第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分

第十章2021/5/91一、對面積的曲面積分的概念和性質(zhì)

前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分，對第一類曲線積分

其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量，在此質(zhì)量問題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小段曲線的弧長改為小塊曲面的面積，相應地得和式抽象概括得到對面積的曲面積分的概念2021/5/92實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.2021/5/931.定義2021/5/94其物理背景是面密度為

f(x,y,z)的曲面塊的質(zhì)量2.對面積的曲面積分的性質(zhì)

由上述定義可知其性質(zhì)與對弧長的曲線積分的性質(zhì)完全類似2021/5/95?。┚€性性ⅱ）可加性ⅲ）存在性曲面面積為2021/5/96定理:

設有光滑曲面f(x,y,z)在

上連續(xù),存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分面積元素的計算2021/5/97說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元投影：將曲面投影到坐標面得投影區(qū)域2)簡述為：一代、二換、三投影2021/5/98注：（1）這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)，否則可利用可加性，分塊計算，結(jié)果相加;（2）把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程即方程的表達形式;（3）將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù);（4）切記任何時候都要換面積元.2021/5/99例1.

計算曲面積分其中

是球面被平面截出的頂部.解:2021/5/910思考:若

是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則2021/5/911例2.

計算其中

是由平面坐標面所圍成的四面體的表面.解:

設上的部分,則與

原式=分別表示

在平面2021/5/912例1解2021/5/913例2計算與平面

z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解2021/5/914在xoy

內(nèi)的投影區(qū)域oxyz2021/5/915例3計算z=0與

z=H之間的圓柱面解2021/5/916由對稱性有2021/5/917例7.計算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計算較繁.2021/5/918注對面積的曲面積分有類似與三重積分的對稱性對稱于xoy

（或yoz

，或

zox

）坐標面若

f（x,y,z)關于z（或

x

，或

y

）是奇函數(shù)若f（x,y,z)關于z（或

x

，或

y

）是偶函數(shù)完全類似于三重積分的對稱性2021/5/919例5計算解2021/5/920例62021/5/921解（左右兩片投影相同）2021/5/9222021/5/923例8求均勻曲面的重心坐標解由對稱性2021/5/924故重心坐標為2021/5/925例9解2021/5/926例10計算解由奇偶對稱性上半球面下半球面2021/5/927另解由曲面形心公式注對面積的曲面積分的應用面積質(zhì)量2021/5/928重心轉(zhuǎn)動慣量2021/5/929三、小結(jié)1、對面積的曲面積分的概念;2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.（按照曲面的不同情況分為三種）思考題

在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個因子的幾何意義.2021/5/930思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).2021/5/931練習題2021/5/9322021/5/933練習題答案2021/5/934①