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向量極化恒等式極化恒等式：“/=（￥|2_（乞斗變式：心呼-呼如圖，在/\ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，KlB.IC+-A&.例（1）如圖，在i\ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E、F是.10上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BACA=4.BFCF=-1，則旋的值為■用 D用 D答案I解析設(shè)BD=DC=m,AE=EF二尸口二口則-10=3/?.根據(jù)向量的極化恒等式，\ABAC=.U）2-DB—9滬一臚=4,FBFC=FD-DB2=n2-m2=-l.聯(lián)立解得滬=右臚=蒙7因li\jBEC=Eb-DB2=4n2-nr/7即BECE二，⑵如圖所示，正方體曲CD—d/iCQi的棱長(zhǎng)為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球而上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，加兩的取值范用是 .答案[0,2]解析由正方體的棱長(zhǎng)為2,得內(nèi)切球的半徑為1,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2丁1當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大

時(shí)，為球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為O,則PMPN=PO2-Oki=PO2-1.由于P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，故OPW[1,<3],所以PMPN[0,2].■能力提升- 利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)數(shù)董枳進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問題.O跟蹤演練.已知在3c中，P。是邊ABk一定點(diǎn)，滿足且對(duì)于邊.0上任一點(diǎn)P,恒有PBPC不加貝9()A.Z.1BC=90° B.Z5JC=90°C?AB—AC D?AC—BC答案D解析如圖所示，取月E的中點(diǎn)E,因?yàn)镻。B=#AB,所以Po為E8的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)則DPo為4CEB的中位線，DPo//CE.根據(jù)向量的極化恒等式有西氏=PD2-DB2P田PP=Pi)-DB2.又PBPCPBP-C,則|PDl'Pobl恒成立，必有DPoL拐?因此CEL拐，又E為，拐的中點(diǎn)，所以AC=BC.2?如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為bA,刀分別在x軸，y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則荒沉的最大值是 ?答案2解析如圖，取BC的中點(diǎn)-Q的中點(diǎn)N,連接MA；O

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