試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2023-2024學(xué)年上海市延安中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．在正方體中，，則直線到平面的距離為．【答案】2【分析】根據(jù)已知先得出平面.然后求出點(diǎn)到平面的距離，即可得出答案.【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，.又平面，平面，所以，平面.所以，點(diǎn)A到平面的距離，即等于直線到平面的距離.又平面，所以點(diǎn)A到平面的距離即為.所以，直線到平面的距離為2.

故答案為：2.2．圓錐的母線長為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的高為．【答案】【分析】直接根據(jù)圓錐的圖形特點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】由已知得該圓錐的高為.故答案為：.3．已知圓柱的底面半徑為2，高為2，則該圓柱的側(cè)面積是．【答案】【分析】圓柱的側(cè)面展開為矩形，求出矩形的長和寬，得到側(cè)面積.【詳解】圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一條邊長為圓柱底面周長，即，另一邊長為2，故圓柱的側(cè)面面積為.故答案為：4．如圖為正六棱柱，與直線異面的側(cè)棱共有條．

【答案】4【分析】分別寫出與平行的側(cè)棱，以及相交的側(cè)棱，即可得出答案.【詳解】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)結(jié)合圖象可得，側(cè)棱中，沒有與平行的直線；與相交的有，共2條.又正六棱柱的側(cè)棱，共有6條，所以，與直線異面的側(cè)棱共有條.故答案為：4.5．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為．【答案】【分析】在正方體中顯然有面，找到為線面角，進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】連接,在正方體中，面,是直線與平面所成角；為棱的中點(diǎn)，.故答案為：.6．設(shè)，由，，，…，為質(zhì)數(shù)，歸納猜想為質(zhì)數(shù)．該猜想．（選填“正確”或“錯(cuò)誤”）【答案】錯(cuò)誤【分析】舉出反例即可.【詳解】，，所以121不是質(zhì)數(shù)，所以該猜想錯(cuò)誤.故答案為：錯(cuò)誤7．長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且，，，則球的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)已知求出長方體的體對(duì)角線的長，即可得出外接球的半徑，進(jìn)而根據(jù)球的表面積公式得出答案.【詳解】因?yàn)?，長方體外接球的直徑即等于長方體的體對(duì)角線，且，所以，，所以，，所以，外接球的半徑，表面積為.故答案為：.8．如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則乘積．【答案】【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算即可得答案.【詳解】,則，所以故答案為：9．正多面體各個(gè)面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體．如圖，正二十面體是由個(gè)等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=，則正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)正二十面體的結(jié)構(gòu)特征，利用條件列出方程求解即可.【詳解】由于正二十面體是由個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，所以面數(shù)為，并且每個(gè)頂點(diǎn)處有條棱，設(shè)正二十面體共有個(gè)頂點(diǎn)，則棱數(shù)為，由題意可得，解得.則正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為故答案為：.10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.三角垛的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，從第二層開始，每層球數(shù)與上一層球數(shù)之差依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)有60個(gè)籃球，把它們堆放成一個(gè)三角垛，那么剩余籃球的個(gè)數(shù)最少為.

【答案】【分析】設(shè)第層有和球，根據(jù)題意求出和，再根據(jù)和可得答案.【詳解】設(shè)第層有和球，則，，，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，故，所以這層三角垛的球數(shù)之和為，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，剩余球數(shù)為個(gè)，當(dāng)時(shí)，，所以剩余球數(shù)的最小值為個(gè).故答案為：.11．如圖，在透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜角度的不同，有下列四個(gè)說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形的面積不改變；③棱始終與水面平行；④當(dāng)時(shí)，是定值．其中正確說法是．【答案】①③④【詳解】隨著傾斜度的不同，水面四邊形的面積改變，但水的部分始終呈棱柱狀，且棱平面，∵棱，∴平面，∵體積是定值，高為定值，則底面積為定值，則底面積為定值，即為定值，綜上①③④正確．12．若正方體的棱長為3，P是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)是以P為球心，半徑為1的動(dòng)球在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過區(qū)域的全體，則的體積為.【答案】【分析】由空間想象得到為棱長為5的正方體，去掉中心處棱長為1的正方體，各角去掉正方體減去一個(gè)頂點(diǎn)為球心半徑為1的球后余下部分，各棱處去掉長方體減去一條高為軸，1為底面半徑的圓柱后的部分，再結(jié)合正方體、球體、圓柱的體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，動(dòng)球在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過區(qū)域可看作棱長為5的正方體，先去掉中心處棱長為1的正方體，8個(gè)角處去掉：棱長為1的正方體減去一個(gè)頂點(diǎn)為球心半徑為1的球后剩余部分，12條棱處去掉：底面邊長為1，高為3的棱柱減去一條高為3，底面半徑為1的圓柱后剩余部分，綜上，的體積為.故答案為：二、單選題13．若，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則下列命題中不正確的是A．，，則B．，，則C．，，則D．，與，所成的角相等，則【答案】D【解析】根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定定理判定即可.【詳解】解：對(duì)于A.由，，則由直線與平面垂直的判定定理得，故A正確；對(duì)于B.由，，則由直線與平面垂直的判定定理得，故B正確；對(duì)于C.由，，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；對(duì)于D.由，與，所成的角相等，則與相交、平行或異面，故D不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵：（1）證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入得出，先說明為等差數(shù)列.進(jìn)而由已知可得出，代入求解即可得出答案.【詳解】令，則為常數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為.由已知對(duì)任意的恒成立，可知有，即，解得.故選：A.15．如圖所示，一個(gè)燈籠由一根提竿PQ和一個(gè)圓柱組成，提竿平行于圓柱的底面，在圓柱上下底面圓周上分別有兩點(diǎn)A、B，AB與圓柱的底面不垂直，則在圓柱繞著其旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的過程中，直線PQ與直線AB垂直的次數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】作出與垂直的平面后判斷幾何關(guān)系【詳解】作出平面，使得平面，當(dāng)時(shí)，平面或平面，結(jié)合旋轉(zhuǎn)分析可知有兩次使得．故選：A16．如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)M，N，設(shè)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①四邊形一定為菱形；②若四邊形的面積為，，則有最大值；③若四棱錐的體積為，，則為常值函數(shù).其中正確結(jié)論有多少個(gè)?（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得出四邊形為平行四邊形.進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理證明，即可得出①；根據(jù)①的結(jié)論，得出四邊形的面積，只需考慮即可，觀察圖形，即可判斷②；將四棱錐分割為三棱錐與三棱錐，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判斷定理，以及線面平行的性質(zhì)，即可得出三棱錐的高為常數(shù)，即可得出③.【詳解】對(duì)于①，如圖1，連接.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以?同理可得，.所以，四邊形為平行四邊形.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，平面，又平面，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以，平?又平面，所以.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以四邊形為菱形，故①正確；對(duì)于②，由①知，四邊形為菱形，所以，四邊形的面積為.因?yàn)闉槎ㄖ担援?dāng)最大時(shí)，面積最大.由圖可知，當(dāng)或，即點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，有最大值，此時(shí)或.所以，當(dāng)，沒有最大值，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖2，連接，則四棱錐被分割為三棱錐與三棱錐.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，平面，又平面，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以，平面，所以，點(diǎn)到平面，即平面的距離等于.因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又，所以點(diǎn)到平面的距離即等于點(diǎn)到平面的距離.同理可得，點(diǎn)到平面的距離也等于.所以，到平面的距離之和為常數(shù).又的面積為一個(gè)常數(shù)，所以，三棱錐與三棱錐的體積均為常數(shù)，即四棱錐的體積一個(gè)常數(shù)，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不規(guī)則多面體的體積時(shí)，常采用分割的方法.將不規(guī)則多面體分割為若干個(gè)規(guī)則的多面體，逐個(gè)求解.三、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，M為PC中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接.由已知推得，即可根據(jù)線面平行的判定定理得出證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出以及平面的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可得出答案.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，平面，平面，所以，平?（2）

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?，，所以，?18．如圖，圓錐的頂點(diǎn)是S，底面中心為O，P為AS的中點(diǎn)，Q是半圓弧的中點(diǎn)，且，．

(1)求異面直線與所成角的正切值；(2)在該圓錐側(cè)面上，求從P到Q的最短路徑的長度．【答案】(1)2(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，根據(jù)向量求解得出夾角的余弦值.然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可得出答案；（2）將圓錐沿剪開得到扇形，根據(jù)已知得出扇形的有關(guān)量，結(jié)合已知在中，根據(jù)余弦定理求解，即可得出答案.【詳解】（1）連接，由已知可得.由已知可得，，，.如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，所以，.設(shè)異面直線與所成角為，則，，所以，.

（2）

如圖2，將圓錐沿剪開得到扇形，則圖中即為所求最小值.由已知可得，該扇形的半徑即等于圓錐的母線，弧長即等于原圓錐底面圓的周長，所以，扇形的圓心角為.又Q是半圓弧的中點(diǎn)，所以.則在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，,所以，從P到Q的最短路徑的長度為.19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，．(1)求證：平面；(2)試在棱PB上確定一點(diǎn)，使截面把該幾何體分成的兩部分與的體積比為；(3)H是PB中點(diǎn)，求二面角大小的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)(3)【分析】（1）根據(jù)已知可得，，進(jìn)而即可根據(jù)線面垂直的判定定理得出證明；（2）過點(diǎn)作，證明四邊形是平行四邊形.進(jìn)而求出梯形的各個(gè)邊長以及面積，得出四棱錐的體積，進(jìn)而得出三棱錐的體積為.過點(diǎn)作，求出的面積，即可得出，即可得出點(diǎn)位置；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，求出平面以及平面的法向量，根據(jù)向量求解即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以?又，，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，，所以，平?（2）因?yàn)?，所?過點(diǎn)作，則.又，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因?yàn)椋?，，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，.所以，梯形的面積為，四棱錐的體積.由已知與的體積比為，所以，三棱錐的體積為.過點(diǎn)作，則，且是三棱錐的高，因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?，，，所以，三棱錐的體積為，所以，，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn).（3）如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.因?yàn)榈酌?，所以即為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，可得為平面的一個(gè)法向量.所以，.由圖象可知，二面角為銳角，所以二面角大小的余弦值為.20．定義：若無窮數(shù)列滿足是公比為q的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.設(shè)數(shù)列中，，.（1）若，且數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，請(qǐng)判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，n，使得？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的正整數(shù)m，n；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是，理由見解析；（3）存在，，.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系得到的遞推關(guān)系，再利用構(gòu)造等比數(shù)列法求解得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合數(shù)列的定義進(jìn)行判斷；（3）結(jié)合定義，推導(dǎo)得出結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，且?shù)列為“數(shù)列”，所以，即，所以是