2016年上海市高中數學競賽試

題及答案

2016年上海市高中數學競賽試題及答案

一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題

7分'后Q小題每小題8分）

1?已知函數小）=3+板+，0，均為常數），函

cwa,b,c

數工G）的圖象與函數（）的圖象關于、.軸對稱，函

數;（）的圖象與函數?。┑膱D象關于直線尸|對

稱,2則函數Q）的解析'式為.

答案.2

口木?f（x）=-ax2-}-hx-c+2.

2

解在函數廣心的表達式中用，代替J得

y—jw—xx

Q―，在函數~G）的表達式中用f代替

11

y'1尋/G）=-am+bx-c+2.

2

2?復數滿足，墳=3z”2在復平面上對應的動點

1

zrr一Z2

所表示曲線的普通方程是

答案：心+”=1.

25

解設”+，則+/i

z=a+bi,w=x+yi。2+匕2=1

2

x+yi=sG+Z?/)-y-Y-=3GZ+/?Z)2-《------.............V

\aVbir(a+4A(a—-力

2

=3G+/2/)-2(a-bi>=Q一〃2)+10QZ?,.

從而，于是￥()

x=-/?2y=1Qab尤2+=ci2-b2+4。2。2=1.

25

3.關于的方程arctan28-arctan2-v=，的解

x—

6

是

答-

x=log2/

解因為tan(arctan2')-tanGrctan2-*)=2x.2-x=l，所以

cc兀arctanK9則

arctan2工+arctan2-A-=_，解得t2v-，2-A=

T36

2.r=6x=10g

2

4?紅、藍、綠、白四顆骰子，每顆骰子的六個面

上的數字為,則同時擲這四顆骰子使得四

123,4,5,6

顆骰子向上的數的乘積等于36，共有

種可能.

答案：48.

解四顆骰子乘積等于36,共有四種情形：

(1)L兩個6,這種情形共°=6種可能；

(2)^4*2,兩個3,這種情形共；=6種可能；

(3)3,一個1,一個4,這種+青形C2C―2

共

42

種可能；

(4),1236各一個，這種情形共八24種可能?

綜上，共有6+6+12+24=48種可能?

9

5?已知函數/G)=cosGtx),g(x)=若存在

丁-[°』]，使小"(Q成立,則實數0的取值范圍

為

答案門心門］

解易知XE［O,1］時，f(x)葉一1,11只需求a的取值范圍，

使得g(x)能取到［-1,1］中的值.

(1)當a>0時，g(x)單調遞增，因為g(x)>一;,故只

需g(0),1解得0<af.

(2)當a<0時，g(x)單調遞減，因為g(x)《；，故只

需g(O)之一「解得一/工a<o.

6-如圖，有16間小三角形的房間，甲、乙兩人

被隨機地分別安置在不同的任角形房間，那么

他們在不相鄰(指沒有公共邊)房間的概率是

(用分數表示).

圖1.2第6題圖1圖1.3:第6題圖2

合祭E

20

解法一如圖1,將小三角形房間分為三類：與

第一類（紅色）房間相鄰的房子恰有一間，與第

二類（綠色）房間相鄰的房間恰有兩間，與第三

類（白色）房間相鄰的房間恰有三間，從而滿足

條件的安置方法共有3x（16-2）+6x（16-3）+7X（16-4）=204

種.從而所求概率為

16x1520,

解法二我們從反面考慮問題，如圖2,每一對

相鄰房間對應著一條黃色的鄰邊，故所求概率為

18x2=1_3J

>16x1520=20,

7?在空間，四個不共線的向量以。8"8,它們兩

（JA,Un,（7C,OU

兩的夾角都是小貝J的大小是

答案："arccoJ.

3

圖1.4:第7題圖

解如圖，ABO為正四面體，角a即為48,設一

分別為和的的中點，則AE=DEQ=8,則中心。在

9上，從而。為44山的垂心，

EH11

sinZODE=sinNEAH=----=_=cosZDOH=-.

所以，…一r33

arccos-.

3

8.日如n/n,1，貝/的取值范圍

O劉a>01>0,43+加=1a+b

為___________.

答案：(1阿

解注意到0<必<3位，及

一4

1=。3+Z?3=(a+/?)C/2-a。+。2)=(。+

我們有L(a+b>/<(a+仆，所以1<a+h<^4.

4

二、解答題(本題滿分60分,每小題15分)

如圖，已知五邊形A/,?！眱冉佑谶呴L為1的正

a4c1Dy9

五邊形A88E?求證：五邊形A8CDE中至少有一條

11111

邊的長度不小于cd

圖1.5:第9題圖

證設EAMAB,BB,BC,CC,CD,DD,DE.EE、的長分別為

‘」‘貝丁11111

a,a,b,b,c,c,d,cl,e,e,

1212121212

(Q+a)+(/?+8)+(c+c)+(d+d)+(e+e)

=(〃+e)+(a+〃)+(〃+c)+(c+d)+(d+e)=5.

22

由平均數原理；';z\y中必有一個

a+cijh+b,c+c,d+d.,e+e

122121

大于產不妨設;則此時

a+a-?>1-?2。

3兀221271

AE2=a2+a2-2aaCOS；>a2+(1-a1+2a(1-a)cos

11

\2、12Z15

(2兀、(

=2|1-cos_JQ2-21—COS2—2|1—COS_I+1

。1a

~5)1~5)1

(2TTY1V1(2兀、

~21-COScIIa~n\+_11+cos_

(5人I，2(司

U2。兀

>—I1+COS—l=COS2—.

215允5

所以,AENCOS;命題得證?

一5

1°?設和是素數，且，求的

P，q>■p\qr-\,q\rp-J\,r\pq-Apqr

所有可能的值.

解由題設可得“Gi)07T),因為

Qr-1)(/p-1Xpq-1)=p2q2r2-pqr(p+q+r)+pq+qr+rp-1,

所以，p“|pq+”+rp-1.于是竺"竺=LL+U為正

pqrpqrpqr

整數.

記%=1+1+L_L，注意到PMR22，則k<3從而%=1.

pqrpqr2

由對稱性，不妨設

p<q<r.

若PN3,則d+3l,矛盾，故p=2.

pqr

若，則，12,矛盾.

q>3t/25&=—十—<1

25

若，貝!I11門1、，也矛盾.故

q=2%+?+"司〉1…

最后，由1111，得「=5.

23r6r

綜上，

pqr=30.

1L已知數列｛"滿足遞推關系.=」"1GCN.,求

所有%的值，使｛.｝為單調數列，即｛"為遞增數列

或遞■數列."

解由11得，3，中，令，則

a+3?+1a——a+3h=3〃。

"+12n3〃“+12nnn

,3763|\6、

b=__人+3n〃=b~-[,

〃+12〃n+152\n5)

從而，6(6Y3>->則

n5I15人2J

h1「6/6Y3A

a=n=_|_+3a__II__I

〃573?|[5Ii5A2JI]

;也「?2/72、LjlY

十一ii」-」+im

l2)⑶3)II5〃l相

若2,注意到I2?<1，叫“n>1+logI2］時，與

-5I3|玄'5)

“2同號，但［11正負交替，從而正負交替，｛｝

*5［司""""

不為單調數列.

當2時，2ml為遞減數列.

a=_a=_|_|

15n5⑶

綜上，當且僅當.2時，1｝為單調數列.

w——kcl)

15〃

12.已知等邊三角形的邊長為5,延長至點

ABCBA

p，使得IM-9,0是線段8c上一點(包括端點)?直

線與