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文檔簡介
2016年上海市高中數學競賽試
題及答案
2016年上海市高中數學競賽試題及答案
一、填空題(本題滿分60分,前4小題每小題
7分'后Q小題每小題8分)
1?已知函數小)=3+板+,0,均為常數),函
cwa,b,c
數工G)的圖象與函數()的圖象關于、.軸對稱,函
數;()的圖象與函數?。┑膱D象關于直線尸|對
稱,2則函數Q)的解析'式為.
答案.2
口木?f(x)=-ax2-}-hx-c+2.
2
解在函數廣心的表達式中用,代替J得
y—jw—xx
Q―,在函數~G)的表達式中用f代替
11
y'1尋/G)=-am+bx-c+2.
2
2?復數滿足,墳=3z”2在復平面上對應的動點
1
zrr一Z2
所表示曲線的普通方程是
答案:心+”=1.
25
解設”+,則+/i
z=a+bi,w=x+yi。2+匕2=1
2
x+yi=sG+Z?/)-y-Y-=3GZ+/?Z)2-《------.............V
\aVbir(a+4A(a—-力
2
=3G+/2/)-2(a-bi>=Q一〃2)+10QZ?,.
從而,于是¥()
x=-/?2y=1Qab尤2+=ci2-b2+4。2。2=1.
25
3.關于的方程arctan28-arctan2-v=,的解
x—
6
是
答-
x=log2/
解因為tan(arctan2')-tanGrctan2-*)=2x.2-x=l,所以
cc兀arctanK9則
arctan2工+arctan2-A-=_,解得t2v-,2-A=
T36
2.r=6x=10g
2
4?紅、藍、綠、白四顆骰子,每顆骰子的六個面
上的數字為,則同時擲這四顆骰子使得四
123,4,5,6
顆骰子向上的數的乘積等于36,共有
種可能.
答案:48.
解四顆骰子乘積等于36,共有四種情形:
(1)L兩個6,這種情形共°=6種可能;
(2)^4*2,兩個3,這種情形共;=6種可能;
(3)3,一個1,一個4,這種+青形C2C―2
共
42
種可能;
(4),1236各一個,這種情形共八24種可能?
綜上,共有6+6+12+24=48種可能?
9
5?已知函數/G)=cosGtx),g(x)=若存在
丁-[°』],使小"(Q成立,則實數0的取值范圍
為
答案門心門]
解易知XE[O,1]時,f(x)葉一1,11只需求a的取值范圍,
使得g(x)能取到[-1,1]中的值.
(1)當a>0時,g(x)單調遞增,因為g(x)>一;,故只
需g(0),1解得0<af.
(2)當a<0時,g(x)單調遞減,因為g(x)《;,故只
需g(O)之一「解得一/工a<o.
6-如圖,有16間小三角形的房間,甲、乙兩人
被隨機地分別安置在不同的任角形房間,那么
他們在不相鄰(指沒有公共邊)房間的概率是
(用分數表示).
圖1.2第6題圖1圖1.3:第6題圖2
合祭E
20
解法一如圖1,將小三角形房間分為三類:與
第一類(紅色)房間相鄰的房子恰有一間,與第
二類(綠色)房間相鄰的房間恰有兩間,與第三
類(白色)房間相鄰的房間恰有三間,從而滿足
條件的安置方法共有3x(16-2)+6x(16-3)+7X(16-4)=204
種.從而所求概率為
16x1520,
解法二我們從反面考慮問題,如圖2,每一對
相鄰房間對應著一條黃色的鄰邊,故所求概率為
18x2=1_3J
>16x1520=20,
7?在空間,四個不共線的向量以。8"8,它們兩
(JA,Un,(7C,OU
兩的夾角都是小貝J的大小是
答案:"arccoJ.
3
圖1.4:第7題圖
解如圖,ABO為正四面體,角a即為48,設一
分別為和的的中點,則AE=DEQ=8,則中心。在
9上,從而。為44山的垂心,
EH11
sinZODE=sinNEAH=----=_=cosZDOH=-.
所以,…一r33
arccos-.
3
8.日如n/n,1,貝/的取值范圍
O劉a>01>0,43+加=1a+b
為___________.
答案:(1阿
解注意到0<必<3位,及
一4
1=。3+Z?3=(a+/?)C/2-a。+。2)=(。+
我們有L(a+b>/<(a+仆,所以1<a+h<^4.
4
二、解答題(本題滿分60分,每小題15分)
如圖,已知五邊形A/,?!眱冉佑谶呴L為1的正
a4c1Dy9
五邊形A88E?求證:五邊形A8CDE中至少有一條
11111
邊的長度不小于cd
圖1.5:第9題圖
證設EAMAB,BB,BC,CC,CD,DD,DE.EE、的長分別為
‘」‘貝丁11111
a,a,b,b,c,c,d,cl,e,e,
1212121212
(Q+a)+(/?+8)+(c+c)+(d+d)+(e+e)
=(〃+e)+(a+〃)+(〃+c)+(c+d)+(d+e)=5.
22
由平均數原理;';z\y中必有一個
a+cijh+b,c+c,d+d.,e+e
122121
大于產不妨設;則此時
a+a-?>1-?2。
3兀221271
AE2=a2+a2-2aaCOS;>a2+(1-a1+2a(1-a)cos
11
\2、12Z15
(2兀、(
=2|1-cos_JQ2-21—COS2—2|1—COS_I+1
。1a
~5)1~5)1
(2TTY1V1(2兀、
~21-COScIIa~n\+_11+cos_
(5人I,2(司
U2。兀
>—I1+COS—l=COS2—.
215允5
所以,AENCOS;命題得證?
一5
1°?設和是素數,且,求的
P,q>■p\qr-\,q\rp-J\,r\pq-Apqr
所有可能的值.
解由題設可得“Gi)07T),因為
Qr-1)(/p-1Xpq-1)=p2q2r2-pqr(p+q+r)+pq+qr+rp-1,
所以,p“|pq+”+rp-1.于是竺"竺=LL+U為正
pqrpqrpqr
整數.
記%=1+1+L_L,注意到PMR22,則k<3從而%=1.
pqrpqr2
由對稱性,不妨設
p<q<r.
若PN3,則d+3l,矛盾,故p=2.
pqr
若,則,12,矛盾.
q>3t/25&=—十—<1
25
若,貝!I11門1、,也矛盾.故
q=2%+?+"司〉1…
最后,由1111,得「=5.
23r6r
綜上,
pqr=30.
1L已知數列{"滿足遞推關系.=」"1GCN.,求
所有%的值,使{.}為單調數列,即{"為遞增數列
或遞■數列."
解由11得,3,中,令,則
a+3?+1a——a+3h=3〃。
"+12n3〃“+12nnn
,3763|\6、
b=__人+3n〃=b~-[,
〃+12〃n+152\n5)
從而,6(6Y3>->則
n5I15人2J
h1「6/6Y3A
a=n=_|_+3a__II__I
〃573?|[5Ii5A2JI]
;也「?2/72、LjlY
十一ii」-」+im
l2)⑶3)II5〃l相
若2,注意到I2?<1,叫“n>1+logI2]時,與
-5I3|玄'5)
“2同號,但[11正負交替,從而正負交替,{}
*5[司""""
不為單調數列.
當2時,2ml為遞減數列.
a=_a=_|_|
15n5⑶
綜上,當且僅當.2時,1}為單調數列.
w——kcl)
15〃
12.已知等邊三角形的邊長為5,延長至點
ABCBA
p,使得IM-9,0是線段8c上一點(包括端點)?直
線與
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