基于有限時間控制的永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)控制

1有限時間穩(wěn)定性控制方法近年來，控制理論在開發(fā)和應用于永通道電氣工程及其驅動理論方面取得了很大進展。通常PMSM采用線性模型和線性控制,但是永磁同步電機是一個典型的非線性多變量耦合系統(tǒng)。特別是實際的伺服電機系統(tǒng)容易受到未知負載和摩擦等非線性因素的影響。一般的線性控制器,不能很好地兼顧動態(tài)響應和抗干擾能力的要求,容易受電機參數(shù)變化和負載擾動等不確定性的影響。為了克服這些問題,近年來有許多新的非線性控制技術應用于永磁同步電機伺服系統(tǒng),如滑模變結構控制、自適應控制、自抗擾技術和智能控制等。從優(yōu)化的角度看,有限時間收斂的控制方法是時間最優(yōu)的控制方法。在控制系統(tǒng)中,收斂性能是一個比較關鍵的性能指標。系統(tǒng)的有限時間收斂是指系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時間內達到平衡點(然后會一直停留在平衡點上)。研究表明,對有不確定和擾動情況的系統(tǒng)進行控制時,和無限時間控制技術(指數(shù)收斂或一般其他的漸近收斂)相比,有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)在原點附近具有更快的收斂性,而且具有更好的魯棒性和抗干擾性。一般說來,有限時間控制器設計方法分為開環(huán)控制方法、非連續(xù)狀態(tài)反饋控制方法和連續(xù)狀態(tài)反饋控制方法。開環(huán)控制方法缺乏抗干擾能力和魯棒性,在實際應用中局限很大。以bang-bang控制為代表的非連續(xù)反饋控制方法存在控制器不易實現(xiàn),容易產生抖動等問題。因此基于系統(tǒng)狀態(tài)的連續(xù)反饋控制方法很值得研究[8,9,10,11,12,13,14]。本文首先根據永磁同步電機的數(shù)學模型,將給定的期望位置信號與反饋位置信號進行比較,得到二階的誤差信號模型。然后在文獻的基礎上,利用反步構造法,提出了一種基于反饋線性化和有限時間控制技術的永磁同步電機控制策略。對于本文所涉及的二階系統(tǒng),還沒有現(xiàn)成的基于有限時間控制的擾動分析結果。而在實際系統(tǒng)中,抗干擾性能是一個很重要的指標。本文重點通過數(shù)學分析,證明了當干擾存在時,位置誤差可以收斂到原點的一個區(qū)域內,同時還給出了該區(qū)域與控制參數(shù)之間的關系。通過調節(jié)控制器參數(shù)可以使狀態(tài)誤差收斂到一個小的區(qū)域內。與基于PD和反饋線性化的控制方案相比,該狀態(tài)誤差的收斂區(qū)域的界可以更小。2基于矢量控制的雙閉環(huán)解耦控制在假設磁路不飽和,忽略磁滯、渦流損耗的影響,空間磁場呈正弦分布的條件下,在隨轉子旋轉的d-q坐標系上,永磁同步電機的數(shù)學模型為˙id=-Rsid/Ld+npωiq+ud/Ld,˙iq=-npωid-Rsiq/Lq-npφfω/Lq+uq/Lq,˙ω=npφfiq/J-Bω/J-Τl/J+d1(t),˙θ=ω。}(1)式中:ud、uq為定子繞組d-q軸電壓;id、iq為定子繞組d-q軸電流;Ld、Lq為定子繞組直、交軸電感;Rs為定子電阻;φf為轉子永久磁體產生的磁勢;np為電機極對數(shù);J為轉動慣量;B為粘滯摩擦系數(shù),Tl為負載轉矩;ω電機轉子機械角速度;θ為電機轉角;d1(t)是系統(tǒng)的外部和內部干擾。由狀態(tài)方程可知,d-q軸電流id和iq之間存在耦合關系,不能獨立調節(jié),不易實現(xiàn)轉矩線性化控制。在實際控制過程中,為實現(xiàn)轉子磁場定向的矢量控制,通常采用id=0的控制策略。由于電流環(huán)的響應較快,采用PI控制,選取適當?shù)碾娏髡{節(jié)器參數(shù)時,一般能保證d-q軸電流反饋的信號id、iq可以較好地跟蹤給定信號i*d、i*q(假設iq對i*q的跟蹤誤差是有界的)。所以只要保持電流指令i*d=0,就近似實現(xiàn)了PMSM中電流的獨立控制,即實現(xiàn)了的轉速與電流的近似解耦。而只要用i*d來進行外環(huán)控制器的設計即可。圖1為基于矢量控制的雙閉環(huán)解耦控制結構。考慮到有限時間控制技術對系統(tǒng)擾動的有較好的抑制作用,有可能降低負載轉矩等擾動對位置跟蹤性能的影響,在位置環(huán)設計了基于有限時間控制技術的控制器,內環(huán)仍采用PI控制器。3永磁同步電機pmsm位置判斷控制目標為:在永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)中,設計一個基于反步構造的有限時間的控制器,使位置輸出能夠跟蹤給定位置信號。假設給定位置信號θ*二階可導,且各階導數(shù)有界。定義誤差狀態(tài)eθ=θ*-θ,由式(1)可以得出位置誤差系統(tǒng)的狀態(tài)方程為¨eθ=¨θ*-npφfi*q/J+Bω/J+Τl/J+d(t),(2)其中:d(t)=npφf(i*q-iq)/J-d1(t),是系統(tǒng)的總擾動。假設1系統(tǒng)(2)的總擾動d(t)是有界的,滿足|d(t)|≤l。(3)下面設計基于反步構造的有限時間反饋控制器,分析其抗擾性能以及控制律參數(shù)與位置誤差收斂域之間的關系。考慮非線性系統(tǒng)˙x=f(x),f(0)=0,x∈Rn,(4)其中f(x)為連續(xù)的向量函數(shù)。引理1對任何x,y∈R,0<p=p1/p2<1,其中p1,p2為互質的正奇數(shù),則有不等式|xq-yq|≤21-q|x-y|q成立。引理2對任何x,y∈R,若c,d∈R+,γ(x,y)為任意正的實函數(shù),則下列不等式成立:|x|c|y|d≤cγ(x,y)|x|c+d/(c+d)+cγ-cd(x,y)|y|c+d/(c+d)引理3對任何xi∈R,i=1,…,n,0<p<1,則不等式(|x1|+?+|xn|)p≤|x1|p+?+|xn|p成立。定理1若系統(tǒng)(2)滿足假設1,對于永磁同步電機(PMSM)位置伺服系統(tǒng),采用反饋控制器i*q=Jnpφf×[¨θ*+BJω+ΤlJ+(2-1q)21-1/qk1+q1k2(˙eqθ+kq1eθ)2/q-1]?(5)則置誤差eθ可以收斂到區(qū)域|eθ|≤(k3/k1)q/(q+1)(2l/((2-1q)21-1/qkq+11k3))q/(2-q)。(6)其中:1<q=q1/q2<2,q1和q2是正奇數(shù);l為干擾d(t)的界,k1>0,且k2>21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q+1k1+qq+1(4(1+q)k1)1/q,k3=k2-21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q-1k1-q1+q(4(1+q)k1)1/q。證明令x1=eθ,x2=˙eθ,利用反饋線性化,則系統(tǒng)(2)化為雙積分線性系統(tǒng)為˙x1=x2,˙x2=u+d(t),(7)其中u=¨θ*-pφfi*q/J+Bω/J+Τl/J。取Lyapunov函數(shù)V1(x1)=x21/2,求導可得˙V1(x1)=x1x2≤x1(x2-x*2)+x1x*2,(8)其中,k1>0,1<q=q1/q2<2,q1和q2是正奇數(shù)。設計x*2=-k1x1/q1,則有˙V1(x1)≤x1(x2-x*2)-k1x1+1/q1。(9)取Lyapunov函數(shù)V2(x1,x2)=V1(x1)+1(2-1q)21-1/qk1+q1∫x2x*2(sq-x*q2)2-1qds,于是有˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1+q1(?x*q2)?x1x2∫x2x*2(sq-x*q2)1-1qds+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2d(t)。(10)其中ξ2=xq2-x*q2。又因為?x*q2/?x1=-kq1,|d(t)|≤l,由式(9)整理可知˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1x2∫x2x*2(sq-x*q2)1-1qds+1(2-1q)21-1/qkq+11ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2l。(11)即˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1|x2||x2-x*2|ξ1-1/q2+1(2-1q)21-1/qkq+11ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2l。(12)由引理1可知|x2-x2*|≤21-1q|ξ2|1q,(13)故V˙2≤-k1x11+1/q+21-1q|x1||ξ2|1/q+1k1|x2||ξ2|+1(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1qu+1(2-1q)21-1/qk11+qξ22-1ql。(14)由引理2得21-1/qx1(x2-x2*)≤21-1/q|x1|ξ21/q≤k1x11+1/q/4+(23-1/qqk1(1+q))qξ21+1/q。(15)注意到x2=(ξ2+x2*q)1q,由引理3可得|x2|≤|ξ2|1q+|x2*|=|ξ2|1q+k1|x1|1/q。由引理2得|x2ξ2|/k1≤ξ21+1/q/k1+|x1|1/q|ξ2|≤ξ21+1/q/k1+k14x11+1/q+11+q(4k1(1+q))1/qξ21+1/q。(16)整理式(14)、(15)、(16)得V˙2≤-k1x11+1/q+k14|x1|1+1/q+21-1q11+q(23-1/qqk1(1+q))qξ21+1/q+1k1ξ21+1/q+k14x11+1/q+qq+1(4(1+q)k1)1/qξ21+1/q+1(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1q(u+l)。(17)若控制律u設計為u=-(2-1/q)21-1/qk11+qk2(x2q+k1qx1)2/q-1,(18)其中,k1>0,k2>21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q+1k1+qq+1(4(1+q)k1)1/q。代入式(17)則有V˙2≤-k12x11+1/q-k3ξ21+1/q+l(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1q,(19)其中:k3=k2-21-1/q11+q(23-1/qqk1(1+q))q-1k1-q1+q(41+q)1/q。令Ω1={(x1,x2):|ξ2|≤(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)q2-q}。若(x1,x2)∈ˉΩ1,易驗證V˙2≤-(k1x11+1/q+k3ξ21+1/q)/2。(20)初始狀態(tài)(x1(0),x2(0))存在兩種情況。一種情況是在Ω1外,由于V˙2<0,存在t1>0使得(x1(t1),x2(t1))∈bdΩ1,其中bdΩ1是Ω1的邊界;另一種情況是初始狀態(tài)在Ω1內,即(x1,x2)∈Ω1。如果(x1,x2)在Ω1內且不超出其范圍,就不需要證明。我們只需要證明(x1,x2)會脫離Ω1的情況。對于這種情況,仍然存在t1>0使(x1(t1),x2(t1))∈bdΩ1。下面證明(x1(t),x2(t))∈Ω1對于任意t∈[t1,∞)成立。令m=min(x1,x2)∈bdΩ1k3ξ21+1/q/2,即m=k32(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)1+q2-q。對于任意(x1(t),x2(t))∈bdΩ1有V˙2≤-m<0。由于V2(x1,x2)是連續(xù)的,于是存在s1>0使(x1(t),x2(t))∈Ω1對于t∈[t1,t1+s1)成立。假設存在h∈[t1,+∞),使(x1(h),x2(h))∈ˉΩ1,得到存在δ∈(t1,h),使(x1(δ),x2(δ))∈bdΩ1成立。注意到V˙2(x1(δ),x2(δ))≤-m<0和V2的連續(xù)性,即存在s2>0,使V2(x1(t),x2(t))在[δ-s2,δ)上是單調遞減的。因此有m=k3ξ21+1/q(δ)/2≤k3ξ21+1/q(δ-s2)/2<m,這是矛盾的。因此對任意t∈[t1,+∞),有狀態(tài)(x1(t),x2(t))∈Ω1。注意到|ξ2|≤(2l/((2-1q)21-1/qk1q+1k3))q/(2-q),t>t1?？傻肰˙2≤-k12x11+1/q-k3ξ21+1/q+l(2-1q)21-1/qk1q+1(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)2q-12-q,t>t1。(21)若k12x11+1/q≥l(2-1q)21-1/qk1q+1(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)2q-12-q,則有V˙2≤-k3ξ21+1/q。所以,x1將收斂于區(qū)域|x1|≤(k3/k1)q/(1+q)(l/((2-1q)21-1/qk1q+1k3))q/(2-q)。(22)將式(18)代入式(7)可得位置環(huán)的控制器為iq*=Jnpφf×[θ¨*+BJω+ΤlJ+(2-1q)21-1/qk11+qk2(e˙θq+k1qeθ)2/q-1]。證畢。當式(18)取q=1時,控制律將退化為PD控制器,即u=-k12k2(x2+k1x1)。(23)此時,永磁同步電機位置環(huán)的控制器為iq*=J[θ¨*+Bω/J+Τl/J+k12k2(e˙θ+k1eθ)]/(npφf)?(24)其中,k1>0,k2>3/k1,采用和定理1相似的證明方法,可以證明系統(tǒng)的狀態(tài)將會收斂于區(qū)域|x1|≤(k3/k1)12(2l/k12k3),(25)其中k3=k2-3/k1。通過比較式(22)和式(25)可知,兩種控制器設計下穩(wěn)態(tài)誤差收斂區(qū)域調節(jié)性能的差別。在實際應用中,為了提高系統(tǒng)抗擾動能力,一般調節(jié)增益到盡可能的大,這樣可以保證穩(wěn)態(tài)誤差界比較小,如調節(jié)k1、k3使得式(22)中(2-1/q)21-1/qk11+qk3>2l、k1、k3越大,穩(wěn)態(tài)誤差界越小。然而,考慮到能量限幅和穩(wěn)定性因素,k1、k3不能無限制的增大。因此,僅依靠增益調節(jié)的方法調節(jié)能力有限。但由式(25)可知,基于有限時間控制的控制系統(tǒng)誤差收斂域中存在冪項q/(2-q),調節(jié)參數(shù)q足夠接近2時,可以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差區(qū)域任意小。在控制能量不需要明顯增大的情況下,進一步提高了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和抗干擾性能。4基于pd控制的永磁共步電機位置控制比較在Matlab下對永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)進行了仿真。仿真中所采用永磁同步電機的參數(shù)為:額定功率P=0.75kW,d-q軸電感L=0.01H,額定轉速nN=2500r/min,極對數(shù)np=4,轉子慣量J=7.24×10-4kg·m2,定子電阻Rs=1.9Ω,阻尼系數(shù)B=0.02μN·m·s·rad-1,轉子永磁磁鏈ψf=0.353Wb,額定力矩TN=2.67N·m。在電流環(huán)都采用PI控制器情況下,永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)的位置環(huán)分別采用基于反饋線性化和反步構造有限時間控制技術的控制器(5)及基于PD和反饋線性化的控制器(24),對兩者進行了比較。其電流環(huán)系數(shù)相同,均為比例增益kp=30,積分增益kI=600。為了公平比較,兩種控制器參數(shù)的選取基于原則:①滿足定理1條件;②控制量在同一個級別;③控制效果相對較優(yōu)。根據參數(shù)調節(jié)經驗,基于有限時間控制器的參數(shù)選取為k1=12,q=21/17,k2=1.8?；赑D控制的控制器參數(shù)選取為:k1=6.08,k2=7.04。給定位置信號為θ=20π(rad),干擾信號為sin(10t)+cos(10t),在1.5s時突加負載轉矩,突加負載轉矩Tl=10N·m。圖2(a)、(b)是兩種控制器情況下的階躍響應對比。圖2(a)中雖然二者都有較好的控制效果,沒有超調且很快到達穩(wěn)態(tài),但在相同級別的控制量(見圖3)情況下,基于有限時間的控制器具有更快的響應時間。在干擾信號作用下,穩(wěn)態(tài)波動也更小,抗擾動性能較好。圖2(b)是兩種控制器的抗負載擾