例說等比數(shù)列題型

【例1】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么數(shù)列{an}．[]A．是等比數(shù)列B．當(dāng)p≠0時(shí)是等比數(shù)列C．當(dāng)p≠0，p≠1時(shí)是等比數(shù)列D．不是等比數(shù)列分析由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D．說明數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要條件是an≠0(n∈N*)，還要注【例2】已知等比數(shù)列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比數(shù)列，公比q∴2＝1·q2n+1x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3∴a4＝2【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，求證明設(shè)這n＋2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．證法一∵a、b、c、d成等比數(shù)列∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左邊=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右邊證畢．證法二∵a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則：b＝aq，c＝aq2，d=aq3∴左邊＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右邊證畢．說明這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目．證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子．證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的．證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性．【例6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．∴{an＋1}是等比數(shù)列∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1∴{an+1－an}是等比數(shù)列，即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，這些等式相加，即可以得到說明解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列，即化生疏為已知．(1)中發(fā)現(xiàn){an＋1}是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn){an+1－an}是等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一種體現(xiàn)．證∵a1、a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)∴上述方程的判別式Δ≥0，即又∵a1、a2、a3為實(shí)數(shù)因而a1、a2、a3成等比數(shù)列∴a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比．【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a＋1、b、c與a、b、c＋2都成等比數(shù)列，求b的值．解設(shè)a、b、c分別為b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d與b－d、b、b＋d＋2都成等比數(shù)列，有整理，得∴b＋d=2b－2d即b=3d代入①，得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之，得d=4或d=0(舍)∴b=12【例9】已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1與d的值；(2)b16是不是{an}中的項(xiàng)？思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程(2)∵b16=b1·d15=－32b1∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k項(xiàng)，則－32a1=a1＋(k－1)d∴(k－1)d=－33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34項(xiàng)．解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1＋(n－1)d解這個(gè)方程組，得∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2∴當(dāng)a1=－1，d=2時(shí)，an=a1＋(n－1)d=2n－3當(dāng)a1=3，d=2時(shí)，an=a1＋(n－1)d=5－2n【例11】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)．解法一按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a，aq，aq2由已知：a，aq＋4，aq2成等差數(shù)列即：2(aq＋4)=a＋aq2 ①a，aq＋4，aq2＋32成等比數(shù)列即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)解法二按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為b－d，b－4，b＋d由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)b－d，b，b＋d＋32成等比數(shù)列即b2=(b－d)(b＋d＋32)解法三任意設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比數(shù)列a1，a2＋4，a3成等差數(shù)列得：2(a2＋4)=a1＋a3 ②a1，a2＋4，a3＋32成等比數(shù)列得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) ③說明將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為a－d，a，a＋d；將三個(gè)成簡化計(jì)算過程的作用．【例12】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，則第四個(gè)數(shù)由已知條方法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2b－bq．方法三設(shè)第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)分別為x，y，則第三、第四個(gè)數(shù)依次為12－y，16－x．由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求的四個(gè)數(shù)，所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)為：2b－bq所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x，y，12－y，16－x．這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別得到85，76，84．求這兩個(gè)數(shù)列．解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126∴b=42這三個(gè)數(shù)可寫成42－d，42，42＋d．再設(shè)另三個(gè)數(shù)為a，aq，aq2．由題設(shè)，得解這個(gè)方程組，得a1=17或a2=68當(dāng)a=17時(shí)，q=2，d=－26從而得到：成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)為17，34，68，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為68，42，16；或者成等比的三個(gè)數(shù)為68，34，17，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為17，42，67．【例14】已知在數(shù)列{an}中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列．證明由已知，有2a2=a1＋a3 ①即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)所以a1、a3、a5成等比數(shù)列．【例15】已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列．(2)設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列．證明(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知條件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0∴l(xiāng)ogmx＋logmz=2l