教案系列指數(shù)教案及反思指數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念,把握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

(1)理解n次方根,n次根式的概念及其性質(zhì),能依據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算.

(2)能熟識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣,了解它是根式的一種新的寫法,能準(zhǔn)確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化.

(3)能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡化根式運(yùn)算.

2.通過指數(shù)范圍的擴(kuò)大,使同學(xué)能理解運(yùn)算的本質(zhì),熟識(shí)到學(xué)問之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,熟識(shí)到符號(hào)化思想的重要性,在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算力量.

3.通過對根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的熟識(shí),使同學(xué)能學(xué)會(huì)透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì).

教學(xué)建議

教材分析

(1)本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及其運(yùn)算性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)是根式的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.

(2)由于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念是借助次方根給出的,而次根式,次方根又是同學(xué)剛剛接觸到的概念,也是比較生疏的.以此為基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)熟識(shí)新學(xué)問自然是比較困難的.且次方根,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義都是用抽象字母和符號(hào)的形式給出的,同學(xué)在接受理解上也是比較困難的.基于以上緣由,根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念成為本節(jié)應(yīng)突破的難點(diǎn).

(3)學(xué)習(xí)本節(jié)主要目的是將指數(shù)從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù),為指數(shù)函數(shù)的爭論??作好預(yù)備.且有理指數(shù)冪具備的運(yùn)算性質(zhì)還可以推廣到無理指數(shù)冪,也就是說在運(yùn)算上已將指數(shù)范圍推廣到了實(shí)數(shù)范圍,為對數(shù)運(yùn)算的消逝作好了預(yù)備,而使這些成為可能的就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入.

教法建議

(1)根式概念的引入是本節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵.為了讓同學(xué)感到根式的學(xué)習(xí)是很自然也很必要的,不妨在設(shè)計(jì)時(shí)可以考慮以下幾點(diǎn):

①先以具體數(shù)字為例,復(fù)習(xí)正整數(shù)冪,介紹各部分的名稱及運(yùn)算的本質(zhì)是乘方,讓它與同學(xué)熟識(shí)的運(yùn)算聯(lián)系起來,樹立起轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).

②當(dāng)復(fù)習(xí)負(fù)指數(shù)冪時(shí),由于與乘除共同關(guān)于,所以消逝了分式,這樣為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算與根式相關(guān)作好預(yù)備.

③在引入根式時(shí)可先由同學(xué)知道的平方根和立方根入手,再大膽寫出即誰的四次方根等于16.指出2和2是它的四次方根后再把指數(shù)換成,寫成即誰的次方等于,在語言描述的同時(shí),也把數(shù)學(xué)的符號(hào)語言自然的給出.

(2)在次方根的定義中并沒有將次方根符號(hào)化緣由是結(jié)論的多樣性,未能亂表示,所以需要先爭論??規(guī)律,再把它符號(hào)化.按這樣的爭論??思路同學(xué)對次方根的熟識(shí)逐層遞進(jìn),直至找出運(yùn)算上的規(guī)律.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

課題根式

教學(xué)目標(biāo):

1.理解次方根和次根式的概念及其性質(zhì),能依據(jù)性質(zhì)進(jìn)行簡潔的根式計(jì)算.

2.通過對根式的學(xué)習(xí),使同學(xué)能進(jìn)一步認(rèn)清各種運(yùn)算間的聯(lián)系,提高歸納,概括的力量.

3.通過對根式的化簡,使同學(xué)了解由非凡到一般的解決問題的方法,滲透分類爭論的思想.

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn):

重點(diǎn)是次方根的概念及其取值規(guī)律.

難點(diǎn)是次方根的概念及其運(yùn)算依據(jù)的爭論??.

教學(xué)用具:投影儀

教學(xué)方法:啟發(fā)探究式.

教學(xué)過程:

一.復(fù)習(xí)引入

今日我們將學(xué)習(xí)新的一節(jié)指數(shù).指數(shù)與其說它是一個(gè)概念,不如說它是一種重要的運(yùn)算,且這種運(yùn)算在學(xué)校曾經(jīng)學(xué)習(xí)過,今日只不過把它進(jìn)一步向前進(jìn)展.

下面從我們熟識(shí)的指數(shù)的復(fù)習(xí)開頭.能舉一個(gè)具體的指數(shù)運(yùn)算的例子嗎?

以為例,是指數(shù)運(yùn)算要求同學(xué)指明各部分的名稱,其中2稱為底數(shù),4為指數(shù),稱為冪.

老師還可引導(dǎo)同學(xué)回顧指數(shù)運(yùn)算的由來,是從乘方而來,因此最初指數(shù)只能是正整數(shù),同時(shí)引出正整數(shù)指數(shù)冪的定義..然后連續(xù)引導(dǎo)同學(xué)回憶零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義,分別寫出及,同時(shí)追問這里的由來.最終將三條放在一起,用投影儀打出整數(shù)指數(shù)冪的概念

2.5指數(shù)(板書)

1.關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的復(fù)習(xí)

(1)概念

既然是一種運(yùn)算,除了定義之外,自然要給出它的運(yùn)算規(guī)律,再來回顧一下關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).可以找一個(gè)同學(xué)說出相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì),老師用投影儀依次打出:

(2)運(yùn)算性質(zhì):;;.

復(fù)習(xí)后直接提出新課題,今日在此基礎(chǔ)上把指數(shù)從整數(shù)范圍推廣到分?jǐn)?shù)范圍.在剛才的復(fù)習(xí)我們已經(jīng)看到當(dāng)指數(shù)在整數(shù)范圍內(nèi)時(shí),運(yùn)算最多也就是與分式關(guān)于,假如指數(shù)推廣到分指數(shù)會(huì)與什么關(guān)于呢?應(yīng)與根式關(guān)于.學(xué)校時(shí)雖然也學(xué)過一點(diǎn)根式,但不夠用,因此有必要先從根式說起.

2.根式(板書)

我們知道根式來源于開方,開方是乘方的逆運(yùn)算,所以談根式還是先從大家熟識(shí)的乘方說起.

如

假如給出了4和2進(jìn)行運(yùn)算,那就是乘方運(yùn)算.假如是知道了16和2,求4即,求?

問題也就是:誰的平方是16,大家都能回答是4和4,這就是開方運(yùn)算,且4和4有個(gè)名字叫16的平方根.

再如

知3和8,問題就是誰的立方是8?這就是開方運(yùn)算,大家也知道結(jié)果為2,同時(shí)指出2叫做8的立方根.

(依據(jù)狀況老師

可再適當(dāng)舉幾個(gè)例子,如,要求同學(xué)用語言描述式子的含義,I再說出結(jié)果分別為和2,同時(shí)指出它們分別稱為9的四次方根和8的立方根)

在以上幾個(gè)式子會(huì)說明的基礎(chǔ)上,提出即一個(gè)數(shù)的次方等于,求這個(gè)數(shù),即開次方,那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根.

(1)次方根的定義:假如一個(gè)數(shù)的次方等于(,那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根.

(板書)

對定義理解的第一步就是能把上述語言用數(shù)學(xué)符號(hào)表示,請同學(xué)們試試看.

由同學(xué)翻譯為:若(,則叫做的次方根.(把它補(bǔ)在定義的后面)

翻譯后老師在此基礎(chǔ)上再次提出翻譯的不夠徹底,如結(jié)論中的的次方根就沒有用符號(hào)表示,緣由是什么?(假如同學(xué)不知從何入手,可引導(dǎo)同學(xué)回到剛才的幾個(gè)例子,在符號(hào)表示上存在的問題,并一起爭論??解決的方法)最終把問題引向?qū)Φ拇畏礁娜≈狄?guī)律的爭論??.

(2)的次方根的取值規(guī)律:(板書)

先讓同學(xué)看到的次方根的個(gè)數(shù)是由的奇偶性準(zhǔn)備的,所以應(yīng)對分奇偶狀況爭論

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),再問同學(xué)的次方根是個(gè)什么樣的數(shù),與誰關(guān)于,再提出對的正負(fù)的爭論,從而明確分類爭論的標(biāo)準(zhǔn),按的正負(fù)分為三種狀況.

Ⅰ當(dāng)為奇數(shù)時(shí)

,的次方根為一個(gè)正數(shù);

,的次方根為一個(gè)負(fù)數(shù);

,的次方根為零.(板書)

當(dāng)奇數(shù)狀況爭論完之后,再用幾個(gè)具體例子關(guān)心說明為偶數(shù)時(shí)的結(jié)論,再由同學(xué)總結(jié)歸納

Ⅱ當(dāng)為偶數(shù)時(shí)

,的次方根為兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù);

,的次方根不存在;

,的次方根為零.

對于這個(gè)規(guī)律的總結(jié),還可以先看的正負(fù),再分的奇偶,換個(gè)角度加深理解.

有了這個(gè)規(guī)律之后,就可以用精確?????的數(shù)學(xué)符號(hào)去描述次方根了.

(3)的次方根的符號(hào)表示(板書)

可由同學(xué)試說一說,若同學(xué)說不好,老師可與同學(xué)一起總結(jié),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),由于無論為何值,次方根都只有一個(gè)值,可用統(tǒng)一的符號(hào)表示,此時(shí)要求同學(xué)說明符號(hào)的含義:為正數(shù),則為一個(gè)確定的正數(shù),為負(fù)數(shù),則為一個(gè)確定的負(fù)數(shù),為零,則為零.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為正數(shù)時(shí),有兩個(gè)值,而只能表示其中一個(gè)且應(yīng)表示是正的,另一個(gè)應(yīng)與它互為相反數(shù),故只需在前面放一個(gè)負(fù)號(hào),寫成,其含義為為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè)分別為和.

為了加深對符號(hào)的熟識(shí),還可以提出這樣的問題:肯定表示一個(gè)正數(shù)嗎?中的肯定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎?讓同學(xué)來回答,在回答中進(jìn)一步認(rèn)清符號(hào)的含義,再從另一個(gè)角度進(jìn)行總結(jié).對于符號(hào),當(dāng)為偶數(shù)是,它有意向義的條件是;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),它有意向義的條件時(shí).

把稱為根式,其中為根指數(shù),叫做被開方數(shù).(板書)

(4)根式運(yùn)算的依據(jù)(板書)

由于是個(gè)數(shù)值,數(shù)值自然要進(jìn)行運(yùn)算,運(yùn)算就要有依據(jù),因此下面有必要進(jìn)一步爭論??根式運(yùn)算的依據(jù).但我們并不過分綻開,只爭論??一些最基本的最簡潔的依據(jù).

如應(yīng)當(dāng)?shù)檬裁?有同學(xué)講出理由,依據(jù)次方根的定義,可得Ⅰ=.(板書)

再問:應(yīng)當(dāng)?shù)檬裁?也得嗎?

若同學(xué)想不清晰,可用具體例子提示同學(xué),如嗎?嗎?讓同學(xué)能發(fā)覺結(jié)果與關(guān)于,從而得到Ⅱ=.(板書)

為進(jìn)一步熟識(shí)這個(gè)運(yùn)算依據(jù),下面通過練習(xí)來體會(huì)一下.

三.鞏固練習(xí)