上海市松江區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若1，m，9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或22．已知雙曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或213．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.4．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件5．直線恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.6．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.87．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.328．過(guò)兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.9．直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.10．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝011．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；③曲線C的面積超過(guò)4π.A.0 B.1C.2 D.312．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．__________14．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.15．若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且與圓相切的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則雙曲線的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護(hù)宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者做環(huán)境保護(hù)知識(shí)宣講，求這名環(huán)境保護(hù)知識(shí)宣講志愿者中至少有名年齡在內(nèi)的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護(hù)知識(shí)宣講的志愿者，給甲、乙各隨機(jī)派發(fā)價(jià)值元、元、元的紀(jì)念品一件，求甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價(jià)值高的概率.18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若，求△ABC面積的最大值.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱底面ABCD，，，E為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，且（1）求證：；（2）求平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值20．（12分）已知圓C1圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切（1）求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程21．（12分）已知直線l：，圓C：.（1）當(dāng)時(shí)，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)恰好為，求k的值.22．（10分）直線經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計(jì)算即可得到【詳解】三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為為雙曲線，則離心率故選：2、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.3、A【解析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.4、B【解析】根據(jù)垂直關(guān)系的性質(zhì)可判斷.【詳解】由題，，則或，若，則或或與相交，故充分性不成立；若，則必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、A【解析】將直線方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)故選：A6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.7、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.9、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長(zhǎng)度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如下圖：因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以且，所以，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故選：D.10、D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，然后根據(jù)條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€的斜率為因?yàn)榍€f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D11、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②將點(diǎn)(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對(duì)稱；③曲線C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選：C.12、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由題得到，再整體代入化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)椋?，則故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】利用的關(guān)系，結(jié)合是等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，則，又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故也滿足，即，故，此時(shí)滿足，則.故答案為：.15、【解析】當(dāng)圓的直徑介于橢圓長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度范圍之間時(shí)，橢圓和圓有四個(gè)不同的焦點(diǎn)，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個(gè)焦點(diǎn)，故圓的直徑介于橢圓長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，即①.由得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得②.由①②得.故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.16、2【解析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，可得，在中，利用余弦定理構(gòu)造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，∴，∵為中點(diǎn)，則為中位線，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進(jìn)行編號(hào)，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀(jì)念品價(jià)值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橹驹刚吣挲g在、、內(nèi)的頻率分別為、、，所以用分層抽樣的方法抽取的名志愿者年齡在、、內(nèi)的人數(shù)分別為、、.記年齡在內(nèi)的名志愿者分別記為、、，年齡在的名志愿者分別記為、，年齡在內(nèi)的名志愿者記為，則從中抽取名志愿者的情況有、、、、、、、、、、、、、、，共種可能；而至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的情況有、、、、、、、、，共種可能.所以至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：甲、乙獲得紀(jì)念品價(jià)值的情況有、、、、、、、、，共種可能；而甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價(jià)值高的情況有、、、、、，共種可能.故甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價(jià)值高的概率為.18、（1）（2）【解析】（1）對(duì)，利用正弦定理和誘導(dǎo)公式整理化簡(jiǎn)得到，即可求出；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值為1，代入面積公式求面積.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于.由正弦定理知：即.所以.所以.所以因?yàn)?，，所?所以.因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由正弦定理知?由余弦定理知：，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以ab的最大值為1.所以，即面積的最大值為.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）依題意可得，再由，即可得到平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明即可；（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值；【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，則，，又，因?yàn)?，，平面，所以平面，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，所以，則，所以，故；【小問(wèn)2詳解】解：解：因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，因?yàn)榈酌?，所以的一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為20、（1）（2）或【解析】（1）由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由已知弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求k，則直線方程可求【小問(wèn)1詳解】∵原點(diǎn)O到直線的距離為，∴圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝1，代入，得，即直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即∵直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，圓的半徑為2，則圓心到直線l的距離，解得∴直線l的方程為，即綜上，直線l的方程為或21、（1）相離，理由見(jiàn)解析；（2）0或【解析】（1）求出圓心到直線的距離和半徑比較即可判斷；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)計(jì)算即可得出.【詳解】（1）圓C：的圓心為，半徑為2，當(dāng)時(shí)，線l：，則圓心到直線的距離為，直線l與圓C相離；（