂點次序無關，即無需為凸六邊形〕，直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點．那么、、三點共線．2．〔帕普斯定理〕，，三點共線，，，三點共線．直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點，那么，，三點在一直線上．3．〔笛薩格定理〕直線，，交于點，直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點，那么，，三點共線．4．〔《數學通報》數學問題1836號〕是外一點，過點的直線分別交、于、，交的延長線于點．求證：．5．〔《數學通報》數學問題1816號〕設是內任一點，、、分別交、、于、、．、、分別交、、于、