分類討論解答通關(guān)50題（含答案）

1.（1）討論axVb的解集.

⑵解關(guān)于%的不等式「"注+》

2.如圖，在RtzXZBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.點M在邊4B上

以1單位長度/秒的速度從點4向點8運動，運動時間為t,運動到點B

時停止.連接CM,將△ACM沿著CM對折，點4的對稱點為點A.

（1）當(dāng)CM與AB垂直時，求點”運動的時間；

（2）當(dāng)點4落在△ABC的一邊上時，求點M運動的時間.

3.如圖1,正方形4BCD中，點E在BC的延長線上，點尸是線段BE上

一動點，連接4/，過點4作A尸的垂線，交射線CD于點G,點尸從點

B出發(fā)，沿BE方向運動,當(dāng)點F與點E重合時運動停止.設(shè)線段

的長為％,△CFG的面積為S,S關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示（其中

04%44與4v%Mm時，函數(shù)的解析式不同）.

（1）填空：BE的長度為；

（2）求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

4.如圖，拋物線y=-/+5%+九經(jīng)過點4(1,0),與y軸交于點B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P是y軸正半軸上一點，且△P4B是等腰三角形，試求點P的坐

標(biāo).

5.如圖1,△2(?/?與△4BC均為等腰直角三角形，其中ZRPQ=2。=90。,

點P在線段BC上，RQ//BC,APQR沿BC方向運動,開始時點P與

點B重合，當(dāng)點P和點C重合時運動停止，設(shè)線段BP的長為力,△

PQR與△4BC重疊部分的面積為S,S關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示

(其中0<%<2V^,2V2<x<m,mV%<60寸，函數(shù)的解析式不

同).

(1)填空：m的值為

(2)求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出工的取值范圍.

6.如圖1,點B是線段4C的中點，以線段為邊作矩形BCOE,點P是

線段4c上一動點，連接。P,過點。作。P的垂線，交射線BE于點尸,

點P從點4出發(fā)，沿ZC方向運動，當(dāng)點P和點C重合時運動停止，設(shè)

線段4P的長為％,△PBF的面積為S,S關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示

（其中04%42,時，函數(shù)的解析式不同）.

圖2

（1）填空：CD的長度為;

（2）求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

7.如圖，點4在數(shù)軸上表示的數(shù)是-4,點8表示的數(shù)是+8,P,Q兩點

同時分別以1個單位/秒和2個單位/秒的速度從4,B兩點出發(fā)，沿數(shù)

軸運動，設(shè)運動時間為t（秒）.

-48

?----------.------------------------?---------A

AOB

（1）線段ZB的長度為個單位；

（2）如果點P向右運動，點Q向左運動，幾秒后PQu^AB?

（3）如果點P,Q同時向左運動，M,N分別是P4和BQ的中點，是

否存在這樣的時間t使得線段MN=：4B?若存在，求出t的值；若不

4

存在，請說明理由.

8.如圖1,aRt△ABC+,^ACB=90°,CDLAB,點。為垂足，將4

4CD沿射線4B平移，平移后圖形記作△AC7T,設(shè)平移的距離為％,△

4C7T與△BCD重合部分的面積為y,y關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示

(其中0V%4m,m<x<4,4V%4空時，函數(shù)的關(guān)系式不同).

4

(1)填空：BC的長為；

(2)求y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

9.如圖，拋物線y=a/+bx+c(a。0)與y軸交于點C(0,4),與％軸交

于點4和點8,其中點4的坐標(biāo)為(-2,0),拋物線的對稱軸是直線％=

1.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使

四邊形ABFC的面積為15,若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

10.如圖，直線y=-%+2與％軸、y軸分別相交于4,B兩點，拋物線

y=-x2+bx+c經(jīng)過點A和點B,C是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,

過點C作CD1%軸于點D,交直線AB于點E.

(1)求拋物線的解析式.

(2)求線段CE長度的最大值.

(3)當(dāng)線段CE長度最大時，拋物線上是否存在點P,使=

SfBC(點P與點。不重合)，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存

在，說明理由.

11.在已知線段4B的同側(cè)構(gòu)造ZF4B=ZGB4并且在射線4F,BG上分

別取點D和E,在線段4B上取點C,連接DC和EC.

(1)如圖，若4。=3,BE=1,△ADC^△BCE.在^FAB=

^GBA=60°或"AB=乙GBA=90°兩種情況中任選一種，解決以

下問題：

①線段4B的長度是否發(fā)生變化，直接寫出長度或變化范圍；

②ZOCE的度數(shù)是否發(fā)生變化，直接寫出度數(shù)或變化范圍.

(2)若4D=a,BE=b,乙FAB=^GBA=a,且△ADC和△BCE這

兩個三角形全等，請求出：

①線段4B的長度或取值范圍，并說明理由；

②ZDCE的度數(shù)或取值范圍，并說明理由.

12.如圖，已知拋物線m:y=ax2—6ax+c(a>0)的頂點4在％軸上，

并過點直線=-1%+(與％軸交于點D,與拋物線zn的

對稱軸/交于點F,過B點的直線BE與直線n相交于點E(-7,7).

(1)求拋物線m的解析式；

(2)P是/上的一個動點，若以B,E,P為頂點的三角形的周長最小,

求點P的坐標(biāo)；

(3)拋物線m上是否存在點Q,使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點

D?若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13.如圖甲，在△ABC中，乙4c8=90。，AC=4cm,BC=3cm.如果點

P由點8出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點4出發(fā)沿4C

方向向點C勻速運動，它們的速度均為lcm/s.連接PQ,設(shè)運動時間

為t(s)(0VtV4),解答下列問題：

c

圖甲

(1)設(shè)的面積為S,當(dāng)t為何值時，S取得最大值?S的最大值

是多少？

(2)如圖乙，連接PC,將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,當(dāng)

四邊形PQP'C為菱形時，求t的值；

(3)當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形?

14.如圖，已知拋物線y=ax2+b%+c與％軸的一個交點為4(3,0),與y

軸的交點為B(0,3),其頂點為C,對稱軸為％=1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點M為y軸上的一個動點，當(dāng)△4BM為等腰三角形時，求

點M的坐標(biāo)；

(3)將△AOB沿％軸向右平移m個單位長度(0<m<3)得到另一個

三角形，將所得的三角形與△4BC重疊部分的面積記為S,用M的

代數(shù)式表示S.

15.如圖，拋物線與％軸交于4(%1，0),B(%2,0)兩點，且％1>%2，與y軸

交于點C(0,4),其中%1，%2是方程%2-2%-8=0的兩個根.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)點P是線段4B上的動點，過點P作PE〃4C,交BC于點、E,連

接CP,當(dāng)△<:「￡>的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；

(3)探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q,使

△QBC成為等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.如圖，在△MNQ中，MN=11,NQ=3遙,cosN=y.在矩形

ABCDBC=4,CD=3,點4與點M重合，AD與MN重合，矩

形4BCD沿著MQ方向平移，且平移速度為每秒5個單位，當(dāng)點4與

點Q重合時停止運動.

(1)MQ的長度是；

(2)運動秒，BC與MN重合；

(3)設(shè)矩形4BCD與重疊部分的面積為S,運動時間為3求

出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍.

17.如圖，矩形ZBCD中，AB=2,BC=2^3,將矩形沿對角線4C剪開,

請解決以下問題：

備用圖

(1)將△4CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△4CD',請在備用圖中畫

出旋轉(zhuǎn)后的△ACD',連接44,并求線段44的長度；

(2)在(1)的情況下，將△4CD'沿CB向左平移的長度為《0VtV

2V3),設(shè)平移后的圖形與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的

函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍.

18.如圖，直線y=-,％+3與％軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線

y=a/+三工+c經(jīng)過B,C兩點.

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一個動點，當(dāng)△BEC面積

最大時，請求出點E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？

(3)在(2)的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連

接點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P,

使得以P,Q,A,M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，請直

接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

19.如圖，已知拋物線經(jīng)過原點0,頂點為4(1,1),且與直線y=%—2交

于B,C兩點.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);

(2)求證：△4BC是直角三角形；

(3)若點N為％軸上的一個動點，過點N作MN1%軸與拋物線交于

點M,則是否存在以0,M,N為頂點的三角形與△4BC相似?若存

在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.如圖1,△4BC中，ZC=90°,線段DE在射線BC上，^DE=AC,

線段DE沿射線BC運動，開始時，點D與點B重合，點D到達點C

時運動停止，過點。作。尸=08,與射線BA相交于點F,過點E作

BC的垂線，與射線BZ相交于點G.設(shè)BD=%,四邊形?！?；尸與4

ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于％的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<

x<m,1<x<m,寸，函數(shù)的解析式不同)

(1)填空：8C的長是；

(2)求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出％的取值范圍.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形04BC的頂點。為坐標(biāo)原點，點

C在式軸的正半軸上，且BC10C于點C,點4的坐標(biāo)為(2,2遮)，

AB=4A/3,ZB=60。，點D是線段0C上一點，且OD=4,連接40.

(1)求證：△40。是等邊三角形;

(2)求點B的坐標(biāo)；

（3）平行于4D的直線/從原點。出發(fā)，沿％軸正方向平移.設(shè)直線/

被四邊形04BC截得的線段長為m,直線L與％軸交點的橫坐標(biāo)為t.

①當(dāng)直線I與x軸的交點在線段CD上（交點不與點C,D重合）時，

請直接寫出m與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量t的取值范圍）；

②若m=2,請直接寫出此時直線/與％軸的交點坐標(biāo).

22.如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=4V2,24=45。，^ADB=90°,

點E1從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點。運動.點G在射線

BD上，且EG=2BE（點G在E上方），以EG為對角線作正方形

EFGH,設(shè)點E的運動時間為t（秒）.

（1）用含t的代數(shù)式表示DG的長；

（2）求點H落在AD上時t的值；

（3）設(shè)正方形EFGH與平行四邊形ABCD的重疊部分圖形的面積為S,

求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連接F”，直接寫出運動過程中線段尸”掃過的圖形面積.

23.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高4D=

80mm,要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別

在邊4B,AC±.

(1)若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？

(2)若這個矩形的長是寬的2倍，則邊長是多少

24.如圖，直線y=2%—a(aV0)與y軸交于點4與％軸交于點E,拋

物線y=/一2%+a的頂點為C,與y軸交于點B,直線BC與直線

AE交于點D.

(1)求點B,C,。的坐標(biāo)；(用a的代數(shù)式表示)

(2)拋物線上是否存在一點P,使得以P,4,B,D為頂點的四邊形

是平行四邊形?若存在，求出a的值及此時點P的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)）/=61%2+6%+2的圖象與％

軸交于4（一3,0）,B（1,O）兩點，與y軸交于點C.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是直線ZC上方的拋物線上一動點，是否存在點P,使得△

ACP的面積最大?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x

軸，垂足為E.是否存在點Q,使以點B,Q,E為頂點的三角形與

△40C相似?若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

26.如圖，頂點為。（一1,1）的拋物線經(jīng)過點。（一5,-3）,且與％軸交于4

B兩點（點B在點4的右側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線上存在點Q,使得S&OAQ=|，求出點Q的坐標(biāo)；

（3）點M在拋物線上，點N在％軸上，且zMM4=zOCD,是否存在

點M,使得與△OCD相似?若存在，直接寫出點M的坐標(biāo);

若不存在，說明理由.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4B交匯軸于點4(5,0),交y軸于點

B,4。是0M的直徑，其半圓交于點C,且4C=3.取B0的中

點D,連接CD,MD和0C.

(1)求證：CD是0M的切線；

(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D,M,A,其對稱軸上有一動點P,連接

PD,PM,求的周長最小時點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，拋物線上是否存在

點Q，使S“DM=6SAQAM?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點，點4的坐標(biāo)為(20,0),點8

在第一象限內(nèi)，B0=10,sin^BOA=|.

(1)在圖中，求作△ABO的外接圓(尺規(guī)作圖，不寫作法但需保留作

圖痕跡)；

(2)求點B的坐標(biāo)與cos^BAO的值；

(3)若4。位置不變，將點B沿％軸正半軸方向平移使得△480為

等腰三角形，請直接寫出平移距離.

29.在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形4BC的頂點4的坐標(biāo)為（0,-1）,

。的坐標(biāo)為（4,3）,直角頂點B在第四象限.

（1）如圖①，若拋物線y=—：%2+b%+c過4B兩點,求該拋物線

的函數(shù)表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使其頂點在直線ZC上滑動（對應(yīng)的頂點

記作點P）,且與AC交于另一點Q.

①如圖②，當(dāng)點Q在％軸上時，求點P坐標(biāo)；

②若點M在直線4c下方，且是等腰直角三角形.當(dāng)點M在

（1）中所求的拋物線上時，求所有符合條件的點P的坐標(biāo)；

③取的中點N,連接N尸，BQ.直接寫出NP+BQ的最小值.

30.已知：如圖一，拋物線y=a/+5％+c與％軸正半軸交于B兩點,

與y軸交于點C,直線y=%-2經(jīng)過/,C兩點，且4B=2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線DE平行于％軸并從C點開始以每秒1個單位長度的速度

沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段于點E,D,同時動點

P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位長度速度運動，(如圖

二)；當(dāng)點P運動到原點。時，直線DE與點P都停止運動，連接

DP,若點P運動時間為t秒；設(shè)s=§；修，當(dāng)t為何值時，s有最

EDOP

小值，并求出最小值；

(3)在(2)的條件下，是否存在t的值，使以P,B,。為頂點的三

角形與△4BC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.

31.如圖，已知k1l2，00與匕，%都相切，。。的半徑為2cm,矩形

ZBCD的邊AD,48分別與k，"重合，=473cm,AD=4cm,

若。0與矩形ABCD沿h同時向右移動，。0的移動速度為3cm/s,

矩形/BCD的移動速度為4cm/s,設(shè)移動時間為t(s),

(1)如圖①，連接04AC,則Z04C的度數(shù)為

(2)如圖②，兩個圖形移動一段時間后，。0到達。0］的位置，矩

形4BCD到達矩形4tBic的位置，此時點“，4,Q恰好在同

一直線上，求圓心。移動的距離(即001的長)；

圖0

(3)在移動過程中，圓心0到矩形對角線4C所在直線的距離在不斷

變化，設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d<2時，求t的取值范圍(解答時

可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖).

32.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與％軸相交于點>1(-1,0),

B(4,0),與y軸相交于點C.

(1)求該函數(shù)的表達式；

(2)點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點P作PQ1BC,

垂足為點Q,連接PC.

①求線段PQ的最大值；

②若以點P,C,Q為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標(biāo).

33.如圖，己知RtZkABC的直角邊4c與Rt△￡?￡1?的直角邊DF在同一條

直線上，且4c=60cm,BC=45cm,DF=6cm,EF=8cm.現(xiàn)

將點C與點F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移動△￡?￡?；同時,

點P從點4出發(fā)，以5cm/s的速度沿方向移動，設(shè)移動時間為

t(s).以點P為圓心，3t(cm)長為半徑的OP與48相交于點M,

N.當(dāng)點F與點4重合時，△DEF與點P同時停止移動.在移動的過

程中，

(1)連接ME,當(dāng)ME〃/C時，t=；

(2)連接NF,當(dāng)NF平分DE時，求t的值；

(3)是否存在OP與Rt△DEF的兩條直角邊所在的直線同時相切的

時刻?若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

34.如圖①，在△4BC中，AD=CD=3,BD=4,AD1BC于點D,直

線ZJ.4D于點G,分別交4B,4C于點M,N.點P從點B出發(fā)，以

每秒(個單位長度的速度向點C運動，到點C停止.同時直線,從點4

出發(fā)，沿AD以每秒1個單位長度的速度向點D運動，到點D停

止.以MN為邊向下作正方形MNEF,連接PN,點P的運動時間為t

(秒).

(1)4B的長為個單位長度.

(2)當(dāng)點P落在線段MF上時，求t的值.

(3)設(shè)正方形MNEF與四邊形MNPB重疊部分圖形的面積為S(S>

0),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)如圖②，連接PE,PF,設(shè)與正方形MNEF面積比為

k.當(dāng)時，直接寫出t的取值范圍.

35.把Rtz\4BC和RtZkDEF按如圖(1)擺放(點。與E重合)，點B,

C(E),尸在一條直線上，已知：^ACB=Z.EDF=90°,^DEF=45°,

AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如圖(2),△DEE從圖(1)

的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF

移動的同時，點P從△4BC的頂點4出發(fā)，以2cm/s的速度沿4B向

點8勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點尸停止移動，△￡)￡1?也隨之

停止移動.DE與AC交于點Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段ZP和4Q的長，并寫出t的取值范圍.

(2)如圖(2)連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為S(cm2),求S關(guān)于

t的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值.

(3)如圖(3)點/關(guān)于直線PQ的對稱點4,連接P4,QA'.當(dāng)

P414B時，直接寫出t的值.

36.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+以+5與％軸交于點

4(1,0),B(5,0)兩點，點D是拋物線上橫坐標(biāo)為6的點.點尸在這條

拋物線上，且不與4。兩點重合，過點P作y軸的平行線與射線AD

交于點Q,過點Q作Q尸垂直于y軸，點F在點Q的右側(cè)，且QF=2,

以QF,QP為鄰邊作矩形QPEF.設(shè)矩形QPEF的周長為d,點尸的

橫坐標(biāo)為

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式.

(2)求這條拋物線的對稱軸將矩形QPEF的面積分為1:2兩部分時m

的值.

(3)求d與機之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出d隨m的增大而減小時d的

取值范圍.

(4)當(dāng)矩形QPEF的對角線QE,PF互相垂直時，直接寫出其對稱中

心的橫坐標(biāo).

37.如圖，拋物線y=a%?+5％+c交工軸于/(一4,0),8(1,0),交y軸于

C點，且OC=2OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線8C上找點D,使△48。為以4B為腰的等腰三角形，求

D點的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在異于B的點P,過P點作PQ14C于Q,使

△4PQ與AABC相似?若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

38.在銳角△4BC中，AB=4,BC=5,24cB=45。，將△ABC繞點B

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到

(1)如圖1,當(dāng)點G在線段C4的延長線上時，求的度數(shù).

(2)如圖2,連接44r若的面積為4,求△的面

積.

(3)如圖3,點E為線段4B中點，點P是線段4C上的動點，在4

ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點P的對應(yīng)點是點匕，求

線段EP］長度的最大值與最小值.

圖3

39.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a*0)的對稱軸為直線x=—1,

且拋物線經(jīng)過4(1,0),C(0,3)兩點，與％軸交于點B.

(1)若直線y=mx+九經(jīng)過B,C兩點，求直線BC和拋物線的解析

式；

(2)在拋物線的對稱軸直線x=-l上找一點M,使點M到點A的距

離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸直線％=-1上的一個動點，求使^BPC

為直角三角形的點P的坐標(biāo).

40.如圖，Rt△ABC,M為斜邊4B上一點，且MB=MC=AC=8cm,

平行于BC的直線l從BC的位置出發(fā)以每秒1cm的速度向上平移，

運動到經(jīng)過點M時停止.直線I分別交線段MB、MC.AC于點D、

E、P,以DE為邊向下作等邊△DEF,設(shè)△DEF與△MBC重疊部分

的面積為S(cm?),直線/的運動時間為t(秒).

(1)求邊BC的長度；

(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻如使得以P、C、F

為頂點的三角形為等腰三角形?若存在，請求出t的值；若不存在，

請說明理由.

(4)在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻如使得以點。為圓心、

8。為半徑的圓與直線EF相切?若存在，請求出t的值；若不存在，

請說明理由.

41.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，平行四邊形ZBCD的邊BC在

%軸上，。點在y軸上，C點坐標(biāo)為(2,0),BC=6,zBCD=60。，點

E是ZB上一點，AE=3EB,OP過D,0,C三點，拋物線y=

。％2+6％+＜；過點。，B,C三點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求證：ED是0P的切線；

(3)若將△4DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，E點的對應(yīng)點E,會落在拋物

線y=ax2+bx+c上嗎?請說明理由；

(4)若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N,使得以點B,

D,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點N

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

42.如圖，拋物線y=/—2%-3與％軸交于4B兩點(4點在8點左

側(cè))，直線/與拋物線交于4C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.

(1)求43兩點的坐標(biāo)及直線ZC的函數(shù)表達式；

(2)P是線段ZC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E

點，求線段PE長度的最大值；

(3)點G是拋物線上的動點，在％軸上是否存在點F,使4C,F,

G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有

滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

43.某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長為800米的正方形4BCD,如圖1和圖2.現(xiàn)

有1號、2號兩游覽車分別從出口4和景點C同時出發(fā)，1號車順時

針、2號車逆時針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛，供游客隨時免費乘車（上、

下車的時間忽略不計），兩車速度均為200米/分.

（1）探究設(shè)行駛時間為t分.

（i）當(dāng)04148時，分別寫出1號車、2號車在左半環(huán)線離出口4

的路程力，為（米）與t（分）的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)兩車相距

的路程是400米時t的值；

（ii）t為何值時，1號車第三次恰好經(jīng)過景點C?并直接寫出這一段時

間內(nèi)它與2號車相遇過的次數(shù).

（2）發(fā)現(xiàn)

如圖2,游客甲在BC上的一點K（不與點B,C重合）處候車，準(zhǔn)備

乘車到出口4設(shè)CK=%米.

情況一：若他剛好錯過2號車，便搭乘即將到來的1號車；

情況二：若他剛好錯過1號車，便搭乘即將到來的2號車.

比較哪種情況用時較多？（含候車時間）

（3）決策

已知游客乙在ZM上從。向出口4走去，步行的速度是50米/分.當(dāng)

行進到ZM上一點P（不與點D,4重合）時，剛好與2號車迎面相

遇.

（i）他發(fā)現(xiàn)，乘1號車會比乘2號車到出口4用時少，請你簡要說

明理由；

(ii)設(shè)P4=s(0VsV800)米.若他想盡快到達出口A,根據(jù)s的

大小，在等候乘1號車還是步行這兩種方式中，他該如何選擇？

44.已知：拋物線y=a/+/)%+c(a。。)經(jīng)過點4(1,0),5(3,0),

C(0,-3).

(1)求拋物線的表達式及頂點。的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的平

行線，交直線BC于點E.是否存在一點P,使線段PE的長最大?若

存在，求出PE長的最大值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點4作y軸的平行線，交直線BC于點尸，連接D4、

DB.四邊形04FC沿射線CB方向運動，速度為每秒1個單位長度,

運動時間為t秒，當(dāng)點C與點B重合時立即停止運動.設(shè)運動過程

中四邊形04FC與四邊形ADBF重疊部分面積為S,請求出S與t

的函數(shù)關(guān)系式.

45.已知二次函數(shù)y=/—2a%—2a—6(a為常數(shù)，a#0).

(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與％軸有兩個交點；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與％軸交于點4(-2,0)和點B,與y軸交于

點C,線段BC的垂直平分線/與％軸交于點D.

①求點D的坐標(biāo)；

②設(shè)點P是拋物線上的一個動點，點Q是直線2上的一個動點.以點

B,D,P,Q為頂點的四邊形是否可能為平行四邊形?若能，直接寫

出點Q的坐標(biāo).

46.拋物線y=ax2+bx+c(aWO)與％軸交于4(2,0),5(4,0)兩點，

與y軸交于點C(0,2)

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P從點0出發(fā)，乙每秒2個單位長度的速度向點8運動，同時

點E也從點0出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設(shè)點

P的運動時間t秒(0<t<2).

①過點E作工軸的平行線，與BC相交于點D,當(dāng)t為何值時，*+

白的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E、P的坐標(biāo)；

DE

②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F,使△EFP為

直角三角形?若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由

47.已知：直線y=—%—4分別交x>y軸于A、C兩點，拋物線y=

a/+"(a>0)經(jīng)過4、。兩點，且頂點B的縱坐標(biāo)為一2.

(1)判斷點B是否在直線4c上，并求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)以點B關(guān)于％軸的對稱點。為圓心，以O(shè)D為半徑作OD,試判

斷直線AC與的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若E為。。的優(yōu)弧40上一動點(不與A、0重合)，連接ZE,

OE,問在拋物線上是否存在點P,使“04:乙4EO=2:3,若存在,

請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

48.如圖，拋物線y=+瓶％十九與直線y=一：％+3交于B兩點,

交％軸于D,C兩點，連接AC,BC,已知4(0,3),B(4,l).

DC

(1)求拋物線的解析式；

(2)求tanzBZC的值；

(3)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接P4過點P作PQ1P4交y

軸于點Q,問：是否存在點P使得以4,P,Q為頂點的三角形與△

4CB相似?若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

49.拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的頂點為。(1,4),交x軸于A>B兩

點，且經(jīng)過點C(2,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,M為線段0、B之間一動點，N為y軸正半軸上一動點,

是否存在使M、C、D、N四點圍成的四邊形周長最小.若存在，

求出這個最小值及M、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)若P是y軸上的點，Q是拋物線上的點，求：以P、Q、4、B

為頂點構(gòu)成平行四邊形的點Q的坐標(biāo).

50.如圖，已知拋物線y=g%2+b%+c（b,c是常數(shù)，且cVO）與％軸

分別交于點4,B（點4位于點B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點C,

點A的坐標(biāo)為（-1,0）.

（1）b=，點B的橫坐標(biāo)為.（上述結(jié)果均用含c

的代數(shù)式表示）

（2）連接BC,過點4作直線4E〃BC,與拋物線y=:/+入+c交

于點E,點。是％軸上的一點，其坐標(biāo)為（2,0）,當(dāng)C,D,E三點、

在同一直線上時，求拋物線的解析式.

（3）在（2）的條件下，點P是％軸下方的拋物線上的一個動點，連接

PB,PC,設(shè)所得的△PBC的面積為S.①求S的取值范圍；②若

△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有個.（直

接寫出答案）

參考答案，僅供參考哦

1.(1)①當(dāng)a>0時，解集為％V3

②當(dāng)aVO時，解集為％>色；

a

③當(dāng)a=O時，若b>0,解集為所有數(shù)；

若不等式無解.

(2)去分母，得

a2—2x>ax+4.

移項，合并同類項，得

(a+2)x<a2—4.

①當(dāng)a+2>0且aHO,即a>—2且a=O時，解集為％4a—2；

②當(dāng)a+2=0,即a=—2時，解集為所有實數(shù)；

③當(dāng)a+2VO,即aV-2時，解集為X之a(chǎn)-2.

2.(1)在Rt/kZBC中，^ACB=90°,CM1AB,

所以NZ=24^AMC=乙ACB=90°,

所以△AB。,

所以*AM

AC

因為4c=3,BC=4,

所以AB=y/AC2+BC2=5,

9

所以AM=%一,

5

所以點M運動的時間為g秒.

(2)①如圖1,

當(dāng)點4落在4B上時，此時CM148,則點M運動的時間為9秒.

②如圖2,

當(dāng)點4落在BC上時，CM是Z4CB的平分線，

過點M作ME1BC于點E,作MF1AC于點F,

所以ME=MF.

因為SMBC=SfCM+S&BCM，

111

所以-ACBC=-AC-MF+-BC-ME,

2?22

所以MF,

i2x3x24=-x3xM2F+-x4x

解得MF=—.

7

因為zC=90。，

所以MF//BC,

所以LAMF^LABC,

12

所以黃=—,即三=%,

AB45

解得AM=—.

7

綜上所述，當(dāng)點A落在△ABC的一邊上時，點M運動的時間為秒或y秒.

3.(1)5

(2)①當(dāng)0<%<4時，如圖1,

ffli

???四邊形4BC0是正方形,

乙

??.AB=AD9B=Z.ADG=Z-BAD=90°.

又-AFLAG,

??.Z,BAF+^DAF=^DAG+匕DAF=90°.

???Z-BAF=Z.DAG.

金△D4G(ASA).

???DG=BF=x.

由圖2和圖3知，

B(F)CE

圖2圖3

當(dāng)點F與點C重合時，x=4,即BC=CD=4.

CF=4—x,CG=4+x.

S=S&FCG=|(4+X)(4-X)=-|x2+8.

②如圖4,

BCFE

圖4

當(dāng)點尸運動到CE上時，

同理可證△BAF^△DAG(ASA).

?1.DG=BF=x.

???CF=BF-BC=x—4,CG=CD+DG=x+4.

S=S4CFG=-CG=|(x-4)(%+4)=-8.

當(dāng)點F運動到點E時-，由圖2可知]/一8=，

取正數(shù)解為=5,即m=BE=5.

:當(dāng)4V%<5時，S=|x2—8.

(--X2+8,0<x<4

綜上所述，S=[]2

I-%2—8,4<%<5

4.(1)將(1,0)代入拋物線解析式得0=—1+5+n,解得？i=-4.

.??拋物線的解析式為y=-％2+5%-4.

(2)如圖，將％=0代入拋物線解析式得y=-4.

二點B的坐標(biāo)為(0,-4).

:.AB=V17.

①當(dāng)PB=4B時，點P在圖中P1處，此時OP】=P/—OB=舊—4,

???點Pi的坐標(biāo)為(0,舊一4).

②當(dāng)=時，點P在圖中「2處，此時22，B關(guān)于％軸對稱，

???點P2的坐標(biāo)為(0,4).

③當(dāng)P4=PB時，點P在y軸負(fù)半軸上，不符合題意.

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(0,后一4)或(0,4).

5.(1)m=6—V2

(2)①當(dāng)OV%42加時，如圖1,

A

V與△ABC均為等腰直角三角形，

???乙B=LR三45°,

vRQ//BC,

???乙R=乙NPB=45°,乙B=乙RMN=45°.

△RMN與△PNB均為等腰直角三角形.

...BN2+PN2=BP2=%2,

???BN=PN=—X.

2

由圖2、圖3,當(dāng)點R運動到力B上時，BP=2V2,

;BR=PR=PQ=2,

;MN=RN=PR-PN=2-—x,

2

:，S=S&RPQ-S&RMN

11

=LPR?PQ—LRN?MN

2'2

2

、，1

=1-X2c2Z——/n2---V--2X\

22\2J

=-x2+y[2x.

4

由圖2,當(dāng)點P和點C重合時，x=6,即BC=6.

如圖4,當(dāng)點Q運動到AC上時，為等腰直角三角形,

A

???PC=QC,PC2+QC2=PQ2,

:.2PC2=22得PC=V2,

:.BP=BC-PC=6-y/2,即m=6一魚.

②當(dāng)2魚<%46-魚，如圖4,

S=S^RpQ

=|PQ-PR

=-x2x2

2

=2.

③當(dāng)6—魚V%<6時，如圖5.

△PCN與△MNQ均為等腰直角三角形,

且NC=PC=6—%,

PN=V2(6-x),

???QN=2-V2(6-x),

MN=MQ

=y(2-6V2+缶)

=V2—6+x.

?,S=S^RPQ-S&MNQ

=2?PR-^MN?MQ

=2-|(V2-6+x)2,

2

...s=-1%+(6-V2)%+6V2-17.

—^x2+V2x,0<%<2V2

2,2V2<%<6-V2-

-1x2+(6-V2)x+6V2-17,6-V2<%<6

6.(1)3I

(2)由圖2、圖3,當(dāng)點P與點B重合時，％=2,即ZB=2.

又?.?點B是線段AC的中點，

BC=AB=2,

:.AC=4,即m=4.

由圖2、圖4,當(dāng)點P與點C重合時，點尸與點E重合.

V四邊形BCDE是矩形,

???BC=DE=2,CD=BE,乙CDE=乙EDC=乙EBC=90°,

1

??.S=S&PBF=&BE-BC=3,

??.CD=BE=3.

①當(dāng)0<2時，如圖1,VDF1DP,

???乙FDP=90°,

:.乙FDE+乙EDP=乙CDP+乙EDP=90°,

???Z-FDE=乙PDC,

???△DEF^Z-DCP,

EFDE“d

：?—=—,PC=4—x9

CPDC

.EF_馬

?,——9

4-x3

:.EF=-(4—x),

172

???BF=BE+EF=---x.

33

又BP=2—x,

...s=^BF-BP=^-^x+(-%+2),

127.17

???Sc=-x——xH——.

323

②當(dāng)2V%44時，如圖5,

172

VBP=x-2,BF=3---3x,

...s=：BF.BP=；(-：%+?)(%-2),

0<