第二周：伯努利概型1計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)定義:若兩個(gè)事件

A、B

中,任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的概率,則稱事件

A與B

是相互獨(dú)立的，事件的獨(dú)立性返回2計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)若事件A與B相互獨(dú)立3計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)以上兩個(gè)公式還可以推廣到有限個(gè)事件的情形:4計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)分析1：

分析2：

思考：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，A={抽到K}，B={抽到的是紅色的}，問事件A,B是否獨(dú)立？定義5計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)！6計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)引例某人應(yīng)聘甲公司品酒師職位,該應(yīng)聘者聲稱能以90%的準(zhǔn)確性判別出兩種不同的酒,并可以依此提出相應(yīng)的推銷建議.

為了檢驗(yàn)應(yīng)聘者的辨酒能力以決定是否錄用,甲公司對(duì)該應(yīng)聘者進(jìn)行測(cè)試.讓他連續(xù)分別品嘗兩種酒10次,二次間的間隔為3分鐘.若應(yīng)聘者在10次辯別中至少有7次能準(zhǔn)確判別出兩種不同的酒,則給予錄用,否則,就拒絕錄用.問題:(1)上述測(cè)試方法使公司被冒牌者蒙到崗位的概率有多大?

(2)上述測(cè)試方法使公司將真正的行家拒之門外的概率有多大?

(3)能否設(shè)計(jì)出測(cè)試方法使被冒牌者蒙到崗位的概率及將真正的

行家拒之門外的概率都變小?7計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足(1)在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn);(2)每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果,A發(fā)生或A不發(fā)生;(3)在每次試驗(yàn)中,A發(fā)生的概率均一樣,即P(A)=P;(4)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.則稱這種試驗(yàn)為n重伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)。8計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)定理

在伯努利概型中,若一次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生的概率為P(0<P<1),則n重獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生K次的概率為其中,事件A發(fā)生了k次共作n次試驗(yàn)A發(fā)生的概率A不發(fā)生的概率9計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)一枚硬幣擲３次，恰有一次正面向上的概率為？驗(yàn)證定理10計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)例1已知一批產(chǎn)品的廢品率為0.05,設(shè)有放回地抽取5件產(chǎn)品,求恰好抽到1件廢品的概率.解:由于用有放回抽樣的方式,故每次抽得的結(jié)果是相互獨(dú)立的,且產(chǎn)品只有合格與廢品兩種結(jié)果,故可以按5重伯努利概型計(jì)算事件的概率.已知11計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)引例求解解:用A表示應(yīng)聘者在品嘗測(cè)試中的判斷正確,表示應(yīng)聘者在品嘗測(cè)試中的判斷不正確.則測(cè)試問題符合n=10的伯努利概型.用k

表示10次品嘗測(cè)試中應(yīng)聘者判斷正確的次數(shù)(即A發(fā)生的次數(shù)),用伯努利概型的公式我們可以分別解決所提的問題.(1)若應(yīng)聘者并非行家而是冒牌者,則其在每次品嘗測(cè)試中的判斷正確(蒙對(duì))的概率為0.5,即P(A)=0.5,根據(jù)公式有:即冒牌者在品嘗測(cè)試中能通過測(cè)試(蒙對(duì)7次以上)的概率僅為17.19%,所以機(jī)會(huì)是很小的.12計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)(2)若應(yīng)聘者真是行家,則其在每次品嘗測(cè)試中的判斷正確的概率為0.9,即P(A)=0.9,根據(jù)公式有:

由此可知,當(dāng)應(yīng)聘者為真正行家時(shí),則其在品嘗測(cè)試中通過測(cè)試的概率為98.72%,即被拒絕的概率僅為1-98.72%=1.28%,也就是說測(cè)試方法使公司將真正的行家拒之門外的概率僅為1.28%.13計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)

(3)

測(cè)試方法要使被冒牌者蒙到崗位的概率變小,則測(cè)試通過的條件就必定更苛刻,但苛刻條件自然令真正的行家能通過測(cè)試的機(jī)會(huì)變小,即將真正的行家拒之門外的概率變大.例如將判斷正確的最少次數(shù)從7提高到8,則(1)中冒牌者通過測(cè)試的概率就從17.19%下降為5.47%,而(2)中將真正行家被拒之門外的概率就從1.28%上升為7.02%.因此,使被冒牌者蒙到崗位的概率及將真正的行家拒之門外的概率都變小測(cè)試方法是不存的.因而,只能在兩者中取其一.14計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)例2某射手每次擊中目標(biāo)的概率是0.6,如果射擊5次，求至少擊中兩次的概率.解:由于每次射擊是相互獨(dú)立的,且只有擊中與未擊中兩種結(jié)果,故可以按5重伯努利概型計(jì)算事件的概率.已知15計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)解：設(shè)需配置n枚導(dǎo)彈，因?yàn)閷?dǎo)彈各自獨(dú)立發(fā)射，所以可以看作n重伯努利試驗(yàn)。設(shè)A={導(dǎo)彈命中目標(biāo)}，B={命中目標(biāo)}，則P(A)=0.6，從而有

練習(xí)、某導(dǎo)彈的命中率是0.6，問欲以99%的把握命中目標(biāo)至少需要配置幾枚導(dǎo)彈？所以至少要配置6枚導(dǎo)彈才能達(dá)到要求。16計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)17計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)定義設(shè)兩個(gè)事件A、B，且P(B)>0,

則稱為在事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的條件概率。條件概率重點(diǎn)回顧18計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)定理

設(shè)A、B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)隨機(jī)事件， 若P(B)>0,則或若P(A)>0,有乘法公式19計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)例1某商店倉庫中的某種小家電來自甲、乙、丙三家工廠。這三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別為500件、300件、200件，且它們的產(chǎn)品合格率分別為95%、92%、90%?，F(xiàn)從該種小家電產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求恰抽到合格品的概率。全概率公式20計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)21計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)根據(jù)乘法定理：22計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)根據(jù)加法定理：一件抽樣不可能既是某廠生產(chǎn)的，同時(shí)又是另一個(gè)廠生產(chǎn)的，即三個(gè)事件屬互不相容事件（互斥）；不管這件抽樣屬于哪一個(gè)廠生產(chǎn)的合格品，都認(rèn)定為“抽到合格品”，故三個(gè)事件的概率相加就是題目所求。即23計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)定理(全概率公式)完備事件組24計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)例2某車間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個(gè)是次品的概率。解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次品”。25計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)例3人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化?，F(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，人們估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率。26計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)練習(xí)、用3個(gè)機(jī)床加工同一種零件,零件由各機(jī)床加工的概率分別為0.5,0.3,0.2,各機(jī)床加工的零件為合格品的概率分別等于0.94,0.9,0.95,求全部產(chǎn)品中的合格率.解：設(shè)A、B、C是由第1,2,3個(gè)機(jī)床加工的零件

D為產(chǎn)品合格,且A、B、C

構(gòu)成完備事件組.

則根據(jù)題意有

P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.94,P(D|B)=0.9,P(D|C)=0.95,

由全概率公式得全部產(chǎn)品的合格率

P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.9327計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)解：設(shè)A={A倉庫保管的麥種},B={B倉庫保管的麥種},C={C倉庫保管的麥種},D={發(fā)芽的麥種}，則

P(A)=0.4,P(B)=0.35,P(C)=0.25,

P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.92,P(D|C)=0.90,

P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

=0.927練習(xí)、某村麥種放在A,B,C三個(gè)倉庫保管，保管量分別點(diǎn)總量的40%,35%,25%，發(fā)芽率分別為0.95,0.92,0.90,現(xiàn)將三個(gè)倉庫的麥種全部混合，求