三角形全等的判定（一）（SSS）

2023—2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)我們知道，如果△ABC≌△A′B′C′，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．反過來，根據(jù)全等三角形的定義，如果△ABC與△A′B′C′滿足三條邊分別相等，三個(gè)角分別相等，即AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，就能判定△ABC≌△A′B′C′．思考：一定要滿足三條邊分別相等，三個(gè)角也分別相等，才能保證兩個(gè)三角形全等嗎？∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′．AC＝A′C′，滿足這六個(gè)條件可以保證△ABC≌△A′B′C′，如果只滿足這些條件中的一部分，能保證△ABC≌△A′B′C′

嗎？ABCA′B′C′①一條邊相等：思考當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)，兩個(gè)三角形一定全等嗎？不全等思考結(jié)論：只滿足一個(gè)條件時(shí)，兩個(gè)三角形不一定全等．②一個(gè)角相等：60°60°不全等當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)，兩個(gè)三角形一定全等嗎？思考當(dāng)滿足兩個(gè)條件時(shí),兩個(gè)三角形一定全等嗎？①一條邊和一個(gè)角分別相等：45°45°不全等思考當(dāng)滿足兩個(gè)條件時(shí),兩個(gè)三角形一定全等嗎？②兩個(gè)角相等（第三個(gè)角一定相等）：不全等45°45°45°45°思考當(dāng)滿足兩個(gè)條件時(shí),兩個(gè)三角形一定全等嗎？③兩條邊相等：不全等2cm4cm2cm4cm結(jié)論：滿足兩個(gè)條件時(shí)，兩個(gè)三角形也不一定全等．通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)，△ABC與△A′B′C′不一定全等．滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，能保證△ABC與△A′B′C′全等嗎？問題①三個(gè)角；②三條邊；③兩邊一角；④兩角一邊．如果滿足三個(gè)條件，你能說出幾種可能的情況？?jī)蓚€(gè)條件的探究中,已證實(shí)不可行．現(xiàn)在我們分情況進(jìn)行討論，首先探究三條邊相等的情況下能不能保證三角形全等．先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝AC．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？操作B′A′B

C

AC′畫出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝AC．

（1）畫B′C′＝BC；

（2）分別以點(diǎn)B′，C′為圓心，線段AB，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A′；（3）連接線段A′C′，A′B′．操作B′A′B

C

AC′把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們完全重合，說明這兩個(gè)三角形全等．據(jù)此，你能得到什么結(jié)論？先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝AC．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔繗w納由前面的操作，可以得到以下基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（“邊邊邊”或“SSS”）．當(dāng)三角形三條邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小也就確定了，這也是三角形具有穩(wěn)定性的原理．例1在如圖所示的三角形鋼架中，AB＝AC，AD是連接點(diǎn)A與BC

中點(diǎn)D

的支架．求證△ABD≌△ACD．分析：要證△ABD≌△ACD，只需看這兩個(gè)三角形的三條邊是否分別相等．例1在如圖所示的三角形鋼架中，AB＝AC，AD是連接點(diǎn)A與BC

中點(diǎn)D

的支架．求證△ABD≌△ACD．證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SSS)．AD既是△ABD的邊又是△ACD的邊．我們稱它為這兩個(gè)三角形的公共邊．你能根據(jù)下面的解題步驟，總結(jié)出證明兩個(gè)三角形全等的過程嗎？列出要證明的兩個(gè)三角形列出全等條件，用大括號(hào)括起來得出結(jié)論，標(biāo)明所用判定方法證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SSS)．書寫三角形全等的條件的注意事項(xiàng)：（1）全等條件要按順序排列；（2）同一個(gè)三角形的三個(gè)條件要放在等號(hào)同一側(cè)；（3）兩三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要一一對(duì)應(yīng)．

例2

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，線段OC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；ODBCAC′O′A′OBCAO′D′B′C′A′（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．D

例2

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB相等？∴△OCD≌△O′C′D′．∴∠A′O′B′＝∠AOB．理由：在△OCD和△O′C′D′中，OBCAO′D′B′C′A′D問題

工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合．過角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線．為什么？解：在△COM與△CON中，∴△COM≌△CON（SSS）．∴∠COM＝