關(guān)于多面體和旋轉(zhuǎn)體的教學(xué)

第2章是根據(jù)《十年高中》課程第2卷章《空間圖象》的相關(guān)內(nèi)容編寫的。本文主要研究各種常見(jiàn)的多面體和旋轉(zhuǎn)體。本章分三大節(jié):“多面體”、“旋轉(zhuǎn)體”、“多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積”。授課時(shí)數(shù)為29課時(shí)。通過(guò)本章教學(xué),使學(xué)生掌握一些最常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)、球、球缺的概念、性質(zhì)和畫法,掌握它們的表面積和體積公式的推導(dǎo)方法,并能運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)的問(wèn)題;在教學(xué)過(guò)程中,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和計(jì)算能力。這次編寫,對(duì)十年制課本這一部分的基本內(nèi)容和體系都未作大的改動(dòng),只是根據(jù)重點(diǎn)中學(xué)教學(xué)計(jì)劃和老師們幾年來(lái)在教學(xué)過(guò)程中提出的意見(jiàn)和建議,在內(nèi)容上作了適當(dāng)?shù)某鋵?shí),又增加了“擬柱體”作為選學(xué)內(nèi)容,在講法和敘述上作了一些改進(jìn),并對(duì)習(xí)題作了適當(dāng)調(diào)整。下面介紹一下我們?cè)诰帉憰r(shí)的一些想法和做法。一多面體和旋轉(zhuǎn)體的一般概念的細(xì)化和形式化在內(nèi)容的安排和處理上,是遵循由特殊到一般的原則。例如,在“多面體”這一大節(jié)中,幾種簡(jiǎn)單的多面體是我們研究的重點(diǎn),先研究棱柱、棱錐、棱臺(tái)(主要是直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)),然后在這個(gè)基礎(chǔ)上,提出了一般多面體的概念,并指出了它們之間的關(guān)系。又如,在第二大節(jié)“旋轉(zhuǎn)體”中,也是先研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)(只限于講直圓柱、直圓錐),然后再講一般的旋轉(zhuǎn)體。這樣既有利于學(xué)生對(duì)多面體和旋轉(zhuǎn)體概念的理解,又突出了重點(diǎn)?？紤]到學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要,這次編寫時(shí),對(duì)多面體和旋轉(zhuǎn)體的一般概念,作了一些充實(shí)。課本在講述每種簡(jiǎn)單幾何體時(shí),一般是從實(shí)例引入,通過(guò)觀察分析,抽象出它們的定義,然后研究這些幾何體的性質(zhì)、畫法等。各種幾何體的性質(zhì),都可以根據(jù)定義和第一章線面關(guān)系定理推導(dǎo)出來(lái),由于證明過(guò)程比較簡(jiǎn)單,課本沒(méi)有一一寫出。教師在講課時(shí),應(yīng)說(shuō)明或引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出證明的根據(jù),這樣做,一方面可使學(xué)生了解圖形性質(zhì)的理論根據(jù),另一方面又可以使學(xué)生加深對(duì)第一章內(nèi)容的理解。幾種簡(jiǎn)單多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式,是通過(guò)展開(kāi)圖求得的,因?yàn)檎归_(kāi)圖是平面圖形,學(xué)生比較熟悉,所以把它們分散在各種幾何體的內(nèi)容中講述。各種多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積,都是以祖暅原理為基礎(chǔ)證明的,我們把它們集中講述,統(tǒng)一處理。幾年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐證明,這樣安排比較緊湊,可節(jié)省時(shí)間。考慮到擬柱體是一種較重要的多面體,生產(chǎn)中也常用到,另外它的體積公式推導(dǎo)雖然較繁,但又不能象其他旋轉(zhuǎn)體的體積那樣放到微積分里在解決,而且它的體積公式又與柱、錐、臺(tái)的體積公式有密切關(guān)系,所以這次把它作為選學(xué)內(nèi)容列入本章。對(duì)于學(xué)生基礎(chǔ)較差,時(shí)間比較緊的班級(jí),可不選學(xué),這不會(huì)影響學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容。二利用《課》的概念進(jìn)行這一問(wèn)題,發(fā)展學(xué)生不斷在本章教學(xué)中,不僅要教給學(xué)生必要的基礎(chǔ)知識(shí),而且要培養(yǎng)學(xué)生的能力,應(yīng)使學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和計(jì)算能力都有所發(fā)展。立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要學(xué)科,通過(guò)第一章的學(xué)習(xí),學(xué)生已初步形成了一定的空間想象力,在第二章,要通過(guò)研究各種簡(jiǎn)單幾何體,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生、的這種能力。對(duì)于每種幾何體,我們總是先給出它們的圖形,同時(shí),習(xí)題中要求學(xué)生動(dòng)手制作模型,通過(guò)觀察圖形和模型,訓(xùn)練學(xué)生看圖想象實(shí)物的能力,然后再學(xué)習(xí)根據(jù)圖形的性質(zhì)畫出它們的直觀圖,訓(xùn)練學(xué)生用直觀圖表達(dá)簡(jiǎn)單幾何體的能力。因此,課本中直觀圖的畫法的內(nèi)容,以及習(xí)題中要求學(xué)生動(dòng)手的題目,要給以重視。這次編寫,我們又充實(shí)了一些簡(jiǎn)單幾何體的某些截面性質(zhì),通過(guò)截面可以對(duì)幾何體的特征加深認(rèn)識(shí),有助于空間想象能力的提高。但是,課本僅限于討論簡(jiǎn)單幾何體中垂直底面的截面和平行底面的截面,其他截面一般不作要求。本章概念比較多,給概念下定義的過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的過(guò)程。教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察實(shí)物和模型,抓住這幾種幾何體的本質(zhì)屬性,得出它們的定義,必要時(shí),也可以結(jié)合課本中的練習(xí)題,通過(guò)一些反例,幫助學(xué)生舍棄非本質(zhì)屬性,使定義更為準(zhǔn)確。本章的定理,很多采取了先作探索性證明,而后得出結(jié)論,最后寫出定理的敘述方法。例如,對(duì)于球的體積公式,過(guò)去是先提出定理,然后加以證明,按這種講法,往往會(huì)使學(xué)生處于被動(dòng)地位。這次編寫時(shí),我們首先在前面習(xí)題十中安排了一個(gè)習(xí)題,提前作了準(zhǔn)備,證明時(shí)改用探求的方法,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)祖暅原理,一步步推出球的體積公式,這樣學(xué)生學(xué)習(xí)就會(huì)主動(dòng)一些,整個(gè)證明的思路也就清晰了。在本章的例題和習(xí)題中,又增加了一些需要先加以證明再計(jì)算的題目,用以提高學(xué)生的推理論證能力。我們想,通過(guò)以上的做法,加之老師們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練,學(xué)生的邏輯思維能力會(huì)有所發(fā)展。本章的計(jì)算題比較多,許多聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用題屬于近似計(jì)算題,這一章的教學(xué),負(fù)有對(duì)學(xué)生進(jìn)行近似計(jì)算訓(xùn)練的任務(wù)。因?yàn)檫@一屆學(xué)生在初中沒(méi)有學(xué)過(guò)近似計(jì)算法則(十年制大綱未作要求),所以,目前我們把有關(guān)近似計(jì)算的幾條法則,用附錄形式附在高中代數(shù)(第一冊(cè))后面。通過(guò)本章例題的教學(xué)和課后練習(xí),使學(xué)生能按近似計(jì)算的法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似數(shù)四則運(yùn)算和乘方開(kāi)方運(yùn)算。為了便于教學(xué),我們把這些題目分為三類,分別作不同要求。第一類是不涉及實(shí)際問(wèn)題的準(zhǔn)確數(shù)計(jì)算,結(jié)果仍是準(zhǔn)確數(shù)(結(jié)果中可以保留“π”、“”或分?jǐn)?shù)等)。第二類是實(shí)際問(wèn)題,但題目中給出的數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確數(shù)(如設(shè)計(jì)數(shù)字),由于它屬于實(shí)際問(wèn)題,結(jié)果常要求用近似數(shù)表示。對(duì)于這一類題目,我們一般對(duì)結(jié)果的精確度提出了要求,為了達(dá)到這個(gè)要求,計(jì)算中得出的中間結(jié)果,一般要比結(jié)果應(yīng)保留的數(shù)字多一位。第三類也是實(shí)際問(wèn)題,但所給的數(shù)據(jù)是近似數(shù),對(duì)于這一類題目,我們不提出精確度的要求,應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)法則進(jìn)行計(jì)算。由于近似計(jì)算問(wèn)題比較復(fù)雜,所以希望老師們不要作過(guò)多的補(bǔ)充,也不要提高要求,以免增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)。三從本課題的數(shù)量和種類來(lái)看,有兩種主要這次編寫,對(duì)十年制課本中這一部分的習(xí)題作了較大的調(diào)整。首先,在練習(xí)中增加了一些鞏固基本概念的問(wèn)題,習(xí)題中刪去了一些意義不大,純屬于套公式的簡(jiǎn)單題,補(bǔ)充了一定數(shù)量的證明題,或需要先證明而后計(jì)算的計(jì)算題。其次,在基本題中,同一