第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.3橢圓的方程及性質的應用學習目標素養(yǎng)要求1.掌握利用根的判別式判斷直線與橢圓位置關系的方法數學抽象2.應用直線與橢圓位置關系的知識解決一些簡單幾何問題邏輯推理、數學運算|自學導引|點與橢圓的位置關系＞＜【預習自測】直線和橢圓位置關系公共點的個數解的個數Δ的取值2____解Δ____01____解Δ____00____解Δ____0兩＞一＝無＜【預習自測】過原點的直線和橢圓相交，兩交點關于原點對稱嗎？【答案】提示：根據橢圓的對稱性知，兩交點關于原點對稱．弦長公式【預習自測】【答案】(1)√

(2)×【答案】A

【解析】直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)過定點(1，1)，且該點在橢圓內部，因此直線必與橢圓相交．故選A.|課堂互動|【答案】(1)A

(2)2直線與橢圓位置關系的判斷(代數法)【答案】(1)C

(2)[1，5)

【答案】(1)D

(2)x＋2y－8＝0解決橢圓中點弦問題的三種方法(1)根與系數的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決．(2)點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系.錦囊妙計分類討論和數形結合思想在圓錐曲線中的應用思維導讀：直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法．如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4,0)，F2(4,0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|＋|F2B|＝10，橢圓上不同的兩點A(x1，y1)，C(x2，y2)滿足條件：2|F2B|＝|F2A|＋|F2C|．(1)求該橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．命題意圖：本題考查直線、橢圓等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數的范圍，設計新穎，綜合性，靈活性強，屬★★★★★級題目．知識依托：橢圓的定義，處理直線與圓錐曲線的方法．當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化．同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．|素養(yǎng)達成|1．直線與橢圓的位置關系判別方法(代數法)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程．①Δ＞0?直線與橢圓相交?有兩個公共點；②Δ＝0?直線與橢圓相切?有且只有一個公共點；③Δ＜0?直線與橢圓相離?無公共點．提醒：在解決直線與橢圓相交問題時，一