專題06利用軸對稱的性質(zhì)解決有關將軍飲馬問題之壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一幾何圖形中的最小值問題】 1【類型二實際問題中的最短路徑問題】 13【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】 19【類型四一次函數(shù)中線段差最大值問題】 28【典型例題】【類型一幾何圖形中的最小值問題】例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，是的角平分線，的面積為12，長為6，點E，F(xiàn)分別是，上的動點，則的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】作關于的對稱點，由是的角平分線，得到點一定在上，過作于，交于，則此時，的值最小，的最小值，過作于，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結論．【詳解】解：作關于的對稱點，是的角平分線，點一定在上，過作于，交于，則此時，的值最小，的最小值，過作于，的面積為12，長為6，，垂直平分，，，，的最小值是4，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，解題的關鍵是正確的作出對稱點和利用垂直平分線的性質(zhì)證明的最小值為三角形某一邊上的高線．【變式訓練】1．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，周長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積求出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示．連接，

∵是的垂直平分線，∴，∴周長．連接，∵，點F是的中點，∴，∴．∵，∴，，∴周長的最小值是．故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱求線段和最小值等，判斷周長的最小值是解題的關鍵．2．（2023秋·河南許昌·八年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點．若點D為邊的中點，點C為線段上一動點，則周長的最小值為（

）

A．4 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】連接，由于是等腰三角形，點D是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線，可知，點C關于直線的對稱點為點A，故的長為的最小值，由此即可得出結論．【詳解】解：連接，

∵是等腰三角形，點D是邊的中點，∴，∴，解得，∵的周長，又是定值，∴當最小時，的周長最小，∵是線段的垂直平分線，∴點C關于直線的對稱點為點A，∴，∴當A、G、D三點共線時，最小，最小值為的長，∴的周長最短．故選：C．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，垂線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關鍵．3．（2022春·七年級單元測試）如圖，中，，，，點在上，且，點在的平分線上運動，則的長度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用最短路徑直接將點對稱，然后連線求兩線段和的最小值即可．【詳解】將關于對稱至點，連接，∴，∴，∴，∵，，，且，∴是中點，∴．∴故選：B【點睛】此題考查最短路徑，解題關鍵是將一個定點對稱，當三點共線時線段之和最短．4．（2023秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個定點，且，N，P分別是邊上的動點，則的最小值是．【答案】/厘米【分析】作M關于的對稱點Q，過Q作于N，交于P，則此時的值最小，連接，得出，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】作M關于的對稱點Q，過Q作于N，交于P，則此時的值最小，連接，則，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱—最短路徑問題，垂線段最短的應用，確定點P、N的位置的解題的關鍵．5．（2023春·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．

【答案】【分析】作點關于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，證明即可．【詳解】解：作點關于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，

，，，，，，，，是等邊三角形，點E為邊上的中點，，，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運用．6．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點，分別是角兩邊、上的定點，，．點，分別是邊，上的動點，則的最小值是．

【答案】4【分析】如圖所示，作點D關于的對稱點H，作點C關于的對稱點G，連接，由軸對稱的性質(zhì)可得，，證明是等邊三角形，；推出當H、F、E、G四點共線時，最小，即最小，最小為的長，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，作點D關于的對稱點H，作點C關于的對稱點G，連接，由軸對稱的性質(zhì)可得，，∴，∴是等邊三角形，∴；∵，∴當H、F、E、G四點共線時，最小，即最小，最小為的長，∴的最小值為4，故答案為：4．

【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線確定有最小值的情形是解題的關鍵．7．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應點為，連結．

(1)直接填空：與的位置關系是__________；(2)點P、Q分別是線段、上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當時，；當時，【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，在上取點，使得，結合對稱性質(zhì)推出，確定三點共線且垂直于時，取得最小值，結合面積進行計算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應點為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點，使得，連接，根據(jù)對稱的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當B、P、M三點共線，且時，取得最小值，此時，如圖所示，

由對稱的性質(zhì)，，∵取得最小值時，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當時，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當時，．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)等，熟知折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題關鍵．8．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）【初步感知】（1）如圖1，已知為等邊三角形，點為邊上一動點（點不與點，點重合）．以為邊向右側作等邊，連接．求證：；

【類比探究】（2）如圖2，若點在邊的延長線上，隨著動點的運動位置不同，猜想并證明：①與的位置關系為：___________；②線段、、之間的數(shù)量關系為：___________．【拓展應用】（3）如圖3，在等邊中，，點是邊上一定點且，若點為射線上動點，以為邊向右側作等邊，連接、．請問：是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①，②；（）有，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，從而證，從而即可證明；（2）證得，，，利用平行線的判定及線段的和差關系即可得證；（3）在延長線上截取，連接，證，得，，再判定是等邊三角形得，從而有點在角平分線上運動，作點關于對稱點，連接與交于點，此時點與點重合，于是，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形∴，∵∴即在和中∴（2）解：，，∵和是等邊三角形∴，∵∴即在和中∴∴，∴∴∵，∴，故答案為：，；（3）有最小值，在延長線上截取，連接

∵和是等邊三角形∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中∴∴，∴是等邊三角形∴，∴即點在角平分線上運動作點關于對稱點連接與交于點此時點與點重合，∴最小值為．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定、角平分線的定義以及最短距離，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．【類型二實際問題中的最短路徑問題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個村子在筆直河岸的同側，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）延長，取，再連接，與交于點E即可；（2）作出以為斜邊的直角，求出直角邊，利用勾股定理求出結果．【詳解】（1）解：如圖所示：點E即為水廠的位置；（2）如圖，作出以為斜邊的直角，由（1）可知：，由題意可得：，，，∴，，，∴水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值為．【點睛】本題考查了應用與設計作圖，勾股定理，主要利用軸對稱的性質(zhì)，找出點A關于的對稱點是確定建水廠位置的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·八年級課時練習）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．【答案】(1)見解析；(2)50萬元.【分析】（1）作點A關于直線的對稱點，連接，交于M點，即M為所求；（2）連接交于H點，過點B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作點A關于直線的對稱點，連接，交于M點，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點，過點B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對稱性質(zhì)可知：，水管長，完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬元）【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學生的動手操作能力和計算能力．2．（2021秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長度．【答案】(1)475米(2)1000米，米【分析】（1）根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（2）如圖，作點A關于直線l的對稱點，連接，交直線l于點P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為B．（1）解：如圖1，此時AQ＝BQ．設CQ＝x，則DQ＝800﹣x，∴，解得x＝475，即CQ的長為475米；（2）解：如圖2，作點A關于直線l的對稱點，連接，交直線l于點P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為=1000米．∵，∴，∴，∴CP＝＝＝（米），即CP的長度為米．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，作圖﹣應用與設計作圖，坐標與圖形的性質(zhì)，確定出Q、P的位置是本題的關鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習）問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個定點A，B，在直線上是否存在點，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．問題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長為4，E是斜邊的中點，是邊上的一動點，求的最小值．問題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問題，A，B兩村計劃在一水渠上建造一個蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設水管的工程費用為每千米15000元，請你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設水管的費用最少，并求出最少的鋪設水管的費用．【答案】(1)(2)最少的鋪設水管的費用是225000元【分析】(1)作點B關于的對稱點，連接交于P，此時的值最小，連接先根據(jù)勾股定理求出的長，再判斷出，根據(jù)勾股定理即可得出結論；(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定水廠位置，作交的延長線于點E,根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理求出，得到，結合題意計算即可．【詳解】（1）解：如圖，作點關于的對稱點，連接交于，此時的值最小，連接．因為等腰的直角邊長為4，E是斜邊的中點，所以，，因為，所以，所以．（2）如圖，延長到點，使，連接交于點，點即為所選擇的位置，過點作交的延長線于點．在中，千米，千米，所以（千米），所以最短路線（千米），最少的鋪設水管的費用為（元）．答：最少的鋪設水管的費用是元．【點睛】本題考查的是三角形綜合題，軸對稱最短路徑問題、勾股定理的應用，掌握軸對稱的概念和性質(zhì)、兩點之間，線段最短的性質(zhì)是解題的關鍵．【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】例題：（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段為邊在第二象限內(nèi)作等腰．（可能用到的公式：若，①中點坐標為；②(1)求線段的長；(2)過B、C兩點的直線對應的函數(shù)表達式．(3)點D是中點，在直線上是否存在一點P，使得有最小值？若存在，則求出此最小值；若不存在，則說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值是【分析】（1）求出點A、B的坐標，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證明，得出點C坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（3）作點C關于的對稱點M，連接交直線于點P，則此時有最小值，即為的長，根據(jù)中點坐標公式分別求出點D、M的坐標，再根據(jù)兩點距離公式求解．【詳解】（1）對于，令，則，令，則，解得，∴，∴；（2）作軸于點F，如圖，則，∵等腰，∴，，∴，∴，∴，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；

（3）∵D是中點，∴點D的坐標是，作點C關于的對稱點M，連接交直線于點P，則此時有最小值，且，即的最小值是的長，∵，∴C、A、M三點共線，且A是中點，設，則，解得，∴，∴，故存在最小值，是．

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、利用軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值以及兩點間的距離公式等知識，具有一定的綜合性，熟練掌握相關知識、明確求解的方法是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·河北石家莊·八年級石家莊市第四十一中學?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過兩點，．點在這個函數(shù)圖像上(1)求這個一次函數(shù)表達式；(2)求的值；(3)點C為的中點，點P為上一動點，求的最小值．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入一次函數(shù)解析式求解即可；（3）作C與C'關于直徑y(tǒng)軸對稱，連接C'D交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線C'D的長度，再求出最小值即可．【詳解】（1）將，代入得，，解得∴；（2）將代入得，解得；（3）解：如圖，由平面坐標系中的對稱性可知，C與關于直徑y(tǒng)軸對稱，連接交y軸于P，則的最小值就是線的長度，∵，，∴，，∵C與關于直徑y(tǒng)軸對稱，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】此題是一次函數(shù)函數(shù)綜合題，主要考查了軸對稱性，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關鍵是找到使距離之和最小時的點P位置．2．（2023春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）如圖，直線經(jīng)過點，與直線：交于點．

(1)求的值和直線的解析式；(2)直線與軸交于點，求的面積；(3)在軸上是否存在點，使得的值最小，若存在，請求出的最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)存在，的最小值為【分析】（1）由直線：經(jīng)過點即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）由直線的解析式求得點的坐標，然后利用三角形面積公式求得即可；（3）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，則此時的值最小，的最小值為，利用兩點之間的距離公式求解即可得．【詳解】（1）解：點代入得：，設直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為．（2）解：對于直線：，當時，，即，則的面積=．（3）解：存在，求解過程如下：如圖，作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，則此時的值最小，的最小值為，

，，的最小值為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．3．（2023春·重慶萬州·九年級重慶市萬州第一中學校聯(lián)考期中）如圖1，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，直線與x軸，y軸分別交于C，D兩點，兩直線相交于點P，已知點C的坐標為，點P的橫坐標為．(1)直接寫出點A、P的坐標，并求出直線的函數(shù)表達式；(2)如圖2，過點A作x軸的垂線，交直線于點M，點Q是線段上的一動點，連接，當?shù)闹荛L最小時，求點Q的坐標和周長的最小值．(3)在第（2）問的條件下，若點N是直線上的一個動點，以D，Q，N三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出此時點N的坐標．【答案】(1)，；(2)點Q的坐標為,周長的最小值(3)或或或【分析】（1）對于，令，求出可得點A的坐標，再把點P的橫坐標代入，求出x的值即可得到點P的坐標，再運用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）先求出點D的坐標，再運用勾股定理求出，過點D作的對稱點，得，連接，交于占M，由兩點之間，線段最短可知的最小值為的長，從而可得周長的最小值，再運用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進一步可得出點Q的坐標；（3）設，分別求出的長，再分，，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）對于，當時，，解得，，，∵點P的橫坐標為，；設直線的解析式為把代入得，，解得：，∴直線的解析式為；（2）對于直線，當時，∴過點作點關于的對稱點，連接交于點，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，的最小值為的長，∵，∴又∴，∴的周長最小值為：設的解析式為：把，代入得，，解得，∴直線的解析式為當時，∴；（3）設，∵，，∵當時，有∵，解得，∴；當時，有∴，解得，，（不符合題意，舍去）∴當時，有∴，解得，，，∴或，綜上,點N的坐標為:或或或【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、最短問題等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用對稱解決最值問題．【類型四一次函數(shù)中線段差最大值問題】例題：（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，直線與軸交于點，直線與軸交于點，直線與交于點．(1)求點的坐標；(2)點在直線上運動，求出滿足條件且異于點的點的坐標；(3)點為軸上一定點，當點在直線上運動時，請直接寫出的最大值．【答案】(1)點的坐標為，點的坐標為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線與坐標軸交點的特點即可求解，聯(lián)立兩條直線的解析式，解二元一次方程組即可求解；（2）根據(jù)直線與坐標軸的交點，求出的面積，設，用含的式子表示的面積，根據(jù)即可求解；（3）如圖，作點關于直線的對稱點，連接并延長交直線于，求的最大值轉換為求，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，∴令，則，∴點的坐標為，聯(lián)立直線與直線得，，解得，，∴點的坐標為．（2）解：如圖，直線與軸交于點，直線，令，則，∴點的坐標，直線，令，則，∴點的坐標，且點，∴，∴，∵，∵點在直線上運動，且點P只能在點C的左下方，∴設，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴當時，；∴滿足條件且異于點的點的坐標為．（3）解：如圖，作點關于直線的對稱點，連接并延長交直線于，∴，，設直線交x軸于E，由（2）知，∵，∴，∴，∵點的坐標，∴，∴點的坐標，∴的最大值為，∵點，∴，∴的最大值為．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幾何圖形的變換，解二元一次方程組的方法，勾股定理等知識是解題的關鍵．【變式訓練】1．如圖①，平面直角坐標系中，直線y＝kx＋b與x軸交于點A（﹣10，0），與y軸交于點B，與直線y＝﹣x交于點C（a，7）．(1)求直線AB的表達式；(2)如圖②，在（1）的條件下，過點E作直線l⊥x軸，交直線y＝﹣x于點F，交直線y＝kx＋b于點G，若點E的坐標是（﹣15，0），求△CGF的面積；(3)點M為y軸上OB的中點，直線l上是否存在點P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；【答案】(1)y=x+10(2)240(3)存在，【分析】（1）先求得點C的坐標（-3.7），再將C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，即可得到直線AB的解析式；（2）先求得點G、F的坐標，再利用三角形面積公式求解即可；（3）由三角形的三邊關系可知當點P、M、C在一條直線上時，PM-PC的值最大，據(jù)此求解即可；(1)將點C（a，7）代入y=x，可得a=-3，∴點C的坐標為（-3，7），將C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得，解得，∴直線AB的解析式為y=x+10；(2)∵點E的坐標是（﹣15，0）．∴當時，y=和y=-15+10=-5，∴點F的坐標為（-15，35），點G的坐標為（-15，-5），∴；(3)存在，證明：由三角形的三邊關系可知當點P、M、C在一條直線上時，PM-PC的值最大，令x=0，則y=10，∴點B的坐標（0，10），∵點M為y軸上OB的中點，∴點M的坐標為（0，5），設直線MC的解析式為y=ax+5，將C（-3，7）代入得：7=-3a+5，解得：a=-，∴直線MC的解析式為y=?x+5，當x=-15時，y=?×(?15)+5＝15，∴點P的坐標為（-15，15），∴；【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題關鍵是掌握三角形面積在坐標系內(nèi)的求法，并且能夠熟練使用三角形全等解題．2．在進行13.4《最短路徑問題》的學習時，同學們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊含在其中的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題．同學們先研究了最特殊的情況，再利用所學的軸對稱知識，將復雜問題轉化為簡單問題，找到了問題的答案，并進行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點，連結，∵點B，關于直線l對稱，點C，在l上，∴_________，_________，∴_________．在中，∵，∴，即最?。?1)請將證明過程補充完整．（直接填在橫線上）(2)課堂小結時，小明所在的小組同學提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上是否存在一點P，使的值最大呢？請你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點P的位置，再證明你的結論是正確的．(3)如圖，平面直角坐標系中，，P是坐標軸上的點，則的最大值為_________，此時P點坐標為_________．（直接寫答案）【答案】(1)(2)連結并延長，交直線l于點P，點P即為所求；證明見解析(3)或；或【分析】（1）根據(jù)點B，關于直線l對稱，可得，，從而得到．在中，根據(jù)三角形的三邊關系，即可；（2）連結并延長，交直線l于點P，點P即為所求，根據(jù)三角形的三邊關系，即可；（3）分兩種情況討論：當時點P在x軸上時，作點N關于x軸的對稱點，連接，延長交x軸于點P，則點P即為所求；此時的最大值為；當點P在y軸上時，連接，延長交y軸于點，則點即為所求，此時的最大值為，即可求解．【詳解】（1）解：證明：如圖4，在直線l上另取任一點，連結，∵點B，關于直線l對稱，點C，在l上，∴，，∴．在中，∵，∴，即最小．故答案為：（2）解：連結并延長，交直線l于點P，點P即為所求．證明：如圖，在直線l上任取任一點，連結，在中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：，而當點B，A，P共線時，，所以此時最大；（3）解：如圖，當時點P在x軸上時，作點N關于x軸的對稱點，連接，延長交x軸于點P，則點P即為所求；此時的最大值為，∵，∴點，∵，∴，設直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，此時點P的坐標為；當點P在y軸上時，連接，延長交y軸于點，則點即為所求，此時的最大值為，設直線的解析式為，把點代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，此時點的坐標為，綜上所述，的最大值為或，此時P點坐標為或．故答案為：或；或【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實際，最短距離問題，勾股定理，三角形的三邊關系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關系是解題的關鍵．3．如圖，在直角坐標系中，直線l：y＝x+8與x軸、y軸分別交于點B，點A，直線x＝﹣2交AB于點C，D是直線x＝﹣2上一動點，且在點C的上方，設D（﹣2，m）（1）求點O到直線AB的距離；（2）當四邊形AOBD的面積為38時，求點D的坐標，此時在x軸上有一點E（8，0），在y軸上找一點M，使|ME﹣MD|最大，請求出|ME﹣MD|的最大值以及M點的坐標；（3）在（2）的條件下，將直線l：y＝x+8左右平移，平移的距離為t（t＞0時，往右平移；t＜0時，往左平移）平移后直線上點A，點B的對應點分別為點A′、點B′，當△A′B′D為等腰三角形時，求t的值．【答案】（1）4.8；（2）當點M的坐標為（0，）時，|ME﹣MD|取最大值2；（3）t的值為﹣2﹣4、