湖南省瀏陽市三校2024屆高三下學期數(shù)學試題4月開學考試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個超級斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項起，每一項都等于前面所有項之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項為2，某一項為2020的超級斐波那契數(shù)列的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．62．用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形3．在正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值4．設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（）A． B． C．1 D．35．已知復數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣26．已知集合，，則中元素的個數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．07．向量，，且，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（）A． B． C． D．9．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交10．已知復數(shù)z滿足,則在復平面上對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．1012．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足對任意，，則數(shù)列的通項公式__________.14．若，則______.15．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.16．已知角的終邊過點，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，且的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實數(shù)取值范圍.18．（12分）函數(shù)，且恒成立.（1）求實數(shù)的集合；（2）當時，判斷圖象與圖象的交點個數(shù)，并證明.（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）新高考，取消文理科，實行“”，成績由語文、數(shù)學、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機調(diào)查50人（把年齡在稱為中青年，年齡在稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）頻數(shù)515101055了解4126521（1）分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率；（2）請根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若從年齡在的被調(diào)查者中隨機選取3人進行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為，求的分布列以及.20．（12分）隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展，我國對于環(huán)境保護越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強.現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標情況相互獨立.（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為300元/小時（不啟動則不產(chǎn)生運行費用），除運行費用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.21．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：22．（10分）設函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個數(shù).【題目詳解】由題意可知首項為2，設第二項為，則第三項為，第四項為，第五項為第n項為且，則，因為，當?shù)闹悼梢詾?；即?個這種超級斐波那契數(shù)列，故選：A.【題目點撥】本題考查了數(shù)列新定義的應用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準確，屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點：平面的基本性質(zhì)及推論．3、C【解題分析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進行判斷．【題目詳解】對于，設平面與直線交于點，連接、，則為的中點分別取、的中點、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點是線段上上的動點．正確．對于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對于，由知，平面平面，與不可能平行，錯誤．對于，因為，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．【題目點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、A【解題分析】

根據(jù)復數(shù)除法運算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【題目詳解】由復數(shù)的除法運算化簡可得，因為是純虛數(shù)，所以，∴，故選：A.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的概念和除法運算，屬于基礎題.5、D【解題分析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【題目詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6、C【解題分析】

集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù)，即為交集中元素的個數(shù).【題目詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當時，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【題目點撥】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎題.7、D【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標運算以及誘導公式，即可得出答案.【題目詳解】故選：D【題目點撥】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用，屬于中檔題.8、A【解題分析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再求最值.【題目詳解】已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【題目點撥】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9、D【解題分析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．10、A【解題分析】

設，由得：，由復數(shù)相等可得的值，進而求出，即可得解.【題目詳解】設，由得：，即，由復數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復平面對應的點的坐標為，在第一象限.故選：A.【題目點撥】本題考查共軛復數(shù)的求法，考查對復數(shù)相等的理解，考查復數(shù)在復平面對應的點，考查運算能力，屬于?？碱}.11、C【解題分析】

畫出函數(shù)和的圖像，和均關(guān)于點中心對稱，計算得到答案.【題目詳解】，驗證知不成立，故，畫出函數(shù)和的圖像，易知：和均關(guān)于點中心對稱，圖像共有8個交點，故所有解之和等于.故選：.【題目點撥】本題考查了方程解的問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用累加法求得數(shù)列的通項公式，由此求得的通項公式.【題目詳解】由題，所以故答案為：【題目點撥】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.14、【解題分析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進一步求出的值．【題目詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【題目點撥】本題考查的知識要點：定積分的應用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題．15、7【解題分析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標函數(shù)的最大值.【題目詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當直線過點時，有最大值，.故答案為：.【題目點撥】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎題.16、【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【題目詳解】解：∵角的終邊過點，∴，，∴，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】

（1）解絕對值不等式得，根據(jù)不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點的坐標，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形，列出不等式，解不等式即可.【題目詳解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，，，，.過點向引垂線，垂足為，則.化簡得：，（舍）或.故的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查了絕對值不等式的求法，以及絕對值不等式在幾何中的應用，屬于中檔題.18、（1）；（2）2個，證明見解析【解題分析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實數(shù)解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).【題目詳解】（1）的定義域為，因為，1°當時，在上單調(diào)遞減，時，使得，與條件矛盾；2°當時，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時，，要使恒成立，故.（2）原問題轉(zhuǎn)化為方程實根個數(shù)問題，當時，圖象與圖象有且僅有2個交點，理由如下：由，即，令，因為，所以是的一根；，1°當時，，所以在上單調(diào)遞減，，即在上無實根；2°當時，，則在上單調(diào)遞遞增，又，所以在上有唯一實根，且滿足，①當時，在上單調(diào)遞減，此時在上無實根；②當時，在上單調(diào)遞增，，故在上有唯一實根.3°當時，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，故，所以在上無實根.綜合1°，2°，3°，故有兩個實根，即圖象與圖象有且僅有2個交點.【題目點撥】此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導數(shù)的運用，屬于較難題.19、（1）；（2）見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)；（3）分布列見解析，.【解題分析】

（1）分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù)，即可求出概率；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出的觀測值，對照表格，即可得出結(jié)論；（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值為0，1，2，分別求出概率，列出隨機變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.【題目詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對新高考了解的概率，中老年對新高考了解的概率.（2）列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計中青年22830老年81220總計302050，所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián).（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0，1，2，則；；.所以的分布列為012.【題目點撥】本題考查概率、獨立性檢驗及隨機變量分布列和期望，考查計算求解能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）不會超過預算，理由見解析【解題分析】

（1）求出某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為，可得某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）設某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對其求導，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.【題目詳解】（1）某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢