專題3.1解一元一次方程（六大類型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1解一元一次方程-合并同類與移項(xiàng)】【題型2解一元一次方程-去括號與去分母】【題型3新定義運(yùn)算-解一元一次方程】【題型4判斷解一元一次方程的過程】【題型5運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)】【題型6含絕對值的一元一次方程】【題型1解一元一次方程-合并同類與移項(xiàng)】【典例1】解方程：4（x﹣2）﹣1＝3（x﹣1）【變式1-1】解方程：x﹣7＝10﹣4（x+0.5）【變式1-2】解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【變式1-3】解方程：10x﹣3（x﹣4）＝2（x+1）．【變式1-4】解方程：3（2x+3）＝11x﹣6．【變式1-5】解方程：5x﹣2＝7x+8．【題型2解一元一次方程-去括號與去分母】【典例2】解下列方程：（1）6﹣3x＝2（4﹣x）；（2）【變式2-1】解方程：（1）3（20﹣y）＝6y﹣4（y﹣11）；（2）．【變式2-2】解方程：（1）2（x﹣1）＝6；（2）．【變式2-3】解方程．（1）﹣3（x+1）＝9；（2）．【變式2-4】解下列方程：（1）4（x+3）＝2﹣5（x+1）；（2）．【變式2-5】解方程：（1）3x+5＝6x﹣1；（2）x+＝3﹣．【題型3新定義運(yùn)算-解一元一次方程】【典例3】（2023春?巴州區(qū)期中）定義一種新運(yùn)算“※”：a※b＝ab﹣a+b．例如3※1＝3×1﹣3+1＝1，（2a）※2＝（2a）×2﹣2a+2＝2a+2．（1）計(jì)算：5※（﹣1）的值為；（2）已知（2m）※3＝2※m，求m的值．【變式3-1】定義一種新運(yùn)算“⊕”，其運(yùn)算規(guī)則為：a⊕b＝﹣2a+3b，如：1⊕5＝（﹣2）×1+3×5＝13．在以上運(yùn)算規(guī)則下，解決下列問題，（1）計(jì)算：2⊕（﹣3）；（2）解方程：x⊕2＝10．【變式3-2】（興化市期末）用“*”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a*b＝b2+2ab，如：1*4＝42+2×1×4＝24．（1）求2*（﹣5）的值；（2）若（3x﹣2）*1＝x，求x的值．【變式3-3】（2023春?英德市期中）規(guī)定一種新運(yùn)算法則：x*y＝x2﹣2xy．（1）求（﹣3）*1的值；（2）若2*（t+1）＝8，求（1﹣t）*t的值．【變式3-4】（2023春?石獅市校級月考）若規(guī)定，如．（1）計(jì)算：的值；（2）當(dāng)，求x的值．【變式3-5】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）定義一種新運(yùn)算“*”：M*N＝3M﹣2N，解方程．【變式3-6】我們常用符號[x]表示小于或者等于x的最大整數(shù)．例如[0]＝0，[2.3]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，[π]＝3．由此可以知道，當(dāng)x為整數(shù)時，[x]＝x．請根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）[1.2]＝，[﹣3.8]＝，[2π]＝．（2）計(jì)算并找規(guī)律：[1]+[﹣1]＝，[200]+[﹣200]＝；[1.5]+[﹣1.5]＝，[3.14]+[﹣3.14]＝．根據(jù)以上計(jì)算，可歸納出：①當(dāng)x為整數(shù)時，[x]+[﹣x]＝．②當(dāng)x不為整數(shù)時，[x]+[﹣x]＝．（3）計(jì)算：[﹣20]+[﹣19]+[﹣19]+[﹣18]+[﹣18]+…+[﹣1]+[﹣]+[0]+[]+[1]+…+[18]+[18]+[19]+[19]+[20]；（4）解關(guān)于x的方程：x+[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]＝1332．【題型4判斷解一元一次方程的過程】【典例4】用好錯題本可以有效地積累解題策略，減少再錯的可能．下面是小凱錯題本上的一道題，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)，﹣＝解：2×2x﹣（4﹣3x）＝2（5x+8）第一步4x﹣4+3x＝10x+16第二步4x+3x﹣10x＝16﹣4第三步﹣3x＝12第四步x＝﹣4第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；第二步去括號時用到的運(yùn)算律是；②第步開始出錯，這一步錯誤的原因是；③請直接寫出該方程的正確解：；任務(wù)二：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程還需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一條建議．【變式4-1】以下是圓圓解方程的解答過程．解：去分母，得2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10……①去括號，得4x﹣2﹣5x+5＝10……②移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝13……③系數(shù)化為1，得x＝﹣13……④圓圓的解答是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．【變式4-2】用好錯題本可以有效地積累解題策略，減少再錯的可能．下面是小嚴(yán)同學(xué)錯題本上的一道題，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．﹣＝解：2×3x﹣（6﹣3x）＝4（3x+1）第一步6x﹣6+3x＝12x+4第二步6x+3x﹣12x＝4﹣6第三步﹣3x＝﹣2第四步x＝第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；第二步去括號時用到的運(yùn)算律是；②第三步開始出錯，這一步錯誤的原因是；③請直接寫出該方程的正確解：；任務(wù)二：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程還需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一條建議．【變式4-3】下圖是小明同學(xué)解方程的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答所提出的問題．解：去分母，得18x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1），①去括號，得18x+3x﹣3＝18﹣4x﹣2，②移項(xiàng)，得18x+3x+4x＝18﹣2+3，③合并同類項(xiàng)，得25x＝19，④系數(shù)化為1，得，⑤（1）聰明的你知道小明的解答過程在（填序號）處出現(xiàn)了錯誤．（2）請寫出正確的解答過程．【變式4-4】下面是小穎同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：＝1．解：去分母，得5x﹣2（x﹣1）＝1，?第一步去括號，得5x﹣2x+2＝1，?第二步，得5x﹣2x＝1﹣2，?第三步合并同類項(xiàng)，得3x＝﹣1，?第四步方程兩邊同除以3，得x＝﹣．，?第五步（1）以上求解步驟中，第三步進(jìn)行的是，這一步的依據(jù)是；（2）以上求解步驟中，第步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤原因是；（3）請寫出正確解方程的過程．【變式4-5】下面是小明同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：去分母，得3（x+3）﹣（5x﹣3）＝1．……第一步去括號，得3x+9﹣5x+3＝1．…………第二步移項(xiàng)，得3x﹣5x＝﹣9﹣3+1．…………第三步合并同類項(xiàng)，得﹣2x＝﹣11．…………第四步系數(shù)化為1，得………………第五步任務(wù)：①第一步開始出現(xiàn)了錯誤，產(chǎn)生錯誤的原因是②第三步變形的依據(jù)（填寫具體內(nèi)容）是．③該一元一次方程的解是．④寫出一條解一元一次方程時應(yīng)注意的事項(xiàng)．【題型5運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)】【典例5】（2022秋?禹城市期末）問題解決：是小學(xué)大家都承認(rèn)的事實(shí)，但你能推理說明其中的道理嗎？小明有如下的探究：解：所以設(shè)，則10x＝，所以10x﹣x＝9，解得x＝1，于是．（1）實(shí)踐探究：請你仿照小明的方法把下列兩個小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過程：①②（2）拓展延伸：直接寫出將化成分?jǐn)?shù)的結(jié)果為．【變式5-1】（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實(shí)上，所有的有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)形式（整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù)），那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分?jǐn)?shù)形式呢？請看以下示例：例：將0.化為分?jǐn)?shù)形式，由于0.＝0.777…，設(shè)x＝0.777…，①得10x＝7.777…，②②﹣①得9x＝7，解得x＝，于是得0.＝．同理可得0.＝＝，1.＝1+0.＝1+＝．根據(jù)以上閱讀，回答下列問題：（以下計(jì)算結(jié)果均用最簡分?jǐn)?shù)表示）【類比應(yīng)用】（1）4.＝；（2）將0.化為分?jǐn)?shù)形式，寫出推導(dǎo)過程；【遷移提升】（3）0.2＝，2.0＝；（注0.2＝0.225225…，2.0＝2.01818…）【拓展發(fā)現(xiàn)】（4）若已知0.1428＝，則2.8571＝．【變式5-2】（2022秋?蕪湖期末）閱讀材料：如何將化為分?jǐn)?shù)形式．探究過程：步驟①設(shè)；步驟②；步驟③，則；步驟④10x＝7+x，解得．請你根據(jù)上述閱讀材料，解答下列問題：（1）步驟①到步驟②的依據(jù)是；（2）仿照上述探究過程，請你把化為分?jǐn)?shù)形式：步驟①設(shè)，步驟②；步驟③，則；步驟④，解得x＝；（3）請你將化為分?jǐn)?shù)形式，并說明理由．【題型6含絕對值的一元一次方程】【典例6】（2022秋?梁山縣期末）閱讀理解：在解形如3|x﹣2|＝|x﹣2|+4這一類含有絕對值的方程時，可以根據(jù)絕對值的意義分x＜2和x≥2兩種情況討論：當(dāng)x＜2時，原方程可化為﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣2）+4，解得：x＝0，符合x＜2．當(dāng)x≥2時，原方程可化為3（x﹣2）＝（x﹣2）+4，解得：x＝4，符合x≥2．∴原方程的解為：x＝0或x＝4．解題回顧：本題中，2為（x﹣2）的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分成了x＜2和x≥2兩部分，所以分x＜2和x≥2兩種情況討論．嘗試應(yīng)用：（1）仿照上面方法解方程：|x﹣3|+8＝3|x﹣3|．遷移拓展：（2）運(yùn)用分類討論先去絕對值符號的方法解方程：|x﹣3|﹣3|x+2|＝x﹣9．（提示：本題中有兩個零點(diǎn)，它們把數(shù)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分成了幾部分呢？）【變式6-1】（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）某班數(shù)學(xué)興趣小組探索絕對值方程的解法．例如解絕對值方程：|2x|＝1．解：分類討論：當(dāng)x≥0時，原方程可化為2x＝1，它的解是x＝．當(dāng)x＜0時，原方程可化為﹣2x＝1，它的標(biāo)是x＝﹣．∴原方程的解為x＝或x＝﹣．（1）依例題的解法，方程|x|＝3的解是．（2）在嘗試解絕對值方程|x﹣2|＝3時，小明提出想法可以繼續(xù)依例題的方法用分類討論的思想把絕對值方程轉(zhuǎn)化為不含絕對值方程，試按小明的思路完成解方程過程；（3）在嘗試解絕對值方程|x﹣3|＝5時，小麗提出想法，也可以利用數(shù)形結(jié)合的思想解絕對值方程，在前面的學(xué)習(xí)中我們知道，|a﹣b|表示數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)A、B之間的距離，則|x﹣3|＝5表示數(shù)x與3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為5個單位長度，結(jié)合數(shù)軸可得方程的解是；（4）在理解上述解法的基礎(chǔ)上，自選方法解關(guān)于x的方程|x﹣2|+|x﹣1|＝m（m＞0）；（如果用數(shù)形結(jié)合的思想，簡要畫出數(shù)軸，并加以必要說明）．【變式6-2】（2021秋?任城區(qū)校級期末）[現(xiàn)場學(xué)習(xí)]定義：我們把絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，根據(jù)絕對值的意義，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．[例]解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據(jù)絕對值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝．解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1；經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1．[解決問題]解方程：||﹣x＝2．解：根據(jù)絕對值的意義，得＝或＝