數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)

主講人：宋叔尼教授2009年3月第三講與方程組有關(guān)的問(wèn)題

數(shù)學(xué)必須解決實(shí)際問(wèn)題

首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者、中國(guó)科學(xué)院院士吳文俊指出：任何數(shù)學(xué)都要邏輯推理，但這只是問(wèn)題的一個(gè)方面，更重要的是用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題，解決日常生活及其他學(xué)科中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

學(xué)校給的數(shù)學(xué)題目都是有答案的，已知什么，求證什么，都是清楚的，題目也一定是做得出的。但是將來(lái)到了社會(huì)上，所面對(duì)的問(wèn)題大多是預(yù)先不知道答案的，甚至不知道是否會(huì)有答案。這就要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，學(xué)會(huì)處理各種實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。

什么是數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)眾所周知，學(xué)習(xí)物理要做物理實(shí)驗(yàn)，學(xué)習(xí)化學(xué)要做化學(xué)實(shí)驗(yàn)，為適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也需要做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的教學(xué)體系和內(nèi)容側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確、快捷的計(jì)算和嚴(yán)密的邏輯推理。

如何運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)理論將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題用適合的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述？

如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解該問(wèn)題？

如何結(jié)合實(shí)際問(wèn)題對(duì)所求解進(jìn)行分析和修正？這些綜合起來(lái)就是數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)。目次試驗(yàn)項(xiàng)目授課教師一數(shù)學(xué)建模初步韓鐵民二Matlab使用簡(jiǎn)介方程組計(jì)算薛定宇宋叔尼三線性規(guī)劃非線性規(guī)劃張薇四數(shù)理統(tǒng)計(jì)孫平五MATLAB求解薛定宇六圖論孫艷蕊七組合數(shù)學(xué)張祥德八模糊數(shù)學(xué)張國(guó)偉課程內(nèi)容1.介紹數(shù)學(xué)建模過(guò)程中基本的數(shù)學(xué)方法(32學(xué)時(shí))2.(測(cè)驗(yàn)，同時(shí)選拔部分隊(duì)員培訓(xùn)(案例教學(xué)))3.競(jìng)賽題講解（8月底）許多實(shí)際問(wèn)題可以歸結(jié)為方程組的求解例如：冶金工程、機(jī)械結(jié)構(gòu)、大型的土木結(jié)構(gòu)、最優(yōu)控制大型輸電網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、種群繁殖、經(jīng)濟(jì)規(guī)劃等。1.投入產(chǎn)出分析1949年，哈佛大學(xué)教授Leontief把美國(guó)經(jīng)濟(jì)分解成500個(gè)部門(如農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)等)，對(duì)每個(gè)部門，其產(chǎn)出如何分配給其它經(jīng)濟(jì)部門？構(gòu)建了500個(gè)未知數(shù)，500個(gè)方程的方程組，受計(jì)算機(jī)的限制只好把問(wèn)題簡(jiǎn)化為42個(gè)未知數(shù)，42個(gè)方程的方程組。該成果獲1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。下面假設(shè)：經(jīng)濟(jì)體系中僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)構(gòu)成，這些部門生產(chǎn)商品和服務(wù)。產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150各部門間的投入產(chǎn)出平衡關(guān)系上表中第一行表示農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出為100時(shí)，15農(nóng)產(chǎn)品用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，20用于制造，30用于服務(wù)，35用于外部需求。1.給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出模型。2.如果對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50，

150，100，問(wèn)三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？3.若三部門外部需求分別增加1單位，總產(chǎn)出應(yīng)增加多少？4.若對(duì)任意給定的非負(fù)外部需求，都能得到非負(fù)總產(chǎn)出，稱模型可行。為使模型可行，應(yīng)滿足什么條件？問(wèn)題產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150設(shè)有n個(gè)部門，第i個(gè)部門的總產(chǎn)出為xi，用于(投入到)第j個(gè)部門xij，外部需求為di，則假設(shè)每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入成正比，即xij/xj為常數(shù)，記為aij

.1.給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出模型轉(zhuǎn)換成記投入系數(shù)矩陣，產(chǎn)出向量需求向量，則方程組記為即這就是線性代數(shù)方程組。產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)0.200.300投入產(chǎn)出系數(shù)表產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150各部門間的投入產(chǎn)出平衡關(guān)系得到數(shù)學(xué)模型（線性方程組）2.如果對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50，

150，100，問(wèn)三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？用MATLAB求出即可3.若三部門外部需求分別增加1單位，總產(chǎn)出應(yīng)增加多少？得令求解4.若對(duì)任意給定的非負(fù)外部需求，都能得到非負(fù)總產(chǎn)出，稱模型可行。為使模型可行，應(yīng)滿足什么條件？要使模型可行，即對(duì)任意的外部需求得.由知，如果(即每個(gè)元素非負(fù)).即滿足結(jié)論.如果，就有如果，必有.得到這等價(jià)于又因?yàn)閿?shù)學(xué)模型還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的準(zhǔn)確的定義，我們這樣理解:數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是為了某種目的，用字母、數(shù)學(xué)及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式、不等式、圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。一般來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)建模過(guò)程如下：實(shí)際問(wèn)題模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)應(yīng)用設(shè)A，B是重力場(chǎng)中給定的兩點(diǎn)，且A點(diǎn)高于B點(diǎn)，B點(diǎn)不正好位于A點(diǎn)下方。2最速降線問(wèn)題一個(gè)在A點(diǎn)靜止的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿著怎樣的路線C無(wú)摩擦地從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)，才能使所花的時(shí)間最短？該曲線C稱為最速降線。如何求出該曲線？2.1問(wèn)題的提出考慮連接A,B的曲線顯然，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度這里表示弧長(zhǎng)。因此故所需時(shí)間為構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)曲線上一點(diǎn)處的切線與軸方向的夾角為；設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，重力加速度為；由牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律兩端同乘以，則兩邊積分，則有但已設(shè)初速為零，故，從而

.于是我們的問(wèn)題便是在條件，之下尋求使取最小的函數(shù)。由上可知，是的函數(shù)，同時(shí)是的函數(shù)；因此是函數(shù)的函數(shù)。工程上常常稱是的泛函。記為2.2求解問(wèn)題的初步設(shè)想先考慮從到的以下曲線：(i)直線段；(ii)圓弧(自己選擇一條)；(iii)拋物線(自己選擇一條)；分別計(jì)算所花的時(shí)間（練習(xí)）。這樣將分成個(gè)小段，每段長(zhǎng)度。將區(qū)間等份，每段長(zhǎng)度等于，而在區(qū)間內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)，使對(duì)成立。此時(shí)，曲線相應(yīng)地被分成小段：

2.3近似計(jì)算注意和不能改變，是固定點(diǎn)。記，是坐標(biāo)為的點(diǎn)。而其余及縱坐標(biāo)隨著曲線的不同而改變。如果比較大，并且每個(gè)都比較小，則可近似地看成從到的直線段。質(zhì)點(diǎn)在，兩點(diǎn)的速度分別是，；

在直線段內(nèi)的平均速度為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)這條直線段的時(shí)間是總時(shí)間近似地等于這樣即求出了的值．求合適的使最小.3.多元函數(shù)的極小值問(wèn)題（非線性方程組的計(jì)算問(wèn)題）3.1函數(shù)的極小值問(wèn)題與方程求根一元函數(shù)極值轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程求根多元函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求非線性方程組解的問(wèn)題設(shè)在取極小值，則設(shè)在取極小值，則即求f(x)=0的根.3.2Newton迭代法3.2.1Newton迭代公式

設(shè)

(x)在有根區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)可微,給定根的某個(gè)近似值x0（初值）,取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似為

(x0)+(x0)(x-x0)=0若(x0)0,其解為因?yàn)榈玫礁男碌慕浦祒1,一般地,在xk附近線性化方程為

(xk)+(xk)(x-xk)=0設(shè)(xk)0,其解為迭代格式稱為Newton迭代法.

xyox0y=(x)x1x2直線y=(x0)+(x0)(x-x0)就是y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代法也叫切線法.k,2,1,0,)()(1L=￠-=+kxfxfxxkkk設(shè)

(x)在根附近具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)充分接近的初值x0,Newton迭代法產(chǎn)生的序列xk

收斂于,且定理

例

用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根.3.2.2Newton迭代法的收斂性

例

用Newton迭代法求8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0的根,在1.5附近的根.為了簡(jiǎn)化計(jì)算

(xk),采用格式稱為簡(jiǎn)化Newton迭代法.oxyy=(x)

x0x1x2x3在區(qū)間I=[-,+]上,取M與(x)同號(hào),且M>1/2max|(x)|時(shí),簡(jiǎn)化Newton迭代法對(duì)x0I收斂.通常取M=(x0).簡(jiǎn)化Newton迭代法一般只具有線性收斂.

簡(jiǎn)化Newton迭代法非線性方程組的求解向量記法對(duì)于函數(shù)方程f(x)=0,如果(xk)0,其近似解為迭代格式稱為Newton迭代法.,2,1,0,)()(1L=￠-=+kxfxfxxkkkk上式改為Hessen矩陣?yán)肗ewton迭代法求解非線性方程組在初值(1,1)的解。例用Newton迭代法求解非線性方程組在初值(2,2)附近的解。理論問(wèn)題收斂性，收斂區(qū)域，修改方法穩(wěn)定性矩陣的范數(shù)矩陣條件數(shù)假設(shè)載荷很小，則發(fā)生的形變也很小，用u=u(x)表示在載荷f(x)作用下弦的平衡位置，則AB非線性4.弦振動(dòng)問(wèn)題（微分方程問(wèn)題）區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的全體，記為C[a,b];區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)可微函數(shù)的全體，記為C2[a,b];按照通常函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法兩種運(yùn)算,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.

結(jié)合邊界條件問(wèn)題1方程組的求解問(wèn)題微分方程的解是中的函數(shù)（或元素）。方程組的解是N－1維空間中的向量。時(shí)，該向量的極限是否為原方程的解？問(wèn)題2數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)參考書(shū)1.姜啟源.《數(shù)學(xué)模型》(第二版),

高等教育出版社.2.姜啟源等.《數(shù)學(xué)建?！?/p>