第二章〔冀振元主編〕1.根據(jù)奇偶序列的定義，有：x1(－n)=x1(n),x2(－n)=－x2(n),那么y(－n)=x1(－n)·x2(－n)=x1(n)·(－x2(n))=－x1(n)·x2(n)=－y(n)故y(n)為奇序列。2.x(n)的共軛對稱局部是：用其實部與虛部表示x(n)，得故xe(n)的實部是偶對稱的，虛部是奇對稱的。3.(1)ω=5π/8，那么2π/ω=16/5故x(n)是周期的，最小周期為16。(2)對照復(fù)指數(shù)序列的一般公式，得出ω=1/8，因此2π/ω=16π，是無理數(shù)，所以x(n)是非周期的。4.<法一><法二>5.交換律：令k=n－m，那么結(jié)合律：{x(n)*h1(n)}*h證：右邊=x(n)*{=左邊分配律：x(n)*{h1(n)+h2(n)}=x(n)*h1證：左邊=x(n)*{=右邊6.(1)穩(wěn)定，因果，非線性，移不變穩(wěn)定性：假設(shè)|x(n)|≤M那么|y(n)|=|2x(n)+3|≤2M+3有界，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。因果性：對任意n0，系統(tǒng)在n0深刻的響應(yīng)僅取決于在時刻n=n0的輸入，所以是因果系統(tǒng)。線性：所以系統(tǒng)非線性。移不變性：所以是移不變系統(tǒng)。(2)穩(wěn)定，因果，線性，移變線性：設(shè)，由于，系統(tǒng)是線性的。移不變性：，故系統(tǒng)是移變的穩(wěn)定性：設(shè)|x(n)|≤M，那么有系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果性：因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(3)不穩(wěn)定，因果，線性，移不變穩(wěn)定性：不穩(wěn)定。因果性：因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。線性：因此為線性系統(tǒng)。移不變性：移不變系統(tǒng)(4)不穩(wěn)定，因果|非因果，線性，移變穩(wěn)定性：.所以系統(tǒng)不穩(wěn)定因果性：假設(shè),該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，當(dāng)n<n0時，非因果系統(tǒng)線性：因此為線性系統(tǒng)。移不變性：所以是移變系統(tǒng)。(5)穩(wěn)定|不穩(wěn)定，因果，線性，移變穩(wěn)定性：設(shè)那么如果g(n)有界，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。因果性：因y(n)只取決于現(xiàn)在的輸入x(n),不取決于未來的輸入，故系統(tǒng)是因果系統(tǒng)線性：因此為線性系統(tǒng)。移不變性：所以是移變系統(tǒng)。(6)穩(wěn)定，因果|非因果，線性，移不變穩(wěn)定性：設(shè)|x(n)|≤M那么所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。因果性：假設(shè)n0≥0，那么系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否那么為非因果系統(tǒng)。線性：因此為線性系統(tǒng)。移不變性：因此為移不變系統(tǒng)。7.(1)當(dāng)n<0時，h(n)≠0，所以系統(tǒng)是非因果的。所以當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)|a|≤1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)當(dāng)n<0時，h(n)≠0，所以系統(tǒng)是非因果的。因為，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)當(dāng)n<0時，h(n)≠0，所以系統(tǒng)是非因果的。，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(4)當(dāng)n<0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果的。，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(5)假設(shè)N≥1，那么T[x(n)]的值取決于x(n)當(dāng)前和過去的值，所以是因果系統(tǒng)；否那么是非因果系統(tǒng)。假設(shè)|x(n)|≤M那么，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(6)T[x(n)]的值取決于未來的值，所以是非因果系統(tǒng)。假設(shè)|x(n)|≤M那么，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。(7)當(dāng)n0≠0時，T[x(n)]的值取決于x(n)未來的值，所以為非因果系統(tǒng)；當(dāng)n0=0時，為因果系統(tǒng)。假設(shè)|x(n)|≤M那么，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(8)T[x(n)]的值僅取決于x(n)當(dāng)前的值，所以為因果系統(tǒng)。假設(shè)|x(n)|≤M那么，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。8.(1)當(dāng)n<0或n>15時，y(n)=0(2)當(dāng)0≤n<5時，(3)當(dāng)5≤n<10時，(4)當(dāng)10≤n≤15時，所以，<法二>9.(1)(2)(3)(4)(5)10.令x(n)=δ(n)那么對于n<0,y(n)=h(n)=0……可以推出即11.證：右邊==左邊12.(1) xa(t)的周期是Ta=1/f=0.05s(2) (3)x(n)的數(shù)字角頻率為x(n)的波形如下列圖所示：如下圖，x(n)的周期為1〔不是2π/ωn=2〕%%====MatlabCode====phai=pi/2;n=-8:8;xn=cos(pi*n+phai);figure,stem(n,xn),xlabel('n'),ylabel('x(n)'),axis([n(1)n(end)-11])第三章習(xí)題〔冀振元主編〕1、解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕因為積分得而的收斂域和的收斂域相同，所以的收斂域為?！?〕設(shè)那么有而所以因此，收斂域為。2、〔1〕處得零、極點相互對消。圖略〔2〕，圖略。3、解有兩個極點：，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種情況：三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列?！?〕當(dāng)收斂域時，令，因為內(nèi)無極點，；〔2〕當(dāng)收斂域時，最后得到〔3〕當(dāng)收斂域時，，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此?；蛘哌@樣分析，c內(nèi)有極點0.5,2,0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外無極點，所以。最后得到4、解〔1〕〔2〕〔3〕5、〔1〕根據(jù)極-零點圖得到的Z變換因傅里葉變換收斂，所以單位圓在收斂域內(nèi)，因而收斂域為。故是雙邊序列。〔2〕因為是雙邊序列，所以它的Z變換的收斂域是一個圓環(huán)。根據(jù)極點分布情況，收斂域有兩種可能：或。采用留數(shù)定理法求對應(yīng)的序列，被積函數(shù)為對于收斂域，被積函數(shù)有1個極點在積分圍線內(nèi)，故得被積函數(shù)有2個極點在積分圍線外，又因為分母多項式的階比分子多項式的階高，故最后得到對于收斂域，被積函數(shù)有2個極點在積分圍線內(nèi)，故被積函數(shù)有1個極點在積分圍線外，又因分母多項式的階比分子多項式的階高，故最后得6、分析=1\*GB3①長除法：對右邊序列〔包括因果序列〕H(z)的分子、分母都要按z的降冪排列，對左邊序列〔包括反因果序列〕H(z)的分子、分母都要按z的升冪排列。=2\*GB3②局部分式法：假設(shè)X(z)用z的正冪表示，那么按X(z)|z寫成局部分式，然后求各極點的留數(shù)，最后利用變換關(guān)系求Z反變換可得x(n)。=3\*GB3③留數(shù)定理法：=1\*alphabetica注意留數(shù)表示是因而也要化成的形式才能與相抵消，和不能相抵消，這是常出現(xiàn)的錯誤。=2\*alphabeticb用圍線內(nèi)極點留數(shù)時不必取“—〞號，用圍線外極點留數(shù)時要取“—〞號?！?〕a長除法直接可得：b留數(shù)定理法當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：〔c〕局部分式法由題得所以〔2〕〔a〕長除法由于極點為，收斂域為，因而是左邊序列，所以要按的升冪排列。所以〔b〕留數(shù)定理法綜上所述，有〔c〕局部分式法那么由于是左邊序列，所以7、被積函數(shù)：===〔1〕,收斂域?qū)?yīng)于因果序列。在時，被積函數(shù)在積分圍線內(nèi)有2個極點-1和-，因此〔2〕,收斂域?qū)?yīng)于非因果序列。在時，被積函數(shù)在積分圍線外有2個極點-1和-；且被積函數(shù)在處有階零點，因此得〔3〕收斂域?qū)?yīng)于雙邊序列。當(dāng)時，被積函數(shù)在積分圍線內(nèi)有1個極點-，故當(dāng)時，被積函數(shù)在積分圍線外有1個極點-1，且被積函數(shù)在處有階零點，因此最后得8、分析a移位定理b假設(shè)，那么解而所以9、解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔由Z變換可推得〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕10、〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕11、證明設(shè)那么那么而又因為那么所以得證12、(1)n≥0,n<0, y(n)=0最后得到：(2)n≥0,n=－1,y(n)=1n<－1, y(n)=0最后得到：(3)n≥0,最后得到：13.(1)對差分方程兩邊進(jìn)行Z變換，得因此零點：z0=0極點：，零極圖%%b=[010];a=[1-1-1];zplane(b,a)(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含∞在內(nèi)的收斂域，即。令n≥0,因為h(n)是因果序列，n<0時，h(n)=0所以 (3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即令 n≥0,c內(nèi)只有極點z2，只需求z2點的留數(shù)，n<0,c內(nèi)有兩個極點z2和z=0，因為z=0是一個n階極點，改成求圓外極點留數(shù)，圓外極點只有一個，即z1，那么最后得到14.(1)由y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)得所以<方法一>圍線積分法〔留數(shù)法〕令 n≥1,c內(nèi)有極點0.9n=0,c內(nèi)有極點0.9,0其中所以最后得到 (2)極點z1=0.9，零點z0=－0.9，零極點分布圖圖下列圖(a)所示，幅頻特性曲線如下列圖(b)所示：%%b=[10.9];a=[1-0.9];zplane(b,a)freqz(b,a,'whole')零極圖幅頻、相頻特性(3)注：即：或者：第四章習(xí)題〔冀振元主編〕1、解(1)(2)(3)(4)(5)2、解我們知道是以為周期的周期函數(shù)，所以以N為周期，將看作一周期序列的DFS系數(shù)，那么代入由于=所以由題意知所以根據(jù)有關(guān)與的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有由于,所以因此3、解〔1〕記錄時間即時域信號的時間長度?！?〕〔3〕〔4〕頻帶寬度不變就意味著采樣間隔Ts不變，應(yīng)該使記錄時間擴(kuò)大一倍為0.04s實現(xiàn)頻率分辨率提高1倍〔Δf變?yōu)樵瓉淼?/2〕。4、5、分析離散時域每兩點間插入r-1個零值點，相當(dāng)于頻域以N為周期延拓r次，即周期為。解由可得而所以是將〔周期為N〕延拓r次形成的，即周期為。6、解和有限長序列的性質(zhì)所以我們可得得證7、解：令，那么8、9、10、解〔1〕〔2〕第五章快速傅里葉變換1.如果一臺通用計算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘需要50us，每次復(fù)加需要10us，用來就散N=1024點的DFT，問：〔1〕直接計算需要多少時間？用FFT計算呢？〔2〕照這樣計算，用FFT計算快速卷積對信號進(jìn)行處理是，估計可實現(xiàn)實時處理的信號最高頻率？解：分析：直接利用DFT計算：復(fù)乘次數(shù)為N2，復(fù)加次數(shù)為N(N-1)； 利用FFT計算：復(fù)乘次數(shù)為，復(fù)加次數(shù)為；直接DFT計算：復(fù)乘所需時間復(fù)加所需時間所以總時間FFT計算：復(fù)乘所需時間復(fù)加所需時間所以總時間為假設(shè)計算兩個N長序列和的卷積計算過程為如下：第一步：求，；所需時間為第二步：計算，共需要N次復(fù)乘運算所需時間為第三步：計算，所需時間為所以總時間為容許計算信號頻率為N/T=911.3Hz2.設(shè)x(n)是長度為2N的有限長實序列，為x(n)的2N點得DFT。〔1〕試設(shè)計用一次N點FFT完成計算的高效算法；〔2〕假設(shè)，試設(shè)計用一次N點IFFT實現(xiàn)x(n)的2N點IDFT運算。解：此題的解題思路就是DIT-FFT思想。分析2N點的FFT，如下在始于分別抽取偶數(shù)點和奇數(shù)點x(n)得到兩個N長的實序列x1(n)和x2(n);X1(n)=x(2n), n=0,1,…,N-1X2(n)=x(2n+1), n=0,1,…,N-1根據(jù)DIT-FFT的思想，只要球的x1(n)和x2(n)的N電DFT，再經(jīng)過簡單的一級蝶形運算就可得到x(n)的2N點的DFT。因為x1(n)和x2(n)均為實序列，所以根據(jù)DFT的共軛對稱性，可以用一次N點FFT求得X1(k)和X2(k)。具體方法如下：令 y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFT[y(n)], k=0,1,…,N-1那么X1(k)=DFT[x1(n)]=Yep(k)=0.5[Y(k)+Y*(N-k)]X2(k)=DFT[jx2(n)]=Yop(k)=0.5[Y(k)-Y*(N-k)]2N點得DFT[x(n)]=X(k)可由X1(k)和X2(k)得到這樣，通過一次N點FFT計算就完成了計算2N點DFT。當(dāng)然由Y(k)求x1(k)和X2(k)需要相對小的額外計算量。分析2N點的IFFT變換，如下與(1)相同，設(shè)X1(n),x2(n),X1(k),X2(k); n,k=0,1,…,N-1那么應(yīng)滿足關(guān)系式由