線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)第三章答案A卷一、填空題1、如果齊次線性方程組QUOTE有非零解，則解：由克萊姆法則可得解得QUOTE2、設(shè)線性方程組QUOTE有解，則a=-1解：QUOTE方程組有解3、線性方程組無(wú)解，則0解：A=方程組無(wú)解 4、若向量組線性相關(guān),則k=_1_______解：QUOTE線性相關(guān)=QUOTE1QUOTE2QUOTE(2-2k)=0QUOTEk=1 5、已知向量組與向量組=，=，=等價(jià)，則的秩3？解：，6、向量β=，在基下的坐標(biāo)為。解：設(shè)即= 二、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)A是m×n矩陣，則線性方程組AX=b有唯一解的充要條件是（C）.(A)R(A)=n(B)R(A)=m(C)R(A)=R(Ab)=n(D)m=n解：∵A為m×n矩陣，Ax=b，有唯一解∴秩()=秩(A)=n∴R(A)=R(Ab)=n，故選C2、設(shè)方程組,有無(wú)窮多解，則λ=（A）.(A)1(B)0(C)-1(D)非零常數(shù)解：∵方程組有無(wú)窮解∴可以直接看第三個(gè)方程(λ-1)x3=(λ+1)(λ-1)當(dāng)λ=1時(shí)，0x3=0，x3有無(wú)窮解，故選A3、設(shè)A是m×n矩陣，則方程組AX=0只有零解的充要條件是A的（A）.(A)列向量組線性無(wú)關(guān)(B)列向量組線性相關(guān)(C)行向量組線性無(wú)關(guān)(D)行向量組線性相關(guān)解：充分性：∵A是m×n矩陣，Ax=0有零解∴0∴A的列向量組線性無(wú)關(guān)必要性：∵A的列向量組線性無(wú)關(guān)∴0∴Ax=0只有零解，故選A4、向量組(s>1)線性相關(guān)的充要條件是其中(C).(A)含有零向量(B)有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例(C)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合(D)每一個(gè)向量是其余向量的線性組合解：充分性：(s>1)線性相關(guān)=0(不全為0)假設(shè)0，則=-(+k2++)∴至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合必要性(s>1)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合設(shè)=0，則不全為0線性相關(guān)，故選C5、向量空間為實(shí)數(shù)，則向量空間的維數(shù)是12346、設(shè)為齊次線性方程組的解，為非齊次線性方程組的解，則為的解為的解為的解為的解解：為的解又為的解三、計(jì)算題1、取何值時(shí)線性方程組有解？在有解的情況下求出一般解。解方程組有解同解方程組為：取2、當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？在方程組有解時(shí)，求出它的解。解：當(dāng)即且時(shí)，由克萊姆法則此方程有唯一解解得：當(dāng)時(shí)，此方程無(wú)解當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮解同解方程組為令3.求向量在基，=，=下的坐標(biāo)，并將用此基線性表示解： 基坐標(biāo)為-+4、設(shè)向量組=，=，=，=，求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組表示解：，，為極大無(wú)關(guān)組，=3++05、求線性方程組的通解。解：令=R=R=3<5方程組有無(wú)窮多解為自由變量，同解方程組為令得特解。相應(yīng)導(dǎo)出組方程的同解方程組為令。，方程組的通解為X=（）。6.設(shè)線性方程組=b有三個(gè)向量，，，又R(A)=3，若+=，=，求該方程組的通解，解：，，為AX=b的三個(gè)解向量AX=b的另一個(gè)解==，-=-是AX=0的一個(gè)非零解通解為+，k 四、證明題1、設(shè)A是n階方陣，已知線性方程組Ax=0有非零解，證明線性方程組A2x=0也有非零解證：線性方程組有非零解又線性方程組也有非零解得證2.設(shè)是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證：設(shè)即()+)+()=0的基礎(chǔ)解系線性無(wú)關(guān)為極大線性無(wú)關(guān)組得證3、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，證明它有唯一解的充要條件是它的導(dǎo)出組Ax=0只有零解證：充分性:有唯一解，由克萊姆法則得有唯一零解必要性:導(dǎo)出組只有零解得證4、設(shè)γ0為非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，η1，η2…ηγ，是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明γ0，η1，η2…ηγ線性無(wú)關(guān)。證：設(shè),,…使 …,…是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系式左乘，得又,…是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,…線性無(wú)關(guān)證得線性無(wú)關(guān)5、設(shè)，……，證明：向量組與等價(jià)解由題設(shè)知向量組、·····可由向量組、·····線性表示，顯然，=，=-，······=-，即向量組、·····可由、·····線性表示所以，向量組·····與向量組、·····等價(jià)6、已知向量組（I），（）,(=3\*ROMANIII),如果各向量組的秩分別為R(I)=3,R(=3\*ROMANIII)=4,證明，向量組的秩為4.證：設(shè)使得+++=0向量組的秩為3線性無(wú)關(guān)又的秩為4線性相關(guān)可以由線性表示且表示法唯一設(shè)=+++++=0又向量組的秩為4線性無(wú)關(guān)-線性無(wú)關(guān)。秩為4。線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)第三章答案B卷一、填空題1.齊次線性程的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣B0使，則，.解：，由題意得設(shè)令，，則2、設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為n-1，則線性方程組的通解為_(kāi)____.解：通解設(shè)，，A為n階矩陣僅有一個(gè)自由未知量，取為自由未知量令矩陣A的各行元素之和均為零3、設(shè)其中，，則矩陣A的秩R(A)=______.解：，4、若線性方程組有解，則常數(shù)應(yīng)滿足條件______.解：方程組有解5.設(shè)齊次線性方程組為則它的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為解：的系數(shù)矩陣的秩為1其基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為選擇題1.設(shè)是階矩陣，如果，則（C）（A）是任意一個(gè)行(列)向量都是其余各行(列)向量的線性組合（B）的各行向量中至少有一個(gè)為零向量（C）的各行(列)向量組中必有一個(gè)行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合（D）的行(列)向量組中必有兩個(gè)行(列)向量對(duì)應(yīng)元素成比例解析：，,矩陣線性相關(guān)根據(jù)定理3-5可知，向量組中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合，選C元線性方程組的增廣矩陣的秩小于，那么（D）有無(wú)窮多組解（B）有唯一解（C）無(wú)解（D）不確定解析：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多組解，選項(xiàng)A有可能對(duì)=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解，選項(xiàng)C有可能對(duì)的解不確定，選D設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由=1\*ROMANI線性表示，記向量組=2\*ROMANII，則（B）（A）不能由=1\*ROMANI線性表示，也不能由=2\*ROMANII線性表示（B）不能由=1\*ROMANI線性表示，但可由=2\*ROMANII線性表示（C）可由=1\*ROMANI線性表示，也可由=2\*ROMANII線性表示（D）可由=1\*ROMANI線性表示，但不可由=2\*ROMANII線性表示解析：向量可由向量組線性表示，可設(shè)使得，假設(shè)，則有，這與不能由相矛盾，，有不能由線性表示，但可由線性表示，即選B設(shè)元齊次線性方程組的通解為,則矩陣的秩為（B）（A）（B）（C）（D）以上都不對(duì)解析：由題可知，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為1，選B5.設(shè)矩陣的伴隨矩陣，若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A).(A)僅含一個(gè)非零解向量(B)含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(C)含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(D)不存在解析：證畢，，又有互不相等的解，有無(wú)窮多解，故由矩陣及其伴隨矩陣的秩的關(guān)系得，.的基礎(chǔ)解系僅含有一個(gè)非零解向量。三、求向量組的極大無(wú)關(guān)組解：為極大無(wú)關(guān)組解：為向量組的極大無(wú)關(guān)組四，求下列方程組的通解，用基礎(chǔ)解系表示.(1)解：，秩（A）=3<5，所以方程有無(wú)窮解同解方程組為：，分別令，得，，所以通解為=+，（，R）解：方程組有無(wú)窮多解為自由未知量同解方程組取自由未知量得特解相應(yīng)導(dǎo)出組的同解方程組取自由未知量基礎(chǔ)解系為通解為五．已知，，是互不相同的數(shù)，n維向量=（1，，，）(i=1,2,s),求向量組的秩。解:當(dāng)s=n時(shí)，互不相等0（范德蒙行列式）線性無(wú)關(guān)R=n當(dāng)s>n時(shí)，向量的個(gè)數(shù)大于維數(shù)線性相關(guān)，又線性無(wú)關(guān)是極大無(wú)關(guān)組R=n當(dāng)s<n時(shí)，為n個(gè)兩兩不相等的向量線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)R=s六、設(shè)是線性方程組AX=b的解，是其到出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，令，，，證明，，線性無(wú)關(guān)。解：,是其出組的基礎(chǔ)解系=0=0=0，，線性無(wú)關(guān)設(shè)使成立即即（+線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)。七、已知向量組=，=，=與=，=，=有相同的秩，且可由線性表示，求a，b的值。解：A==R(A)=2的秩也為2，b-=0b=又可以由表示= =0b=5a=15，，,：(1)a,b取何值時(shí)，能由唯一線性表示(2)a,b取何值時(shí)，不能由唯一線性表示(3)a,b取何值時(shí),能由唯一線性表示,且表示法唯一，并寫(xiě)出此時(shí)表達(dá)式。解