專題13圖示法（一）

在解決和差、和倍、差倍問題時(shí)，我們?cè)镁€段圖法。這里所講的圖

示法是線段圖法的一個(gè)繼續(xù)。

這一講主要討論相遇和追及問題。解答相遇和追及問題時(shí)要熟練掌

握路程、時(shí)間和速度之間的關(guān)系：

路程=速度x時(shí)間

時(shí)間=路程+速度

速度=路程+時(shí)間

相遇問題中要求甲、乙從不同地方出發(fā)相向而行，追及問題中要求

甲、乙從同一地方或者不同地方出發(fā)但是沿著相同的方向行進(jìn)。

，'疑轉(zhuǎn)I集

［例1］四名棋手每?jī)擅x手都要比賽一局，規(guī)則規(guī)定勝一局得2

分，平一局得1分，負(fù)一局得0分。比賽結(jié)果，沒有人全勝，并且各人的總

分都不相同，那么至多有_局平局。

分析與解答

每?jī)擅x手都要比賽一局，共有6局比賽，由于比

賽結(jié)果沒有人全勝，并且各人的總分都不相同，那么不

可能有4局平局，更不可能有5或6局平局，否則就會(huì)

出現(xiàn)比分相同的情況。至多有沒有3局平局呢？可畫

圖分析：（箭頭方向表示勝一局）

即甲、乙、丙丁四人分別得4,2,5,1分，有3局平

局.

【例2】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合伙修一條路，全長(zhǎng)為4960米，甲隊(duì)從一

靖起每天修45米，乙隊(duì)從另一端起每天比甲隊(duì)少修10米，兩隊(duì)在離中點(diǎn)

多遠(yuǎn)處匯合？（示意圖見圖1）

【例3】北京和某城市之間的公路長(zhǎng)為360千米，兩輛汽車同時(shí)從北

思路剖析

京出發(fā)開往該城市。第一輛汽車每小時(shí)行42千米，第二輛汽車每小時(shí)行

這是一個(gè)相遇問題，我們已經(jīng)知道“總路程”為4960米，只要知道乙進(jìn)48千米，汽車到達(dá)該城市后立即返回。請(qǐng)問兩車從出發(fā)到第一次相遇

隊(duì)的修路速度就可以解決問題。題中指出乙隊(duì)每天比甲隊(duì)少修10米，可共用了幾個(gè)小時(shí)？

以很容易得到乙隊(duì)每天修多少米，從而知道經(jīng)過多少天以后兩隊(duì)相遇，便

思路剖析

可求出匯合點(diǎn)距離中點(diǎn)的距離。

4960*根據(jù)題中所給的條件，知道第二輛汽車先到該城市，到達(dá)后立即返

'二-----二.三超乙回?？梢援嫵鋈鐖D2所示的線段圖，其中甲為第二輛車，乙為第一輛車。

甲454/天中點(diǎn)?!(45-10冰/天

———!

：合地點(diǎn)

SI相遇

ffiI42千米/小時(shí)地點(diǎn)

解答

360”千米

(1)乙隊(duì)每天修路：

圖2

45-10=35(米)

從圖可知，兩車從開出到相遇所走的路程剛好是兩地間路程長(zhǎng)的2

(2)甲、乙兩隊(duì)每天一共修路：

倍。因此兩車從開出到相遇所用的時(shí)間相當(dāng)于兩車從相距

35+45=80(米)2X360=720

(千米)遠(yuǎn)的兩地同時(shí)出發(fā)、相向而行直到相遇所用的時(shí)間。

(3)兩隊(duì)匯合所需要的天數(shù)：

4960+80=62(天)解答

(4)甲隊(duì)在這62天中修路的長(zhǎng)度為：(1)兩車每小時(shí)一共前進(jìn)的路程：

45X62=2790(米)42X1+48X1=42+48=90(千米)

(5)匯合點(diǎn)距離中點(diǎn)的距離：(2)兩車從開出到第一次相遇所經(jīng)過的時(shí)間：

2790-(49604-2)=2790-2480=310(米)360X2+90=720+90=8(小時(shí))

綜合算式：綜合算式

45X[49604-(45+45-10)]-49604-2360X2+(42+48)

=45X[49604-80]-2480=7204-90

=45X62-2480=8(小時(shí))

=2790-2480答：兩車開出8小時(shí)后第一次相遇。

=310(米)[例4】甲、乙兩艘艦，由相距418千米的兩個(gè)港口同時(shí)相對(duì)開出，甲

或者4960+2-(45T0)X[49604-(45+45-10)]艦每小時(shí)航行36千米，乙艦每小時(shí)航行34千米，開出1小時(shí)后，甲艦因有

=2480-35X[49604-80]緊急任務(wù)，返回原港，又立即起航與乙艦繼續(xù)相對(duì)開出，問總共經(jīng)過多少

=2480-35X62小時(shí)兩艦相遇？

=2480-2170

思路剖析一

=310(米)

答：兩隊(duì)在距離中點(diǎn)310米處匯合?？梢詫㈩}中條件用線段圖表示，如圖3所示。為:

-6下叱|相遇地點(diǎn)

【例5】甲、乙二人開車從兩個(gè)不同城市出發(fā)相向而行。他們走同一

條公路。甲的速度是千米/小時(shí)，乙的速度是千米/每小時(shí)，結(jié)果甲

甲36千比7小時(shí)34千l/小時(shí)j乙5045

比乙早5個(gè)小時(shí)到達(dá)公路的中點(diǎn)，問這條公路有多長(zhǎng)？

H-----------------418千米-------------

思路剖析

圖3

題中已經(jīng)給出各自的速度，因此關(guān)鍵就是找準(zhǔn)總路程。注意甲艦開這題是求路程，根據(jù)題意，那么就要找出速度和時(shí)間。甲車每小時(shí)比

出一小時(shí)返回原港所行的路程實(shí)際上就是甲艦兩小時(shí)所走的路程，因此乙車多行進(jìn)50-45=5（千米）.如果甲車到達(dá)中點(diǎn)用去t小時(shí)，則此時(shí)甲

兩艦相遇所用的時(shí)間相當(dāng)于兩艦相距418+36X2=490（千米）的兩地同事比乙車多走5t千米。而這5t千米乙車要用5小時(shí)走完，因此有5t=45

時(shí)出發(fā)相對(duì)而行到相遇的時(shí)間。

X5。所以有t=45（小時(shí)），這樣就可求出這條公路的長(zhǎng)度。

解答☆解法一

（1）甲、乙兩艦每小時(shí)走的路程和（速度和）為：（1）甲車每小時(shí)比乙車多走的路程為：

36+34=70（千米）50-45=5（千米）

（2）甲、乙兩艦從出發(fā)到相遇所走的總路程：（2）甲車開到中點(diǎn)所用時(shí)間為：

418+36X2=418+72=490（千米）5X45+5=45（小時(shí)）

（3）兩艦從出發(fā)到相遇所經(jīng)過的時(shí)間為：（3）這條公路的長(zhǎng)度為：50X45X2=4500（千米）

490+70=7（小時(shí)）綜合算式:50X[45X54-（50-45）]X2

綜合算式：（418+36X2）+（36+34）=50X[45X5+5]X2

=（418+72）4-70=50X45X2

=490+70=4500（千米）

=7（小時(shí)）☆解法二

思路剖析二設(shè)這條公路長(zhǎng)為x千米，則甲車到中點(diǎn)所用時(shí)間為x+2+50,乙車到

中點(diǎn)所用時(shí)間為x+2+45,所以有：

兩艦從出發(fā)到相遇可以分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是從出發(fā)到甲艦x+2+45-x+2+50=5

返回原港，第二階段是從甲艦再次從港口出發(fā)到相遇。x4-45-x4-50=10

第一階段共用2小時(shí)，此時(shí)乙艦已經(jīng)向甲艦所在港口行進(jìn)了34X2=得：x=4500（千米）

58（千米）。所以此時(shí)兩艦相距418-68=350（千米），這樣就知道了第二答：這條公路長(zhǎng)4500千米。

階段兩艦共同行的路程，于是就可算出第二階段用去的時(shí)間。從而可以[例6]汽車和自行車從相距180千米遠(yuǎn)的兩地相向而行，自行車13

求出兩艦從出發(fā)到相遇所經(jīng)過的時(shí)間。時(shí)出發(fā)，汽車在16時(shí)出發(fā)，汽車和自行車在17時(shí)相遇，又知道汽車的速度

解答

是自行車的5倍。自行車每小時(shí)走多遠(yuǎn)？

（418-34x2）4-（34+36）+2

思路剖析

=3504-70+2

=5+2首先從出發(fā)到相遇，自行車行駛了4個(gè)小時(shí)，汽車行駛了1個(gè)小時(shí)，

=7（小時(shí)）利用以前學(xué)習(xí)過的和差倍半知識(shí)，設(shè)自行車的速度為1倍數(shù)，那么汽車的

速度就是5倍數(shù)，可以先求出1倍數(shù)，再求出自行車的速度?？捎萌鐖D4示為:

所示的線段圖將題意表示為：

----------------------11204-*-------------------i

自行車相遇汽生停車點(diǎn)

F■城|…,_i----------------------------18城

80#米/小時(shí)：100千米/小時(shí)

----:-----180『米

圖5

S4解答

解答☆解法一

☆解法一火車提速后每小時(shí)比原計(jì)劃多走20千米，從停車點(diǎn)到B城多走路

設(shè)自行車的速度為1倍數(shù)，則汽車的速度為5倍數(shù)，所以自行車的速恰好為原計(jì)劃中火車2小時(shí)的行程，于是：

度為：(1)火車按原來的速度2小時(shí)應(yīng)走的路程為：

1804-[(17-16)X5+(17-13)]80X2=160(千米)

=1804-[1X5+4](2)火車提速后所經(jīng)歷的時(shí)間為：

=180+9160+20=8(小時(shí))

=20(千米/小時(shí))(3)火車提速后行駛的路程為：

☆解法二(80+20)X8=800(千米)

設(shè)自行車的速度為x,則汽車速度為5x,由速度、時(shí)間、路程關(guān)系知1：(4)火車停車點(diǎn)距離F城的距離為：

x*(17-13)+5x(17-16)=1801120-800=320(千米)

4x+5x=180綜合算式：1120-(80+20)X[(80X2)+20]

得：x=20(千米/小時(shí))=1120-100X[160+20]

答：自行車每小時(shí)前進(jìn)20千米。=1120-100X8

[例7]從F城到日城的鐵路距離為1120千米。一列火車從F城=1120-800

千米)

出發(fā)到B城，開始時(shí)以80千米的時(shí)速行駛，但是途中發(fā)生意外，停車等待=320(

☆解法二

了2個(gè)小時(shí)。但是火車要按原計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，火車速度增加20千米來跑

完以后的路程，問：火車在離F城多遠(yuǎn)的地方停車。(用方程的思想)設(shè)火車行駛x小時(shí)后停下則有方程

U2O-1120

思路剖析80+20"

在這個(gè)過程中，火車所走的總路程為1120千米，所用去的總時(shí)間為

1120+80-2=14-2=12(小時(shí))，火車在后來每小時(shí)多走20千米將那2個(gè)5x+56-4x=60

小時(shí)所耽誤的路程給補(bǔ)回來了。如果加速以后行駛了t小時(shí)，那么f.20得x=4

=80X2,由此t=8,因此提速后火車行進(jìn)了8X100=800(千米)，于是可所以停車點(diǎn)與F城距離為:

以求出停車點(diǎn)距離F城的距離。題中各條件可用如圖5所示的線段圖表80X4=320(千米)

答:停車點(diǎn)在距離F城320千米的地方。

［例8］一個(gè)行軍小組以每分鐘90米的速度通過一座長(zhǎng)500米的思路剖析

橋，從第一個(gè)人踏上橋開始計(jì)時(shí)，到最后一個(gè)人離開橋時(shí)共用去6分鐘，由于甲車途中停留3小時(shí)，使其比乙晚1小時(shí)到達(dá)，這表明走完這段

已知小組成員是排一隊(duì)過橋的，而且前后兩人的間距為1米。問這個(gè)小路時(shí)，甲車比乙車少用2小時(shí)。而甲車比乙車每小時(shí)多走50-45=5（千

組大約有多少人？（不計(jì)人的厚度）米）。那么這個(gè)問題可以理解為乙車比甲車早出發(fā)2小時(shí)，同時(shí)到達(dá)目的

思路剖析地。這是典型的追及問題。

解答

這里要弄清楚6分鐘的時(shí)間里小組行進(jìn)的路程。要注意考慮隊(duì)伍自

如果兩車同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)甲到達(dá)目的地時(shí)；乙車距離目的地的距離

身的長(zhǎng)度。這與火車過橋問題有些類似。關(guān)鍵就是要分析出隊(duì)伍（或列

為：

車）的自身長(zhǎng)度。這種類型的問題要先選準(zhǔn)隊(duì)伍的某一個(gè)人如第一人（或

45X（3T）=45X2=90（千米）

列車的某一部位），以此為參照物研究其走過的路程。這道題將以第一個(gè)

甲、乙兩車的速度差為：

人為準(zhǔn)。把題中條件用線段圖（圖6）表示為：

50-45=5（千米/小時(shí)）

甲走完全程所用的時(shí)間為：

90+5=18（小時(shí)）

也是甲追上乙所用的時(shí)間。所以兩地相距：

油」涼必皿*胡;拉次郎Jj

*------500來二二二50X18=900（千米）

一-從上橋到內(nèi)橋的路程--------答：兩地相距900千米。

圖6［例10】輪船發(fā)生漏水事故，于是兩部抽水機(jī)同時(shí)向外抽水,此時(shí)已

解答滿水450桶，而且還在以每分鐘15桶的速度漏水，若甲抽水機(jī)每分鐘抽水

（1）隊(duì)伍在6分鐘里前進(jìn)的路程為：16桶，乙抽水機(jī)每分鐘抽水14桶，請(qǐng)問能否在20分鐘內(nèi)將船里的水抽

90X6=540（米）干？

（2）隊(duì)伍的長(zhǎng)度：

思路剖析

540-500=40（米）

（3）隊(duì)伍中成員的人數(shù)為：本題實(shí)質(zhì)上也是個(gè)追及問題，“路程差”為抽出的水和漏入的水的總

40+1=41（人）差。題中說是450桶，“速度差”為抽出和漏入的速度差：14+16-15=15

答：小組約有41人桶，那么追上所用時(shí)間就是將船里的水抽干所用的時(shí)間。

注：為什么要加1呢？請(qǐng)大家考慮清楚。解答

［例9】甲乙兩輛卡車從化肥廠給某銷售點(diǎn)運(yùn)送化肥，兩車同時(shí)、同

☆解法一

地出發(fā)。甲車每小時(shí)行駛50千米，乙車每小時(shí)行駛45千米，途中甲車因

把船里的水抽干所用的時(shí)間為：

故停車3小時(shí)，致使甲車比乙車晚1小時(shí)到達(dá)該銷售點(diǎn)。兩地（化肥廠到

450+（14+16-15）=4504-15=30（分鐘）

銷售點(diǎn)）的距離是多少千米？

由于30>20,所以在20分鐘內(nèi)無法抽干船里的水。

答：不能在20分鐘內(nèi)將船里的水抽干。

☆解法二

兩部抽水機(jī)20分鐘內(nèi)能抽出的水量為：行54千米。兩車錯(cuò)車時(shí)，第一列車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從另一列車車頭經(jīng)過

（14+16）X20=30X20=600（桶）他的車窗時(shí)開始到該車車尾經(jīng)過他的車窗共用了11秒，該車的車長(zhǎng)是多

20分鐘內(nèi)需要抽出的水量為：少米？

450+20X15=450+300=750（桶）3.有A、B、C三輛車，A車每小時(shí)行35千米，B車每小時(shí)行30千米，

由于750>600,所以無法在20分鐘內(nèi)抽干船里的水。C車每小時(shí)行25千米，如果A從甲城，B、C從E城同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行。

答：略。在途中A與B相遇1小時(shí)后與C又相遇。那么這兩個(gè)城市相距多少千

［例11］在周長(zhǎng)為200米的圓的一條直徑的兩端，甲、乙兩個(gè)人分別米？

以每秒6米、5米的騎車速度同時(shí)同向出發(fā)，沿圓周行駛。問16分鐘內(nèi)，4.A、B兩人做折返跑訓(xùn)練，折返跑的兩端分別有甲、乙兩個(gè)標(biāo)志物，

甲追上乙多少次？?jī)扇送瑫r(shí)從甲、乙兩處相對(duì)起動(dòng)，第一次在離甲75米處相遇，相遇后繼續(xù)

前進(jìn)到達(dá)目的地后又立即返回，第二次在離乙55米處，求甲、乙兩標(biāo)志物

思路剖析

間的距離。

這道題是1997年第六屆“華羅庚金杯賽”初賽題。這道題是多次追5.甲、乙兩艘船從相距264海里的兩個(gè)港口同時(shí)相向而行，12小時(shí)后

及性問題，但是第一次追上所需時(shí)間和以后每次追上所需要的時(shí)間不同。相遇，如果每小時(shí)的速度各增加1海里，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)

速度差均為6-5=1（米/秒）。但是第一次追及前的距離為200+2=1001海里，求甲、乙兩艘船的航行速度。

（米），以后每次追及前的距離為200米，因此第一次追上乙需要100+1=6.甲、乙兩車從同一地點(diǎn)同時(shí)沿同條路前進(jìn)。甲車每小時(shí)行100千

100（秒），以后每追上一次需要用時(shí)200+1=200（秒），分析清楚這些后就米，乙車每小時(shí)行120千米，行駛2