第3節(jié)

等腰三角形第3課時(shí)

等腰三角形中作輔助線的四種常用方法

第十五章

軸對(duì)稱圖形與等腰三角形1234561．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：DE＝DF；(2)若∠A＝90°，圖中與DE相等的有哪些線段？(不說明理由)1方法作“三線”中的“一線”（1）證明：連接AD.∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.返回（2）解：若∠BAC＝90°，圖中與DE相等的有線段AE、AF、BE、CF、DF.2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)(點(diǎn)P與A，B不重合)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與邊BC相交于點(diǎn)D. (1)求證：PD＝QD；2方法作平行線法(2)過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，當(dāng)P，Q在移動(dòng)的過程中，線段BE，DE，CD中是否存在長度保持不變的線段？請(qǐng)說明理由．（1）證明：如圖，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∵∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.(2)解：ED的長度保持不變．理由如下：由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝

BC，∴ED的長度保持不變．返回3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．3方法截長補(bǔ)短法

解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，∴AD是線段BE的垂直平分線，∴AB＝AE.∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC.∴AE＝EC.故設(shè)∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x.∴∠B＝2x.∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，則∠C＝20°.返回4．如圖，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC＝AB＋CD.

證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD.∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.返回5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.4方法加倍折半法

證明：如圖，延長CE到點(diǎn)F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.∵CE是△ABC的中線，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中線，∴AB＝BD.∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝AB，∴BF＝BD.在△CBF與△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.返回6．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD.求證：BD＝2CE.

證明：延長BA交CE的延長線于點(diǎn)M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE.∴EM＝EC＝12MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC.