4．3．2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用題型三：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)題型四：遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用題型五：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和題型六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過(guò)程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有根據(jù)等比性質(zhì)，有所以當(dāng)時(shí)，或．（2）錯(cuò)位相減法等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，由得：所以或．即知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩馘e(cuò)位相減法是一種非常常見(jiàn)和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和問(wèn)題，要求理解并掌握此法．②在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，要注意區(qū)分和．③當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的兩個(gè)求和公式，共涉及、、、、五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程組，便可求出其余兩個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)二、等比數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫(xiě)成的形式，由此可見(jiàn)，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；（2）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)．2、與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫(xiě)成的形式，則是的一次函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)1、等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則．2、若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．3、若一個(gè)非常數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列．【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用題型三：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)題型四：遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用題型五：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和題型六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和【典型例題】題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算例1．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，且滿(mǎn)足上式，故，所以等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，又，則、、、…、構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為16的等比數(shù)列，故．故選：C例2．（2023·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列：，，，，…，，…的前n項(xiàng)和＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴．故選：A．例3．（2023·安徽合肥·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又由，可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：C.變式1．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，,，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和，，，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，則，解得.故選：A.變式2．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，則，顯然，所以，解得，又因?yàn)椋氲?，所以，故選：D.變式3．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得，所以.故選：A變式4．（2023·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．81 B．24 C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，則，又，則，所以，等比數(shù)列的公比，故.故選：C變式5．（2023·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，解得，，則有，得.故選：D【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧（1）在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：、、、、，其中首項(xiàng)和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答．（2）對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如，都可看作一個(gè)整體．（3）在解決與前項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比或進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類(lèi)討論．題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用例4．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)印紙按照幅面的基本面積，把幅面規(guī)格分為A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面規(guī)格為：，，，…，，所有規(guī)格的紙張的長(zhǎng)度（以表示）和幅寬（以y表示）的比例關(guān)系都為；將紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為規(guī)格；將紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為規(guī)格；…，如此對(duì)開(kāi)至規(guī)格．現(xiàn)有，，…，紙各一張，已知紙的幅寬為1m，則，，…，這8張紙的面積之和是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，可得的長(zhǎng)、寬分別為，1，的長(zhǎng)、寬分別為1，，的長(zhǎng)、寬分別為，，…，所以，，…，的面積是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，…，這8張紙的面積之和為.故選：C例5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中?？茧A段練習(xí)）“康托爾塵埃”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過(guò)程如下：在一個(gè)單位正方形中，首先，將正方形等分成9個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，保留靠角的4個(gè)小正方形，記4個(gè)小正方形面積之和為；然后，將剩余的4個(gè)小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個(gè)小正方形，記16個(gè)小正方形面積之和為；…；操作過(guò)程不斷進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，保留的圖形稱(chēng)為康托爾塵埃．若，則操作次數(shù)n的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是邊長(zhǎng)為的4個(gè)正方形的面積之和，故；是邊長(zhǎng)為的個(gè)正方形的面積之和，故；以此類(lèi)推得：從而，所以，函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，故最小值取3.故選：C例6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，有人說(shuō)，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度也是無(wú)限的增大，那么，試問(wèn)，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度真的是無(wú)限長(zhǎng)的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為，則（

）A．無(wú)限大 B．<3(3＋)mC．＝3(3＋)m D．可以取100m【答案】B【解析】依題意，從外到內(nèi)正方形的邊長(zhǎng)依次為，，，，顯然數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B變式6．（2023·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到紙板，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被減掉半圓的半徑）得到紙板，，，．記第塊紙板的面積為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意每次減掉的半圓的半徑分別為，構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以每次減掉的半圓的面積為，構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，而開(kāi)始時(shí)半圓的面積為，所以第塊紙板的面積為，故選：B.變式7．（2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，將正方形面積按作法次序排成一列得數(shù)列，，因?yàn)楹笠粋€(gè)正方形邊長(zhǎng)是相鄰前一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的，因此，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比，所以前10個(gè)正方形的面積之和.故選：A變式8．（2023·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，取正三角形各邊的中點(diǎn)，，，得到第二個(gè)正三角形，然后再取正三角形各邊的中點(diǎn)，，，得到第三個(gè)正三角形，依此方法一直進(jìn)行下去，則從第一個(gè)正三角形開(kāi)始，前10個(gè)正三角形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的面積為，，則可得數(shù)列，由已知為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以又，都為等邊三角形，所以，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，所以前10個(gè)正三角形的面積之和為，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】此類(lèi)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決，要注意步驟的規(guī)范性．題型三：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則.【答案】6【解析】設(shè)的公比為q，則，得，∴，即.故答案為：6.例8．（2023·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列{}中，若，則當(dāng)……取得最大值時(shí)，n=.【答案】6【解析】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，．故答案為：6例9．（2023·吉林·高二東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】/【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以，，因?yàn)椋覕?shù)列為等比數(shù)列，所以，，即，解得，故對(duì)任意的，，，由可得，可得，因?yàn)?，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故，因此，實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.變式9．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足：，.數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為.【答案】/【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，，解得，則，所以，，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椋实淖畲笾禐?因此，對(duì)任意的恒成立，所以，，故的最小值為.故答案為：.變式10．（2023·湖北·高二十堰一中校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，若，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】1【解析】由得：，兩式相減整理得，又當(dāng)時(shí)，，解得：，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，可知，則，即當(dāng)，時(shí)，取得最小值，，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，時(shí)，取最小值時(shí)，此時(shí).故答案為：1.變式11．（2023·山西忻州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)的公比為，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】處理等比數(shù)列前項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法（1）運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．（2）靈活運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)．題型四：遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例10．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；(2)如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？【解析】（1）設(shè)正方形ABCD面積為，后繼各正方形的面積依次為則=25，由于第k+1個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別是第k個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，所以，因此是以25為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.設(shè)的前n項(xiàng)和為，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得==，所以前10個(gè)正方形的面積之和為（2）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨近于所有正方形的面積和而=，隨著n的無(wú)限增大，將趨近于0，將趨近于50.所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50例11．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）某地出現(xiàn)了蟲(chóng)害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲(chóng)害指數(shù)”數(shù)列{In}，{In}表示第n周的蟲(chóng)害的嚴(yán)重程度，蟲(chóng)害指數(shù)越大，嚴(yán)重程度越高．為了治理害蟲(chóng)，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲(chóng)，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個(gè)策略之一：策略A：環(huán)境整治，“蟲(chóng)害指數(shù)”數(shù)列滿(mǎn)足：In+1＝n﹣．策略B：殺滅害蟲(chóng)，“蟲(chóng)害指數(shù)”數(shù)列滿(mǎn)足：In+1＝n﹣．當(dāng)某周“蟲(chóng)害指數(shù)”小于1時(shí)，危機(jī)就在這周解除．(1)設(shè)第一周的蟲(chóng)害指數(shù)Ⅰ1∈[0，8]，用哪一個(gè)策略將使第二周的蟲(chóng)害的嚴(yán)重程度更小？(2)設(shè)第一周的蟲(chóng)害指數(shù)Ⅰ1＝3，如果每周都采用最優(yōu)策略，蟲(chóng)害的危機(jī)最快將在第幾周解除？【解析】（1）策略A：，策略B：，當(dāng)，可得，當(dāng)時(shí)，兩者相等，當(dāng)時(shí)，用策略B將使第二周的蟲(chóng)害的嚴(yán)重程度更??；當(dāng)時(shí)，用策略A將使第二周的蟲(chóng)害的嚴(yán)重程度更小；（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，選擇策略B，所以當(dāng)時(shí)，選擇策略B，因?yàn)?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，，也即，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，正整數(shù)范圍內(nèi)解不等式，得所以蟲(chóng)害的危機(jī)最快在第9周解除．例12．（2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且每年年底賣(mài)出100頭牛，設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，….（參考數(shù)據(jù)：，，.）(1)寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；(2)將（1）中的遞推關(guān)系表示成的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求的值（精確到1）.【解析】（1）因?yàn)槟衬翀?chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且每年年底賣(mài)出100頭牛，所以，且.（2）將化成，因?yàn)樗员容^系數(shù)，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.所以.變式12．（2023·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬(wàn)元，到年底資金增長(zhǎng)50%.預(yù)計(jì)以后每年資金增長(zhǎng)率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金x萬(wàn)元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬(wàn)元.(1)用x表示，，并寫(xiě)出與的關(guān)系式；.(2)若企業(yè)希望經(jīng)過(guò)5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬(wàn)元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金x的值（精確到萬(wàn)元）.【解析】（1）由題意知，，，；（2）由(1)可得，，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元.故該企業(yè)每年年底扣除消費(fèi)資金為348萬(wàn)元時(shí)，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬(wàn)元.變式13．（2023·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個(gè)數(shù)開(kāi)始依次從左下方選出來(lái)的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來(lái)的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個(gè)數(shù)為.（Ⅰ）若，寫(xiě)出，，的表達(dá)式，并歸納出的表達(dá)式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.【解析】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯(cuò)位相減得.變式14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣(mài)出頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，，…(1)寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；(2)將（1）中的遞推公式表示成為的形式，其中，為常數(shù)；(3)求的值（精確到1）．【解析】（1）由題意知，并且．

①（2）將化為．

②比較①②的系數(shù)，可得，解這個(gè)方程組，得，所以，（1）中的遞推公式可以化為．（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則．所以．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論．題型五：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和例13．（2023·甘肅臨夏·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若的前n項(xiàng)和為，求.【解析】（1）因?yàn)椋?，其中，故是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故，所以；（2），所以①，故②，兩式相減得，，故.例14．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，設(shè)．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由，，可得，因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列．（2）由（1）可得：，即，所以．（3）由（2）可知：，則，可得，上面兩式相減可得：，所以．例15．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）證明：因?yàn)?，所?又，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為4，公比為2.（2）由（1）知，即，則.，，則，所以.變式15．（2023·甘肅慶陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，.數(shù)列滿(mǎn)足，且點(diǎn)在直線(xiàn)上.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)和；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求對(duì)所有的正整數(shù)都有成立的的范圍.【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得，整理得，即，可知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；數(shù)列滿(mǎn)足，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，可知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，則，①，②①②得，整理得.（3）由（1）可得：，則，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，即的最大值為.因?yàn)閷?duì)所有的正整數(shù)都有都成立，則，又因?yàn)?，可得恒成立，只需滿(mǎn)足即可.且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以的取值范圍為.變式16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．當(dāng)時(shí)，也符合，所以．（2）由（1）知．，，則，所以．變式17．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，，，兩式相減可得，即又，得，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.變式18．（2023·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，又，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，，，兩式相減得，，，又因?yàn)榈那绊?xiàng)和是，所以．【方法技巧與總結(jié)】錯(cuò)位相減法的適用范圍及注意事項(xiàng)（1）適用范圍：它主要適用于是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）注意事項(xiàng)：①利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫(xiě)出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意使兩式交錯(cuò)對(duì)齊，以便于作差，正確寫(xiě)出的表達(dá)式．②利用此法時(shí)要注意討論公比是否等于1的情況．題型六：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例16．（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學(xué)?？家荒＃┰茖撸欧Q(chēng)為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn)．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個(gè)數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則是以2為公比的等比數(shù)列，，，解得，所以，．故選：C．例17．（2023·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）某公司開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，今年用于該新項(xiàng)目的投入為10萬(wàn)元，計(jì)劃以后每年用于該新項(xiàng)目的投入都會(huì)在上一年的基礎(chǔ)上增加，若該公司計(jì)劃對(duì)該項(xiàng)目的總投入不超過(guò)250萬(wàn)元，則按計(jì)劃最多能連續(xù)投入的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．9年 B．10年 C．11年 D．12年【答案】A【解析】設(shè)該公司第年用于該新項(xiàng)目的投入為萬(wàn)元，則是首項(xiàng)為10，公比為的等比數(shù)列，從而，即，即，即．因?yàn)椋缘淖畲笾凳?.故選：A例18．（2023·高二單元測(cè)試）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，蒲生日自半”.其意為：今有蒲草第一日長(zhǎng)高3尺，以后蒲草每日長(zhǎng)高前一日的半數(shù)，則蒲草第5日的高度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由題意，蒲草每日增長(zhǎng)的高度成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數(shù)列前5項(xiàng)和，（尺），故選：D.變式19．（2023·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.變式20．（2023·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個(gè)熱氣球，在氣球上寫(xiě)著“9年耕耘，碩果累累”8個(gè)大字，已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經(jīng)過(guò)（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【解析】設(shè)表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由已知．所以前秒熱氣球上升的總高度，因?yàn)椋詳?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，又，，所以該氣球至少要經(jīng)過(guò)4分鐘才能上升到70高度，故選：B．變式21．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，測(cè)試它們一日可行的路程．已知第i（）匹馬的日行路程是第匹馬日行路程的倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（?。?/p>

）A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【答案】B【解析】，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為300，公比為，故這17匹馬的日行路程之和為（里）．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟（1）審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意．（2）建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)（數(shù)列）問(wèn)題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征．（3）求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解．（4）還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中．題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系例19．（2023·廣東珠?！じ叨y(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，易知該數(shù)列的公比為，則，即，解得.故選：C.例20．（2023·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，則，，則.故選：C例21．（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．時(shí)，，所以前的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，所以，所以．故選：D變式22．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和要滿(mǎn)足，又因?yàn)椋?故答案為：變式23．（2023·江蘇南通·高二?？计谥校┤羰堑缺葦?shù)列，且前項(xiàng)和為，則.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又是等比數(shù)列，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，此數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.故答案為：.變式24．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【解析】由，得.當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.當(dāng)時(shí)，，令，則，所以，，解得.故答案為：.變式25．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，由，可知，由，可得兩式相減可知，，即，因此時(shí)，，即（2）由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，，因此也適合，，故，故的前項(xiàng)和變式26．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．【解析】因?yàn)椋?，所以，所以．又因?yàn)?，所以．又由，知，所以，所以是等比?shù)列．因?yàn)?，所以．變?7．（2023·陜西西安·高二西安市第八十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（，是不等于0和1的常數(shù)），求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.【解析】必要性：若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則，即，故；充分性：若，即，且，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則；綜上所述：.∵，是不等于0和1的常數(shù)，則，∴，故數(shù)列為等比數(shù)列；綜上所述：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.變式28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí),即,又是等比數(shù)列,;數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.（2）由（1）知,,,即.變式29．（2023·全國(guó)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．證明：(1)數(shù)列為等比數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，在中，令，得①，又②，?lián)立①②，解得，因?yàn)椋?，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為2等比數(shù)列.（2）由（1）可知，則，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．【方法技巧與總結(jié)】與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫(xiě)成的形式，則是的一次函數(shù)．題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)例22．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【答案】12【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，而，于是，所以．法二：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，即.故答案為：12例23．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則．【答案】4【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，，，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等比數(shù)列，所以．故答案為：4例24．（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】156【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然.因?yàn)?，所以，所?法二：設(shè)，則.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以仍成等比數(shù)列.因?yàn)?，所以，所以，?故答案為：156變式30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則.【答案】28【解析】由數(shù)列是等比數(shù)列，且易知公比，所以也構(gòu)成等比數(shù)列，即構(gòu)成等比數(shù)列，從而可得，解得或，又，所以.故答案為：28變式31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝48，前2n項(xiàng)和S2n＝60，則前3n項(xiàng)和S3n＝.【答案】63【解析】法一：設(shè)公比為q，由已知易知q≠1，因?yàn)镾n＝48，S2n＝60，所以，解得，所以，故答案為：63法二：因?yàn)镾n，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，所以（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.故答案為：63變式32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則.【答案】600【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，，成等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：600【方法技巧與總結(jié)】若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和例25．（2023·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的公比，且，則.【答案】120【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，所以.故答案為：120例26．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)使得，則正整數(shù)m的取值集合為．【答案】/【解析】因?yàn)榱?，可得，所以，因?yàn)樗?，其中，變形得，因?yàn)椋?，又，則l可能為1，2，3當(dāng)時(shí)，，所以不成立，當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楣手挥?，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得，，故正整數(shù)m的取值集合為，故答案為：．例27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)中，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.變式33．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為．【答案】450【解析】在等比數(shù)列中，公比，則有，而，于是得，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．故答案為：450變式34．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，由，得，因?yàn)椋?，所以?故答案為：.變式35．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，即，所以，所以，，所以，即．?）因?yàn)?，所以，所以．變?6．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知非零數(shù)列滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由題意，且，且，所以，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為9，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，因?yàn)椋?，所?變式37．（2023·上海·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．【解析】（1）數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，而，即對(duì)任意，，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以的前n項(xiàng)和.變式38．（2023·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿(mǎn)足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）∵，，則，∴，兩式相除得：，當(dāng)時(shí)，，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴，即，綜上所述，的通項(xiàng)公式為：；（2）由題設(shè)及（1）可知：，【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，，得，所以，所以，所以．故選：．2．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為；第二次操作去掉兩個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為；第三次操作去掉四個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為；，第次操作去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為，于是進(jìn)行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長(zhǎng)度之和為，由題意知：，解得：，又為整數(shù)，可得的最小值為6，故選：A3．（2023·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=（

）A．192 B．190 C．180 D．182【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足上式，所以，設(shè)，則，所以.故選：B4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且．則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得②，①②得，即，又，得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.故選：C.5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因?yàn)椋?，，所以，所?又，得，所以.故選：A.方法二因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：A.6．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．32 D．或32【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知，則由得，則，所以，即；因?yàn)?，所以，所以，故選：C.7．（2023·重慶·高二重慶一中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，所以前項(xiàng)的和為，解得.故選：B8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，即恒成立，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：.二、多選題9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由，可得：所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，則，故.所以.則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、D正確.因?yàn)樗哉_．故選：BCD．10．（2023·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，②①②得，則，故是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，且，故A正確；又，故B正確；，故C錯(cuò)誤；由題中，，故D正確，故選：ABD.11．（2023·甘肅慶陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，在數(shù)列中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】CD【解析】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，即，又，則，所以，又，則，所以，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等都等于，偶數(shù)項(xiàng)也相等都等于，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，，即．因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，則，即．因?yàn)椋?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故D正確；故選：CD12．（2023·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)【答案】BC【解析】由，因此.又因?yàn)閯t.當(dāng)時(shí)，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.而，故，選項(xiàng)B正確.又因?yàn)闉閱握{(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則.因此的最大項(xiàng)為，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案為：BC.三、填空題13．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰诠葹榈牡缺葦?shù)列中，為其前項(xiàng)和，（），且，則．【答案】【解析】由，得，又，聯(lián)立可解得