5．2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能利用導(dǎo)數(shù)的定義，推導(dǎo)出幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；能說(shuō)出用定義法求導(dǎo)數(shù)的基本步驟，體會(huì)極限思想．（2）能直接使用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步解釋導(dǎo)數(shù)的意義，能描述求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一種借助極限的運(yùn)算，從而進(jìn)一步體會(huì)極限思想．（3）能通過(guò)具體實(shí)例直觀感受導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，通過(guò)實(shí)例解釋導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；會(huì)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，感受從具體到抽象的學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)特殊與一般的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（4）能通過(guò)具體實(shí)例解釋復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分析簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，能說(shuō)出復(fù)合過(guò)程中的自變量、因變量以及中間變量分別是什么；能說(shuō)出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，通過(guò)具體實(shí)例解釋復(fù)合函數(shù)的兩次求導(dǎo)過(guò)程和求導(dǎo)法則，會(huì)直接運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)一步體會(huì)特殊到一般的思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（1）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)函數(shù)，，，，，的導(dǎo)數(shù)公式．（2）會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表．（3）能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（限于形如的導(dǎo)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)01基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，這樣的形式．要點(diǎn)詮釋：1、常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點(diǎn)處的切線平行于x軸．2、有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的次冪的乘積，即（）．特別地，．3、正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)，即．4、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù)，即．5、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．6、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．有時(shí)也把記作：以上常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可．【即學(xué)即練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）；（3）.知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）要點(diǎn)詮釋：1、上述法則也可以簡(jiǎn)記為：（?。┖停ɑ虿睿┑膶?dǎo)數(shù)：，推廣：．（ⅱ）積的導(dǎo)數(shù)：，特別地：（c為常數(shù)）．（ⅲ）商的導(dǎo)數(shù)：，兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例，當(dāng)時(shí)，．這是一個(gè)函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．2、兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說(shuō)明（1）類比：，，注意差異，加以區(qū)分．（2）注意：且．3、求導(dǎo)運(yùn)算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡(jiǎn)（可能化去了商或積），然后進(jìn)行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量．【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.知識(shí)點(diǎn)03復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、復(fù)合函數(shù)的概念對(duì)于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復(fù)合函數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常把稱為“內(nèi)層”，稱為“外層”．2、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，，函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并且，或?qū)懽鳎?、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（1）分層：將復(fù)合函數(shù)分出內(nèi)層、外層．（2）各層求導(dǎo)：對(duì)內(nèi)層，外層分別求導(dǎo)．得到，（3）求積并回代：求出兩導(dǎo)數(shù)的積：，然后將，即可得到的導(dǎo)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：1、整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分層——求導(dǎo)——回代，熟練以后，可以省略中間過(guò)程．若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量．2、選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏．求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）令，因?yàn)?，所?（2）令，因?yàn)椋?（3）令，因?yàn)椋?（4）令，因?yàn)椋?（5）令，因?yàn)椋?（6）令，因?yàn)椋?題型一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用公式求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中：(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求余弦函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．【解析】因?yàn)椋?，所?變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1），.（2）.（3）.（4），.（5），.（6）.（7）.（8）.變式2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）（2），.（3）.（4）.變式3．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）由（2）由（3）由【方法技巧與總結(jié)】（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)．（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過(guò)恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．題型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4），.（5）.（6）.（7）.（8）.例5．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例6．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的策略（1）分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定所需的求導(dǎo)法則和基本公式．（2）如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開(kāi)變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．（3）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．題型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例8．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（4）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（5）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（6）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（7）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（8）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（9）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（10）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（11）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（12）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.例9．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）對(duì)于，中間變量為，則，所以.（2）對(duì)于，中間變量為，則，所以.（3）對(duì)于，中間變量為，則，所以.（4）對(duì)于，中間變量為，則，.變式4．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）函數(shù)可以看作與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有．（2）函數(shù)可以看作與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有．（3）函數(shù)可以看作與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有.【方法技巧與總結(jié)】（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔．題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例10．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則．【答案】4【解析】由題意知，令，則，，令，則，解得，所以.故答案為：4.例11．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，解得，所以，所以.故答案為：例12．（2023·山東淄博·高二校考階段練習(xí)）已知直線是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線，則.【答案】5【解析】由題可得，，因?yàn)橹本€是函數(shù)的切線，所以，解得，所以，所以切點(diǎn)為，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線上，所以，所以，故答案為:5.變式5．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則.【答案】/【解析】由題設(shè)，則.故答案為：變式6．（2023·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)）已知，則等于.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意得，令可得，解得.故答案為：.變式7．（2023·四川眉山·高二眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則.【答案】24【解析】因?yàn)椋?，所以，即，所以，所?故答案為：24【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法是利用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，再利用求導(dǎo)公式來(lái)求解即可．題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點(diǎn)處與過(guò)點(diǎn)處）例13．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)P為曲線上的點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的最小值及傾斜角的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴曲線在處的切線方程為，即；（2）由題意，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，∴曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的最小值為1，∴，又，∴，即傾斜角的取值范圍為.例14．（2023·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求下列直線的方程：(1)曲線在處的切線；(2)曲線過(guò)點(diǎn)的切線.【解析】（1），故曲線在處的切線斜率為，故在處的切線方程為，即（2）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋是€在處的切線方程為，化簡(jiǎn)可得，代入可得，即，解得或，代入切線方程可得或例15．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線；(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程.【解析】（1）由，可得，則，而，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，即.（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，則切線方程為，即，將代入，得，解得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則切線方程為，即.變式8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線是曲線的切線，求常數(shù)的值．【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，，又點(diǎn)在上，，則由得：，解得：或，或.變式9．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，及曲線在點(diǎn)處的切線的方程．【解析】因?yàn)?，所以，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.變式10．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.【解析】（1）由題意，故，所以，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）令所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又在切線上，故或，所以切線方程為或.變式11．（2023·黑龍江雙鴨山·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)直線為曲線的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）由，得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點(diǎn)為，由（1）得，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點(diǎn)為．變式12．（2023·陜西渭南·高二?？计谥校┮阎€方程(1)求以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程．【解析】（1）由求導(dǎo)得，則，所以以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，即，代入，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，所求直線方程為；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)，斜率為，所求直線方程為.所以過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程為和【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題的兩種情況①若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；②若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．（2）求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程的三個(gè)步驟題型六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題例16．（2023·北京·高二北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎本€是曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．（，1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1）【答案】B【解析】直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)的曲線的斜率為，所以在點(diǎn)的曲線的切線方程為，即，將代入上式得，所以切點(diǎn)為.故選：B例17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）曲線的傾斜角為的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知得：，切線的斜率．設(shè)切點(diǎn)為，則，可得，又，∴切點(diǎn)為.故選：A．例18．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知的切線斜率等于，則切點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】，則，由可得，因此，，，故所求切點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：B.變式13．（2023·北京·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)P（0，2）作曲線y＝的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1）【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn),,即切點(diǎn)故選：A變式14．（2023·北京·高二北京市八一中學(xué)校考期中）函數(shù)的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切點(diǎn)為，但不滿足方程，故舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切點(diǎn)為，滿足方程.故選：B變式15．（2023·河北承德·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，所以代入曲線得，故選A．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問(wèn)題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算．（2）結(jié)合圖象，利用公式計(jì)算求解，體現(xiàn)了直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型七：與切線有關(guān)的綜合問(wèn)題例19．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】1【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，可得切線的斜率為，①又，②聯(lián)立①②解得，．故答案為：1．例20．（2023·四川綿陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）若直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值為；【答案】【解析】由，可得，設(shè)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，即，又因?yàn)榍芯€為，所以，解得，所以，故答案為：.例21．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是.【答案】【解析】令，可得，令，即，解得，則，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為，要使得不等式對(duì)任意恒成立，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是.故答案為：.變式16．（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象與軸相切，則.【答案】【解析】由，可得，又函數(shù)的圖象與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得故答案為：變式17．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，則，因?yàn)辄c(diǎn)為直線與曲線的公共點(diǎn)，則，所以，，即，可得，故.故答案為：.變式18．（2023·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考期中）若直線與曲線相切，則.【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以方程的根為.故答案為：2變式19．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考一模）已知，為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在處的切線斜率為，則的最小值為．【答案】【解析】函數(shù)，所以因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線斜率為，所以，因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：．變式20．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┮阎瘮?shù)的圖象與直線相切，則.【答案】/【解析】由得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得．故答案為：．變式21．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考階段練習(xí)）已知曲線與曲線在處的切線互相垂直，則．【答案】【解析】對(duì)于，；對(duì)于，；由于兩條曲線在處的切線互相垂直，所以，，解得（負(fù)根舍去）.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點(diǎn)，若切點(diǎn)已知便直接使用，切點(diǎn)未知?jiǎng)t需先設(shè)再求．兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進(jìn)而成為解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條件．（2）在考慮函數(shù)問(wèn)題時(shí)首先要找到函數(shù)的定義域．在解出自變量的值或范圍時(shí)也要驗(yàn)證其是否在定義域內(nèi)．題型八：切線平行、垂直問(wèn)題例22．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，故，由于點(diǎn)處的切線與直線平行，且直線的斜率為，所以，故選：C例23．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)在處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為，且切線與直線平行，則有，可得.故選：B例24．（2023·廣東揭陽(yáng)·高二揭陽(yáng)第一中學(xué)?？计谥校┮阎€在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以該曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.由，得，所以該曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.因?yàn)閮汕芯€平行，所以.故選：D.變式22．（2023·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象在，兩點(diǎn)處的切線的位置關(guān)系為（

）．A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【解析】由題意知，當(dāng)≤0時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，所以兩直線相交且垂直故選：B變式23．（2023·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期末）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率等于3，所以直線的斜率等于，即，解得，故選:D.變式24．（2023·黑龍江·高二校聯(lián)考期中）曲線在處的切線與直線垂直，則的值為（

）A．1 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】令，則，依題意，即，解得；故選：B變式25．（2023·河南·高二統(tǒng)考期中）已知方程的兩實(shí)根為，，若函數(shù)在與處的切線相互垂直，滿足條件的的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，，依題知，即.∵，，∴，∴.解得，，即，，經(jīng)檢驗(yàn)每個(gè)值都符合題意，故滿足條件的有4個(gè).故選D【方法技巧與總結(jié)】切線平行可得斜率相等，切線垂直可得斜率之積為．題型九：最值問(wèn)題例25．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，直線．若A，B分別是曲線和直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【答案】【解析】，設(shè)在點(diǎn)處的切線與平行，即斜率為2，所以，解得，則在點(diǎn)處的切線方程為，即則與的距離即為的最小值，即，故的最小值為.故答案為：例26．（2023·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在直線上，則A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值是．【答案】【解析】由題意可得，令得所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的圖象如下圖：要使得A，B兩點(diǎn)之間距離最小，即直線與平行時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，與的距離即為A，B兩點(diǎn)之間最小的距離，令，解得．由，所以直線的方程為，即則與的距離的距離，則A，B兩點(diǎn)之間的最短距離是．故答案為：．例27．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在直線(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上，則PQ長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)Q為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，即，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故答案為：.變式26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為【答案】【解析】的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，解得，則，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值即為切點(diǎn)到直線的距離，即為.故答案為：變式27．（2023·江蘇南京·高二南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t的最小值為.【答案】【解析】，，則表示曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方，令得，所以曲線在的切線方程為，所以曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的最小值即為直線與之間的距離，即,.故答案為：變式28．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)與直線平行的切線為，則的斜率為，由，得，所以切點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離就是的最小值，即.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線距離題型十：公切線問(wèn)題例28．（2023·江蘇南通·高二?？计谥校┣€與在公共點(diǎn)處有相同的切線，則.【答案】【解析】設(shè)、，則、，設(shè)與的公共點(diǎn)為，與在公共點(diǎn)處有相同的切線，，即，則，則，所以，，所以．故答案為：．例29．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】5【解析】由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點(diǎn)，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故答案為：5．例30．（2023·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┤糁本€l與曲線、曲線都相切，則直線l的方程為.【答案】或【解析】由得，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：，即；由得，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：．所以，且，消去得，故或，所以直線l的方程為：或．故答案為：或.變式29．（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，則.【答案】【解析】因?yàn)?，，則，，設(shè)公切線與相切于，與相切于，則，，解得，，所以，，所以切線方程為，即，又在切線上，所以，所以.故答案為：變式30．（2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若一直線與曲線和曲線相切于同一點(diǎn)，則的值為.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)，則由，得，由，得，則解得.故答案為：e.變式31．（2023·四川成都·高二期末）一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為.【答案】2【解析】因?yàn)椋?，則在點(diǎn)處的切線方程為：，即；在點(diǎn)處的切線方程為：，即，由已知，則，解得，又，所以，所以，故答案為：.變式32．（2023·廣東汕頭·高二統(tǒng)考期末）已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為.【答案】2【解析】設(shè)是圖像上的一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時(shí)①為，，不符合題意，舍去），所以，此時(shí)①可化為，所以.故答案為：變式33．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為．【答案】或【解析】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．代入得或.故答案為：或.一、單選題1．（2023·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以，，所以，.故選：C.2．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故選：A3．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）我們把分子?分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型.兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.如：，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題意得，故選：B4．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)且，則.故選：A5．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，令，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：D6．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，則，又，直線過(guò)，則直線方程為，即，令，得，即直線不受參數(shù)的影響，恒過(guò)定點(diǎn).故選：A.7．（2023·安徽·高二校考期中）拋物線與的兩條公切線（同時(shí)與兩條曲線相切的直線叫做兩曲線的公切線）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線與拋物線相切的切點(diǎn)為，與拋物線相切的切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得：，由求導(dǎo)得：，則拋物線在點(diǎn)處切線為，即，拋物線在點(diǎn)處切線為，即，依題意，，解得，因此兩條公切線方程分別為，，由，解得，所以兩條公切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C8．（2023·福建·高二校聯(lián)考期中）曲線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳角，且該點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】由，得，曲線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳角，，即，解得：．又切點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，，0，1．該曲線上這樣的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：C．二、多選題9．（2023·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，，，即，故A正確；，，，故B正確；，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD10．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：，A正確；B選項(xiàng)：，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D正確.故選：AD.11．（2023·廣西南寧·高二南寧二中?？计谀┤酎c(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的可能取值為（

）A． B． C．1 D．【答案】ACD【解析】由題意，要使的最小，為平行于的直線與的切點(diǎn)，令，可得，故切點(diǎn)為，以為切點(diǎn)平行于的切線為，此時(shí)有，則的可能取值為，1，.故選：ACD12．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為R，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)B．若為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)D．若為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，所以有，即，整理可得，所以為奇函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，，所以，所以為偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，，所以，所以為奇函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離.【答案】/【解析】，令，解得（舍去），又，可得與直線平行且與曲線相切的直線的切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的最短距離為.故答案為：.14．（2023·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谥校┣€在點(diǎn)處切線的斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程.【答案】【解析】