一相關性的定義第11講向量組的線性相關性

相關性的判別｛

定理判別幾個特殊定理三一個結論定義判別1精選課件向量組之間的線性關系向量組

B

能由向量組

A線性表示向量組

A

與向量組

B等價向量

b

能由向量組

A線性表示2精選課件向量b

能否由向量組

A：a1,a2,…,am線性表示判斷

R(A,

b)與R(A)

是否相等

R(A)

R(A,

b)〔2〕b不能由向量組A線性表示〔1〕b可由向量組A:a1，a2，，am線性表示，且表示式唯一

b

可由向量組A:a1，a2，

，am線性表示，且表示式不唯一R(A)=R(A,

b)<mR(A)=R(A,

b)=m3精選課件例3給定向量組:

及向量問：k為何值時，(1)

b能由α1,α2,α3線性表示?解02-113134k500k-2-401-13102-1(A)~A(2)

b不能由α1,α2,α3線性表示?，b不能由α1，α2

，α3線性表示。（2）當k=2時，，b能由α1，α2，α3線性表示。（1）當k2時，4精選課件一相關性的定義第11講向量組的線性相關性

相關性的判別｛

定理判別幾個特殊定理三一個結論定義判別5精選課件一、相關性的定義向量組A：a1,a2,…,am線性相關：P87定義4

k1a1+k2a2

+…+kmam=O如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得否那么稱它是線性無關的．注：向量組a1，a2，

，am線性相關存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2

+…+kmam=O向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示6精選課件注：向量組a1，a2，

，am線性相關向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示P87證明設向量組a1，a2，

，am線性相關那么存在k1，k2，，km不全為0使得k1a1

k2a2

kmam

o不妨假設那么k1a1=-k2a2-

-kmama1=-a2-

-

am7精選課件注：向量組a1，a2，

，am線性相關向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示P87證明向量組有一個向量(不妨假設為am)能由其余向量線性表示那么存在k1，，km-1，使得因此:向量組a1，a2，

，am線性相關8精選課件一、相關性的定義等式成立當且僅當k1=k2=…=km=0向量組A：a1,a2,…,am線性相關：P87定義4

k1a1+k2a2

+…+kmam=O如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得否則稱它是線性無關的．例：向量組A:

線性相關=O例：向量組B:

線性無關9精選課件一、相關性的定義注:1.對于任一向量組，不是線性無關就是線性相關.3.向量組含有兩個向量時：相關對應分量成比例P87等式成立當且僅當k1=k2=…=km=0向量組A：a1,a2,…,am線性相關：P87定義4

k1a1+k2a2

+…+kmam=O如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得否則稱它是線性無關的．2、向量組只包含一個向量時，例:向量組A:10精選課件注：4、向量組a1，a2，

，am線性相關向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示4‘向量組a1，a2，

，am線性無關向量組中任一個向量不能由其余向量線性表示P8711精選課件1、定義2、定理——判定定理3、幾種特殊的判定定理k1a1+k2a2

+…+kmam=O二、相關性的判定向量組A：a1,a2,…,am12精選課件例

設線性無關證明也是線性無關的。a1，a2，a31、定義判別證明：設有一組實數(shù)使得那么因為線性無關a1，a2，a3故線性無關。P89例613精選課件例2

設證明線性相關證明：設有一組實數(shù)使得取故：向量組

b1，b2，b3

線性相關可以不全為零14精選課件例

判斷向量組A是否線性相關解：設有一組實數(shù)使得問題轉化為齊次方程組是否有非零解？A=〔a1,a2,a3〕是由向量組構造的矩陣15精選課件定理1向量組構成的矩陣的秩<向量個數(shù)向量組A:

線性相關a1，a2，

，amR(A)<m2、定理判別Ax=0有非0解P88定理4相關無關Ax=0只有零解向量組A:

線性無關a1，a2，

，amR(A)=m定理216精選課件特別地，假設向量組構成的矩陣A為方陣向量組A

:線性相關2、定理判定向量組A

:線性無關17精選課件解2-13-11-15111124~0-5-50330-9-9124~011000000124例1判斷向量組是否線性相關向量組

a1，a2，a3

線性相關向量組對應的矩陣為向量個數(shù)3R(A)<(=)向量個數(shù)18精選課件例3試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關．19精選課件例4向量組線性相關,求k值解:線性相關k2222k2k2A為方陣20精選課件3、幾種特殊的判定定理〔1〕向量組含有零向量相關〔2)向量組里有兩個向量成比例相關〔3〕局部相關整體相關〔4〕整體無關局部無關〔5〕向量的維數(shù)<向量的個數(shù)相關n+1個n維向量一定線性相關P90定理521精選課件結論假設向量組