數(shù)列通項(xiàng)公式的常用求法

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是考試的熱點(diǎn)問題，等差、等比數(shù)列可直接利用其通項(xiàng)公式求解，但有些數(shù)列是以遞推關(guān)系給出的，需要構(gòu)造新數(shù)列轉(zhuǎn)為等差或等比數(shù)列，再利用公式求解例1.分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．一、觀察法例2.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，······，則第十層有（

）個(gè)球．

A．12 B．20

C．55 D．110解析由題意知：故選：C.

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng)．使用觀察法時(shí)要注意：

①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號的變化，如果符號正負(fù)相間，則符號可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)節(jié)．

②分式形式的數(shù)列，分子和分母分別找通項(xiàng)，并充分借助分子和分母的關(guān)系來解決．③對于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決．此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為等差、等比或其他特殊數(shù)列)等方法來解決．方法總結(jié)練習(xí).大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【提示】分奇偶項(xiàng)考慮.對點(diǎn)練習(xí)二、利用an與Sn的關(guān)系解析∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，∴a1＝S1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3，故an＝Sn－Sn－1＝2n－3，當(dāng)n＝1時(shí)，an＝2n－3也成立，故?n∈N*，an＝2n－3.例3.(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，那么它的通項(xiàng)公式為an＝________.已知Sn求an已知an與Sn的關(guān)系求an(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，則a100＝(

)A．297B．298 C．299D．2100解析：當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋1＝Sn

①，

可得an＝Sn－1

②，兩式相減得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝S1＝a1＝2，故數(shù)列{an}是從第2項(xiàng)開始的，公比是2的等比數(shù)列，所以，所以a100＝299.故選C.(3)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是(

)BCD又a1＝－1不符合上式，方法總結(jié)拓展：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝__________.解析因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，兩式相減得(2n－1)an＝2，又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，類似已知Sn求an，作差法求通項(xiàng).解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝14，對點(diǎn)練習(xí)三、公式法例4.(1)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣2

，且a1=1，求an。(2)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an，且a1=2，求an。由遞推式an+1=an+d(d為常數(shù))或an+1=qan(q為常數(shù))知相應(yīng)數(shù)列為等差或等比數(shù)列，可直接利用其通項(xiàng)公式求解.an=﹣2n+3an=2n﹣2變?yōu)閚，該如何求？﹣2變?yōu)?，該如何求？方法總結(jié)∴{an}是等差數(shù)列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),則an=_______.解:n=m=1時(shí)，a2=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1時(shí),由an+am=an+m

得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，則bn=_______.解：n=m=1時(shí)，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1時(shí),由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首項(xiàng)為b1=2，公比為q=2的等比數(shù)列，bn=2·2n-1=2n

2n

對點(diǎn)練習(xí)四、累加法例4.(1)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣2

，且a1=1，求an。例5.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+n

，且a1=1，求an。解析：

因?yàn)閍n+1=an+n，所以an+1-an=n,a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，……an－an－1＝

n－1(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝1+2+3+…+n－1，因此所以

(n≥2)，且a1＝1也適合，形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，可構(gòu)造：把以上各式累加法，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2).方法總結(jié)練習(xí).在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝3n－22，a1＝－2，則a30＝(

)A．659B．661C．663D．665解析因?yàn)閍n＋1－an＝3n－22，所以a2－a1＝－19，a3－a2＝－16，…，a30－a29＝65，所以a30－a1＝＝667，故a30＝a1＋667＝665.對點(diǎn)練習(xí)五、累乘法例4.(2)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an，且a1=3，求an。例6.數(shù)列{an}中，,求數(shù)列的通項(xiàng)an。形如

的數(shù)列，可構(gòu)造再把所得的(n－1)個(gè)等式相乘，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．即利用

(n≥2).方法總結(jié)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則a6＝________.對點(diǎn)練習(xí)

1.若數(shù)列

{an}

滿足

a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),則數(shù)列{an}

的通項(xiàng)

an=

.

2.若數(shù)列

{an}

滿足

a1=1,a1·a2·a3·…·an=n2

(n≥2),則數(shù)列{an}

的通項(xiàng)

an=

.和式用減法積式用除法延伸練習(xí)

此處兩法與前面的累加法、累乘法，可稱為逆向思維求通項(xiàng)．

對于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)列，可通過對遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一個(gè)新的等比或等差數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為前面已解決的幾種情形來處理。

六、構(gòu)造法例7.(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝______.解析設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.例7.(2)已知數(shù)列{an}中，求通項(xiàng)公式an

。例7.(3)已知數(shù)列{an}中，求通項(xiàng)公式an

。解析方法總結(jié)(4)已知數(shù)列{an}中a1=1，,求an.解：兩邊取倒數(shù)得：所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.倒數(shù)法方法總結(jié)1.已知數(shù)列{an}滿足,求數(shù)列通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列{an}滿足,求數(shù)列通項(xiàng)公式。3.已知數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列通項(xiàng)公式。4.已知數(shù)列{an}中a1=1，,求an對點(diǎn)練習(xí)課堂小結(jié)由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(5)an+1=pan+q（p,q為常數(shù)）等差數(shù)列等比數(shù)列累加法累乘法an+1+x=p(an+x)an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)例8.已知數(shù)列{an}中a1=3，.證明：數(shù)列{ln(an-1)}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通