第03講4.3對數(shù)（4.3.1對數(shù)的概念+4.3.2對數(shù)的運算）課程標準學習目標①理解對數(shù)的概念、掌握對數(shù)的性質。②掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化，能進行簡單的對數(shù)運算。③理解對數(shù)的運算性質和換底公式，能熟練運用對數(shù)的運算性質進行化簡求值。④能利用對數(shù)的運算性質進行解方程及與指、冪函數(shù)的綜合應用問題的解決。通過本節(jié)課的學習，要求掌握對數(shù)的概念及對數(shù)條件，熟練掌握指對數(shù)形式的互化，準確利用對數(shù)的運算法則進行對數(shù)式子的化簡與運算，會解決與對數(shù)相關的綜合問題.知識點01：對數(shù)概念1、對數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作,其中叫做對數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).特別的：規(guī)定,且的原因：①當時，取某些值時，的值不存在，如：是不存在的.②當時，當時，的值不存在，如：是不成立的；當時，則的取值時任意的，不是唯一的.③當時，當，則的值不存在；當時，則的取值時任意的，不是唯一的.【即學即練1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知對數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B2、常用對數(shù)與自然對數(shù)①常用對數(shù)：將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把記為②自然對數(shù)：是一個重要的常數(shù),是無理數(shù),它的近似值為2.71828.把以為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把記作說明：“”同+、-、×等符號一樣,表示一種運算,即已知一個底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運算,這種運算叫對數(shù)運算,不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的前面.知識點02：指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉化當且，知識點03：對數(shù)的性質①負數(shù)和零沒有對數(shù).②對于任意的且,都有，，；③對數(shù)恒等式:（且）【即學即練2】（2023·高一課時練習）的值是．【答案】/0.2【詳解】由對數(shù)的概念可得，故答案為：知識點04：對數(shù)的運算性質當且，,①②③（）④（）⑤（）【即學即練3】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）計算：

.【答案】【詳解】根據(jù)對數(shù)的運算法則，可得.故答案為：.知識點05：對數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【即學即練4】（2023·全國·高一假期作業(yè)）的值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】由題意可得：.故選：B.題型01對數(shù)概念判斷與求值【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）在中，實數(shù)a的取值范圍是A．B． C．D．【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，則x的值為．【變式2】（2023·高一課時練習）計算：；.題型02指數(shù)式與對數(shù)式相互轉換【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知，，計算=【變式1】（2023·高一課時練習）已知，則的值為．【變式2】（2023·高一課時練習）已知，則.題型03對數(shù)的運算【典例1】（多選）（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列運算正確的是（

）A．B．C．D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）化簡：．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）計算(1).(2).【變式1】（2023春·天津南開·高二統(tǒng)考期末）計算：.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）計算：(1);(2)題型04對數(shù)運算性質的應用【典例1】（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）若且，則（）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設，求證：.【變式1】（2023·高一課時練習）設，那么的值所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·廣東廣州·高一廣東實驗中學?？茧A段練習）（1）已知，計算；（2）．【變式3】（2023春·上海黃浦·高一統(tǒng)考期末）已知，，若用、表示，則．題型05換底公式的應用【典例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，求.（用表示）【典例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）計算：(1)；(2).【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若，，用a，b表示【變式2】（2023春·廣東云浮·高一?？茧A段練習）若，，則．題型06對數(shù)方程求解【典例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）方程的根為（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（2023·全國·模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．4【變式1】（2023·全國·高三專題練習），則.【變式2】（2023·高一課時練習）若，則．題型07有附加條件的對數(shù)求值問題【典例1】（多選）（2023春·福建·高一校聯(lián)考期末）已知，則正確的有（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·天津·高二學業(yè)考試）已知，，則的值為（

）A． B．3 C．4 D．8【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知實數(shù)a，b滿足且，則m＝.題型08對數(shù)的實際運用【典例1】（2023·全國·高一專題練習）中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農公式：．它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內信號的平均功率，信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農公式，若在帶寬為，信噪比為1000的基礎上，將帶寬增大到，信噪比提升到200000，則信息傳遞速度大約增加了（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．187% B．230% C．530% D．430%【典例2】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）音樂是由不同頻率的聲音組成的．若音1（do）的音階頻率為f，則簡譜中七個音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中后一個音階頻率與前一個音階頻率的比是相鄰兩個音的臺階．上述七個音的臺階只有兩個不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則．【變式1】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）地震的強烈程度通常用里震級表示，這里A是距離震中100km處所測得地震的最大振幅，是該處的標準地震振幅，則里氏8級地震的最大振幅是里氏6級地震最大振幅的（

）倍．A．1000 B．100 C．2 D．【變式2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？计谥校?023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號報道，我國最新量子計算機“悟空”即將面世，預計到2025年量子計算機可以操控的超導量子比特達到1024個.已知1個超導量子比特共有2種疊加態(tài)，2個超導量子比特共有4種疊加態(tài)，3個超導量子比特共有8種疊加態(tài)，，每增加1個超導量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若，則稱為位數(shù)，已知1024個超導量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個位的數(shù)，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．308 B．309 C．1023 D．1024A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學業(yè)考試）已知，那么（

）A．2 B． C． D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與3．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知，，則（

）A． B． C．25 D．54．（2023春·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.據(jù)此，地震震級每提高1級，釋放出的能量是提高前的（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍5．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．76．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┰O，，，則（

）A． B．C． D．7．（2023·天津·高二學業(yè)考試）已知，，則的值為（

）A． B．3 C．4 D．88．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則10．（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習）化簡：．12．（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）已知，則的值為.四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習）計算(1).(2).14．（2023·全國·高一假期作業(yè)）求值：(1)；(2)的值．15．（2023·全國·高一假期作業(yè)）求下列各式中x的值．(1)(2)B能力提升1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）已知，，且，則ab的最小值為．2．（2023秋·上海浦東新·高二?？计谀┒x為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則3．（2023·全國·高三專題練習）冪函數(shù)y=xa，當a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線（如圖），設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y=xa，y=xb的圖象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=.C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·高三專題練習）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過（

）天．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9 B．15 C．25 D．352．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）17世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘