1/34第三節(jié)三重積分的概念與計(jì)算二、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、三重積分的定義2/34一、三重積分的定義3/34二、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分故直角坐標(biāo)系下的體積元素為在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為在直角坐標(biāo)系中,如果用平行于坐標(biāo)面的平面的來(lái)劃分4/34直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分1、投影法思想是(先一后二法)如圖,空間有界閉區(qū)域面上的投影為平面閉區(qū)域D,過(guò)點(diǎn)作直線,5/34X－型再計(jì)算的函數(shù),得則6/34如何寫出當(dāng)D為Y–型閉域時(shí),?化為三次積分的公式三重積分注相交不多于兩點(diǎn)情形.7/34所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積分(累次積分).和積分域Ω選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計(jì)算.解題時(shí),要依據(jù)具體的被積函數(shù)同樣,也可以把積分域Ω向yOz、zOx面投影.8/34解兩曲面的交線為所以,

例9/342、截面法(紅色部分)(先二后一法)截面法的一般步驟(1)投影,得投影區(qū)間(2)(3)計(jì)算二重積分(4)最后計(jì)算單積分10/34

即當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān),截面法的公式還有兩個(gè).?用上公式簡(jiǎn)便.自己推注且截面Dz易知時(shí),11/34解12/34原式13/34規(guī)定直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為就叫點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為則這樣的三個(gè)數(shù)14/34柱面坐標(biāo)系中,

以z軸為中心軸的圓柱面；過(guò)z軸的半平面.與xOy平面平行的平面;三坐標(biāo)面分別為15/34如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為16/34

如,極坐標(biāo)不等式表示先將Ω在xOy面上的投影域用故再確定Ω的下,上邊界面注通常是先積再積后積17/34例已知立體內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)量的體密度解因?yàn)槠矫媲笄嫠鶉Ⅲw的質(zhì)量M,與該點(diǎn)到z軸的距離的平方成正比.的交線是上的圓體密度函數(shù)為18/34Ω的下邊界面是上邊界面是故

所以Ω在xOy面上的投影域即是半徑為2的圓域19/34

當(dāng)被積函數(shù)是積分域Ω由圓柱面(或一部分)、錐面、拋物面用所圍成的.柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分較方便.20/34記投影向量與x軸正方向的規(guī)定正方向間的夾角為夾角為球面坐標(biāo).稱為點(diǎn)M的四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),向xOy平面投影,21/34球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為原點(diǎn)為心的球面；過(guò)z軸的半平面．球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為對(duì)稱軸的圓錐面；為常數(shù)22/34球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，通常是先積注23/34如積分域Ω為球域(如圖).則24/34解25/3426/34解法一采用例所圍的立體.球面坐標(biāo)27/3428/34法二采用柱面坐標(biāo)29/34當(dāng)積分區(qū)域是球形域或上半部是球面下半部是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面,被積函數(shù)具有的形式時(shí),用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分較簡(jiǎn)便.或是球的一部分;30/34利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)變量的奇偶性．31/34解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),32/34柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分柱面坐標(biāo)體積元素)小結(jié)直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分(思想:計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分)三重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)體積元素)(柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系33/34球面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分球面坐標(biāo)體積元素球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系使用對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系計(jì)算三重積分(注意選擇的原則)34補(bǔ)充例題解求由圍成的立體的體積。例1用球面坐標(biāo)。由對(duì)稱性，為第一卦限的部分。解1求，為

的公共部分。例2用球面坐標(biāo)。由