單開鏈中運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)的矩陣表示

通過(guò)對(duì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的深入研究，我們發(fā)現(xiàn)聯(lián)合機(jī)器人具有高貴、低能耗、剛性、負(fù)載能力強(qiáng)、傳輸簡(jiǎn)單、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，并且易于控制。因此，國(guó)內(nèi)外科學(xué)家對(duì)空間聯(lián)合機(jī)器人感興趣，正在研究其新機(jī)型、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)態(tài)特征，并將它們應(yīng)用到實(shí)際應(yīng)用中。聯(lián)合機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究主要包括布局、速度和加速度的分析。傳統(tǒng)的過(guò)程是通過(guò)各種方法建立了機(jī)構(gòu)位置方程，并通過(guò)迫害來(lái)獲得機(jī)構(gòu)的速度和加速度。然而，一般來(lái)說(shuō)，聯(lián)合機(jī)構(gòu)的位置很難直接理解，因此很難獲得一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。影響系數(shù)法只彌補(bǔ)了其不足。影響系數(shù)法不需要任何操作流程。它與體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（如速度和加速度）無(wú)關(guān)，而是與體的大小、體的類型和位置有關(guān)，即體的形狀。它僅包含向量或向量的交叉操作，計(jì)算簡(jiǎn)單，因此在機(jī)構(gòu)分析中具有廣闊的應(yīng)用前景。筆者在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上將運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)法在并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析中的應(yīng)用系統(tǒng)化,利用本文所得的結(jié)論,可進(jìn)行各種并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)及特殊位形等的分析.1單鏈訪問(wèn)鏈soc的影響系數(shù)1.1運(yùn)動(dòng)速度及參數(shù)如圖1所示,按坐標(biāo)系前置方法建立各連桿坐標(biāo)系,Zi沿運(yùn)動(dòng)副軸線方向,其單位矢量用Si表示;Xi沿相鄰兩軸線公法線方向,單位矢量用ai表示;相鄰公法線間沿Si的偏距用di表示;公法線長(zhǎng)度用ai表示;扭向角用αi表示;轉(zhuǎn)角用θi表示.對(duì)單自由度運(yùn)動(dòng)副,di和θi中只有一個(gè)是變量,另一個(gè)是常量.固定坐標(biāo)系XYZ的Z軸取S1方向,XY平面垂直于S1方向.桿件i的絕對(duì)角速度ωi可寫成其中˙θθ˙n是繞轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線Sn的相對(duì)角速度.若將式(1)寫成式中Gi?稱為桿i的一階轉(zhuǎn)動(dòng)影響系數(shù),˙??˙稱為廣義速度矢量,第n個(gè)分量為˙?n?˙n,可以是˙θnθ˙n或˙SS˙n,這決定于第n個(gè)運(yùn)動(dòng)副是轉(zhuǎn)動(dòng)副還是移運(yùn)動(dòng)副.綜合式(1)、式(2),得描述構(gòu)件的速度特性除了用ωi以外,還需在構(gòu)件上任選一參考點(diǎn)P,得出其線速度vP.假設(shè)在桿件i上任選一點(diǎn)P,則P點(diǎn)對(duì)固定坐標(biāo)系的矢徑為Ρ=d1S1+i∑r=2(a(r-1)a(r-1)+drSr)+ΤiΡ(i)(4)其中Ti為連桿坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系方向之間的轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣,P(i)為P點(diǎn)對(duì)連桿坐標(biāo)系的矢徑.將式(4)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得P點(diǎn)的速度由固聯(lián)于動(dòng)坐標(biāo)系上的矢量r,其導(dǎo)數(shù)有關(guān)系式=ω×r,則式(5)又可寫成其中i∑r=n+1(a(r-1)a(r-1)+drSr)+ΤiΡ(i)=Ρ-RnRn表示第n動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)對(duì)固定坐標(biāo)系的矢徑.于是式(6)變成vΡ=i∑n=1[˙dnSn+˙θnSn×(Ρ-Rn)](7)把vP寫成vΡ=GΡ?˙?(8)式中GP?即為一階移動(dòng)影響系數(shù),綜合式(7)、式(8),得[GΡ?]n={Sn×(Ρ-Rn)n≤i?n為R副Snn≤i?n為Ρ副(?9?)0n＞i定義桿件i的運(yùn)動(dòng)速度矢量VH={ωivp}T,綜合式(3)及式(9),得VΗ={ωivΡ}Τ=[Gi?GΡ?]Τ˙?(10)或VΗ=GΗ?˙?(11)顯然,GH?=[Gi?GP?]T一般情況下GH?為非奇異,于是有˙?=[GΗ?]-1VΗ(12)1.2階移動(dòng)影響系數(shù)對(duì)式(2)微分就可得到構(gòu)件i的角加速度εi=ddt(Gi?)˙?+Gi????(13)由式(3)得ddt([Gi?]n)={˙Snn≤i,n為R副0其他情況(14)因?yàn)楱BSn可寫成˙Sn=˙?1?Sn??1+˙?2?Sn??2+?+˙?n?Sn??n=˙?Τ[?Sn??1?Sn??2??Sn??n]Τ所以式(13)可寫成εi=˙?Τ[?S1??1?S2??1??Sn??10?S2??2??Sn??200?00??Sn??n]n×n˙?+Gi????(15)記上式中n×n矩陣為Hi??,即稱桿i的二階轉(zhuǎn)動(dòng)影響系數(shù),且有較簡(jiǎn)單的形式如下:[Ηi??]mn={Sm×Snm＜n?m、n為R副0其他情況(16)至于二階移動(dòng)影響系數(shù),可直接對(duì)式(9)微分,并仿照角加速度的分析過(guò)程,最后得到二階移動(dòng)影響系數(shù)也有其簡(jiǎn)單形式:[ΗΡ??]mn={Sm×[Sn×(Ρ-Rn)]m≤n≤jm、n為R副Sn×[Sm×(Ρ-Rm)]n＜m≤jm、n為R副Sm×Snm≤n≤jm為R副?n為Ρ副Sn×Smn＜m≤jm為Ρ副?n為R副0其他情況(17)桿件i上任選點(diǎn)P的加速度aP也可寫成aΡ=˙?ΤΗΡ??˙?+GΡ????(18)定義桿件i的加速度矢量為AH={εiaP}T,綜合式(15)、式(18),AH可表示為AΗ={εiaΡ}=˙?ΤΗΗ??˙?+GΗ????(19)其中HH??=[Hi??HP??]T若給定桿件i的加速度矢量AH,可反求各主運(yùn)動(dòng)副的加速度,即???=[GΗ?]-1(AΗ-˙?ΤΗΗ??˙?)(20)從上述一階、二階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)的形式,明顯可知,只要某一時(shí)刻的機(jī)構(gòu)位置已知,就可直接寫出與之對(duì)應(yīng)的一階、二階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù),進(jìn)而分析其速度和加速度.2執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)分析并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)與單開鏈(SOC)機(jī)構(gòu)有著較為密切的聯(lián)系,并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以看成是多個(gè)單開鏈的末端連接到同一個(gè)執(zhí)行器上,因此它的運(yùn)動(dòng)分析可仿照單開鏈(SOC)機(jī)構(gòu)的分析方法,不失一般性,若并聯(lián)機(jī)構(gòu)有6個(gè)分支,每個(gè)分支為6個(gè)回轉(zhuǎn)副的6自由度機(jī)構(gòu),其運(yùn)動(dòng)分析過(guò)程如下.2.1主動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程當(dāng)已知上平臺(tái)運(yùn)動(dòng),各分支中運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)可以按式(12)寫出˙?(r)=[GΗ?]-1(r)VΗr=1,2,?,6(21)式中r表示分支序號(hào).建立在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)分支上的矩陣GΗ?,與單開鏈(SOC)機(jī)構(gòu)的式(11)有相同的形式,稱擬影響系數(shù)矩陣.從上式中將6個(gè)主動(dòng)運(yùn)動(dòng)的方程分別取出,形如˙?(r)α=[GΗ?]-1(r)αVΗ式中˙?(r)α的上角標(biāo)表示分支序號(hào),下角標(biāo)表示輸入角速度所在分支中運(yùn)動(dòng)副的序號(hào);表達(dá)式[GΗ?]-1(r)α表示第r分支的逆陣[GΗ?]-1的第α行.將6個(gè)主動(dòng)運(yùn)動(dòng)的線性方程組合成一個(gè)矩陣表達(dá)式,形如˙q=GqΗVΗ(22)式中q是獨(dú)立的廣義坐標(biāo);˙q是含6個(gè)輸入角速度的列矢,稱廣義速度.式(22)的逆解為VΗ=GΗq˙q(23)其中GΗq=[GqΗ]-1,稱對(duì)廣義坐標(biāo)的一階影響系數(shù)矩陣.式(23)成立的條件是GqΗ為非奇異陣.若把式(23)代入式(21),還可得到每一分支中各運(yùn)動(dòng)副速度與廣義速度的關(guān)系˙?(r)=[GΗ?]-1(r)GΗq˙q=[g?q](r)˙q(24)顯然[g?q](r)=[GΗ?]-1(r)GΗqr=1,2,…,6(25)2.2階影響系數(shù)矩陣法對(duì)于并聯(lián)多支路機(jī)構(gòu),當(dāng)已知上平臺(tái)運(yùn)動(dòng),任何一分支皆有形如式(20)的關(guān)系,可以寫得???(r)=[GΗ?]-1(r){AΗ-˙?Τ(r)[ΗΗ??](r)˙?(r)}r=1,2,?,6(26)當(dāng)6個(gè)輸入主動(dòng)副的相對(duì)加速度已知,可將表示已知的輸入加速度的解析式單獨(dú)地分別寫出,形如???(r)α=[GΗ?]-1(r)α{AΗ-˙?Τ(r)[ΗΗ??](r)˙?(r)}(27)式中???(r)α表示第r分支上第α個(gè)主動(dòng)副的相對(duì)角加速度,將行陣[GΗ?]-1(r)α乘進(jìn)矩陣[HH??](r)之內(nèi),并由式(24)的關(guān)系,將式(27)化簡(jiǎn)并歸并為一個(gè)矩陣表達(dá)式??q=GqΗAΗ-[˙qΤ[L1](1)˙q˙qΤ[L1](2)˙q?˙qΤ[L1](6)˙q](28)式中??q是廣義輸入角加速度,矩陣[L1](r)為[L1](r)=[g?q]Τ(r)[{[GΗ?]-1α}ΤΗΗ??](r)[gq?](r)r=1,2,?,6(29)式中{[GΗ?]-1α}ΤΗΗ??表示以六維列矢{[GΗ?]-1α}Τ乘矩陣HΗ??的每一元素構(gòu)成的矩陣.將式(28)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為??q=GqΗAΗ-˙qΤΜ˙q(30)[Μ]mn={[L1](1)mn[L1](2)mn?[L1](6)mn}Τ當(dāng)已知輸入角加速度,求平臺(tái)加速度時(shí)AΗ=GΗ