7.5正態(tài)分布A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4),則()A.μ=3,D(X)=7B.μ=6,D(X)=7C.μ=3,D(X)=7D.μ=6,D(X)=7解析:因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(μ,7),P(X<2)=P(X>4),所以μ=3,D(X)=7.答案:C2.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,σ2),若P(X>2)=0.2,則P(X≥0)=()A.0.5B.0.6C.0.7 D.0.8解析:因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(1,σ2),所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=1.又因?yàn)镻(X>2)=0.2,所以P(X<0)=0.2,所以P(X≥0)=1-0.2=0.8.故選D.答案:D3.多選題甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正態(tài)曲線如圖所示,A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于平均值附近解析:由題中圖象可知,甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kg,乙類水果的平均質(zhì)量μ2=0.8kg,故選項(xiàng)A,C都正確;因?yàn)棣以叫?曲線越“瘦高”,表示隨機(jī)變量的分布越集中,故選項(xiàng)B正確,選項(xiàng)D不正確.故選ABC.答案:ABC4.(2021·新高考全國Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是()A.σ越小,該物理量在一次測量中在區(qū)間(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小,該物理量在一次測量中落在區(qū)間(9.9,10.2)內(nèi)與落在區(qū)間(10,10.3)內(nèi)的概率相等解析:對(duì)于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結(jié)果落在區(qū)間(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確;對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性知,該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性知,該物理一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在區(qū)間(9.9,10.0)內(nèi)的概率與落在區(qū)間(10.2,10.3)內(nèi)的概率不相等,所以一次測量結(jié)果落在區(qū)間(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在區(qū)間(10,10.3)內(nèi)的概率不相等,故D錯(cuò)誤.故選D.答案:D5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則P(0<X<2)=()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.6解析:因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),所以μ=2,即正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線x=2.因?yàn)镻(X<4)=0.8,所以P(X≥4)=P(X≤0)=1-P(X<4)=0.2,所以P(0<X<4)=1-P(X≥4)-P(X≤0)=0.6,所以P(0<X<2)=P(0<X<答案:B6.(2022·新高考全國Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=0.14.解析:因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),所以P(2<X≤2.5)+P(X>2.5)=0.5,所以P(X>2.5)=0.5-0.36=0.14.7.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),且P(X≤1)=0.8413,求P(-1≤X≤0).解:因?yàn)閄~N(0,1),P(X≤1)=0.8413,所以P(X>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(X<-1)=0.1587,所以P(-1≤X≤0)=0.5-0.1587=0.3413.B級(jí)能力提升8.已知X~N(1,σ2),若P(-1<X<1)=a,則P(X≥3)=()A.12-aB.1-a C.aD.12解析:由題意,知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱.因?yàn)镻(-1<X<1)=a,所以P(1<X<3)=a,所以P(-1<X<3)=2a,P(X≥3)=1-2a答案:A9.多選題某廠生產(chǎn)了一批紅外線自動(dòng)測溫門,其測量體溫誤差服從正態(tài)分布,設(shè)X表示其體溫誤差,且X~N(0.2,0.32),則下列結(jié)論正確的是()(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%)A.E(X)=0.2,D(X)=0.3B.P(X≥0.2)=0.5C.P(X>0.5)=0.15865D.P(X<-0.4)=0.02275解析:依題意X~N(0.2,0.32),所以μ=0.2,σ2=0.32,即E(X)=0.2,D(X)=0.32,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于μ=0.2,所以P(X≥0.2)=0.5,故B選項(xiàng)正確.由于μ=0.2,σ=0.3,所以P(X>0.5)=1-0.68272=0.由于μ=0.2,σ=0.3,P(X<-0.4)=1-0.95452=0.故選BCD.答案:BCD10.(2023·佛山二模)某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚的某項(xiàng)指標(biāo)為X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚,記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù),則E(Y)=1.解析:由題意,X~N(800,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=800對(duì)稱,所以P(X<800)=0.5,因?yàn)镻(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由題意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新11.多空題為了解高三復(fù)習(xí)備考情況,某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100,17.52).已知成績在117.5分以上的學(xué)生有64人,則此次參加考試的學(xué)生成績低于82.5分的概率為0.16;如果成績在135分以上的為特別優(yōu)秀,那么本次考試數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約有10人.(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)解析:由題意,知P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=1-P(μ-σP(X>117.5)=P(X>μ+σ)=1≈1-0.682因?yàn)槌煽冊?17.5分以上的學(xué)生有64人,所以參加此次階段考試的高三考生總?cè)藬?shù)約有640.16=400(因?yàn)镻(X>135)=P(X>μ+2σ)=1≈1-0.95所以本次考試數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約有400×0.025=10(人).12.一投資者要在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè),這兩個(gè)投資方案的利潤(單位:萬元)分別為X,Y,且X,Y分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(