第1頁/共23頁東莞市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高二數(shù)學(xué)一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1.已知空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征可求得，結(jié)合空間中兩點間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱點為，.故選：B.2.已知過兩點的直線與直線平行，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題知，再解方程即可得答案.【詳解】解：因為過兩點的直線與直線平行，所以直線的斜率為，解得，故選：D3.已知等差數(shù)列，其前項和是，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出結(jié)果.第2頁/共23頁【詳解】由已知可得，，所以.又，所以.故選：C.4.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若，則點的坐標(biāo)為（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】由題知，，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)焦半徑公式得，再代入求解即可得答案【詳解】解：由題知，，設(shè)，因為點在拋物線上，所以由焦半徑公式得，解得所以，解得，所以，點的坐標(biāo)為或故選：B5.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為6，母線長均為5，過圓錐軸的平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為，用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且雙曲線的兩條漸近線分別平行于，則雙曲線的離心率為（）第3頁/共23頁A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題得，從而可得到本題答案.【詳解】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題，得，則，即，.由，得離心率.故選：A.6.已知圓，點為直線上一個動點，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（）A. B. C. D.第4頁/共23頁【答案】B【解析】【分析】由已知寫出圓心坐標(biāo)、半徑，由知，最小時，最小，即時，有最小值.求出圓心到直線的距離即為的最小值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由已知可得，，半徑，所以.又，則在中有，即.所以，當(dāng)最小時，最小.因為，當(dāng)時，最小，此時，此時，所以最小為.故選：B.7.如圖，在棱長為6的正四面體中，點在線段上，且滿足，點在線段上，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運算的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，所以，即，第5頁/共23頁因為是棱長為6的正四面體，所以，故選：A8.已知是不大于最大正整數(shù)，其中．若，則（）A200 B.210 C.400 D.420【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得，進(jìn)而得數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解即可全科試題免費下載公眾號《高中僧課堂》.【詳解】解：因為是不大于的最大正整數(shù)，其中．若，因為對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，所以，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差、首項均為，所以，.故選：B二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．9.如圖，在正方體中，分別是的中點，分別在線段上，且滿足，，設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）第6頁/共23頁A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)以及已知，用基向量表示出各個選項中的向量，即可得出正確選項.【詳解】由已知可得，，，，.對于A，，故A項正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C項錯誤；對于D，，故D項正確.故選：AD.10.已知是公差為的等差數(shù)列，其前項和是，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題知，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和公式依次討論各選項即可得答案.第7頁/共23頁【詳解】解：因為所以，所以，故A錯誤；B正確；，故C正確；因為，所以，故D錯誤.故選：BC11.如圖，由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，半圓的圓心是坐標(biāo)原點，直徑與橢圓的短軸重合，半圓所在的圓過橢圓的焦點，且與軸非正半軸交于點．若過原點的直線與上半橢圓交于點，與下半圓交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的長度的最大值是B.的周長為C.的面積的最小值是1D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，求出橢圓的短半軸長，半焦距；求出長度范圍；利用橢圓的定義求出焦點三角形周長等即可分別判斷求解.【詳解】由題意可知：半圓所在橢圓的半焦距，短半軸長，得出長半軸長，則橢圓的長軸長為第8頁/共23頁對于，由橢圓性質(zhì)可知，，因此，的長度的最大值是,故正確；對于，由橢圓定義知，因點是橢圓的兩個焦點，則的周長為：，，所以的周長，故正確；對于,設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，則，顯然當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值1，故錯誤.對于,當(dāng)所在直線方程時,為圓的直徑,則;當(dāng)所在直線方程時,如圖,連接,在中，因為,所以,因為,所以,所以所以即得,所以綜上,,故正確;第9頁/共23頁故選：12.已知為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點的直線與交于兩點，其中點A在第一象限，點．若，則（）A.直線的斜率為B.C.D.四邊形的面積為【答案】AC【解析】【分析】求得直線的斜率判斷選項A；求得線段的長度判斷選項B；利用相似三角形判定定理判斷選項C；求得四邊形的面積判斷選項D.【詳解】拋物線焦點，，，則點A在線段FM的垂直平分線上，則點A橫坐標(biāo)為2，又A在第一象限，代入拋物線方程可得點A縱坐標(biāo)為，則，則直線的斜率.則選項A判斷正確；直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解之得或即，，第10頁/共23頁則.則選項B判斷錯誤；，則，則.則選項C判斷正確；四邊形的面積等于.則選項D判斷錯誤.故選：AC【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13.經(jīng)過直線與直線的交點且在軸上截距為6的直線方是__________．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立兩直線解出交點坐標(biāo)，根據(jù)直線過兩點、，求出直線斜率，寫出直線的斜截式方程即可.【詳解】聯(lián)立直線與直線的方程，解得，即交點坐標(biāo)為.由直線在軸上截距為6，即直線過點，斜率，第11頁/共23頁所以直線的方程為，化為一般式方程可得.故答案為：.14.已知是公比為的等比數(shù)列，若，則__________．【答案】【解析】【分析】由定義判斷是首項為公比為的等比數(shù)列，用公式法求和即可.【詳解】由題意，則，故是首項為公比為的等比數(shù)列，故，故答案為：.15.已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，代入圓的方程，整理即可得到的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，則由已知可得.又是線段的中點，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的軌跡方程是.故答案為：.第12頁/共23頁16.如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構(gòu)成一系列等腰直角三角形，，，，且，記點的橫坐標(biāo)為，則__________；通項公式__________．【答案】①.2；②..【解析】【分析】設(shè)各個直角三角形斜邊長分別為，則前項和為，.由題意可得出，結(jié)合題意得，則；當(dāng)時，可得坐標(biāo)，代入曲線方程，即可得到，又，兩式作差整理可得，進(jìn)而得到，即可求出.【詳解】設(shè)各個直角三角形斜邊長分別為，則前項和為.設(shè)，，則.則，解得，.當(dāng)時，，，由可得，，所以，又，兩式作差可得，，又，所以，整理可得.所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：2；.第13頁/共23頁四?解答題：本大題共6小題，第17題10分，18?19?20?21?22題各12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．17.已知遞增等比數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，代入中可構(gòu)造方程求得滿足題意的公比，由等比數(shù)列通項公式可得結(jié)果；（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，，，，，，解得：或，為遞增等比數(shù)列，，.【小問2詳解】由（1）得：，，，，第14頁/共23頁.18.如圖，在直三棱柱中，分別為的中點．（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）平行，證明見解析；（2）【解析】【分析】(1)作中點,證明平面∥平面進(jìn)而得線面平行；(2)等體積法，即可求點到平面的距離.【小問1詳解】如圖，作中點，并連接,分別為的中點,∥,平面，平面,∥平面,第15頁/共23頁又在直三棱柱中，∥,平面，平面∥平面,且,平面，平面，故平面∥平面，而平面，故∥平面.【小問2詳解】則底面為等邊三角形，且為的中點，,在直三棱柱中，,，且∥平面,平面,故,又,,，則中邊上高，故，故，∴點到平面的距離為.19.已知圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，若，求的值．第16頁/共23頁【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求解圓與軸，軸交點，進(jìn)而得，，即可得答案；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立方程，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式計算即可.【小問1詳解】解：對于圓,令得，解得，即與軸的交點為，令得，解得，即與軸的交點為因為圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點，橢圓的焦點在軸上，所以為橢圓的左焦點，為橢圓的上頂點，所以，，所以橢圓的方程為【小問2詳解】解：因為直線與橢圓交于兩點，所以聯(lián)立方程得，所以，，解得，設(shè)，則，因為，所以，第17頁/共23頁整理得，解得，滿足，所以，.20.已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項公式；（2）若對任意，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可推出，又，即可得到，進(jìn)而求出通項公式；（2）經(jīng)化簡可得，.令，根據(jù)求出時，最大，即可得出的取值范圍．【小問1詳解】證明：由已知可得，，又，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，.所以，所以.則由可得，對任意，都成立.第18頁/共23頁令，假設(shè)數(shù)列中第項最大，當(dāng)時則，有，即，整理可得，解得，所以.因為，所以，.又，所以數(shù)列中第2項最大，即對任意，都成立.所以由對任意，都成立，可得.21.圖1是一個邊長為的正方形為正方形的中心．把三角形沿翻折，使得二面角為（如圖2），分別是的中點．（1）求翻折后的余弦值；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角為，若存在，請說出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)二面角的定義得，進(jìn)而得，再分別在，，中結(jié)合余弦定理求解即可；第19頁/共23頁（2）以方向為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求解即可判斷；【小問1詳解】解：在圖1中，連接，因為為正方形的中心，所以，所以，在圖2中，連接，依然成立，所以，是二面角的平面角，即，因為，所以.因為分別是的中點，所以，在中，，，，即，所以，在中，，，，，，即，所以，在中，，，所以，翻折后的余弦值為.第20頁/共23頁【小問2詳解】解：根據(jù)題意，如圖，以方向為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量為，，所以，即，令，則，假設(shè)存在點，滿足平面與平面的夾角為，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，，即，令得，所以，，整理得，解得，因為，與矛盾，第21頁/共23頁所以，不存在使得有解，所以，線段上是不存在一點，使得平面與平面的夾角為.22.雙曲線過點，且離心率為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合可求出，從而可求出雙曲線方程；（2）假設(shè)存在符合題意的定點，①當(dāng)垂直于軸時，由題意可得在軸上，②當(dāng)為軸時，可求得，然后再證對一般的直線也符合題意，即證，設(shè)：第22頁/共23頁，，將直線方程代入雙曲線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即即可.【小問1詳解】因為雙曲線過點，且離心率為，所以，因為，所以解