章節(jié)分析：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有代數(shù)形式和幾何形式的"雙重身份”，能融數(shù)形于一體，是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁，能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識相結(jié)合，形成知識交匯點(diǎn)?向■是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中有重要應(yīng)用.向量有深刻的幾何背景是解決幾何問題的有力工具，向量概念引入后，許多圖形的基本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系僦如平行、垂直、夾角、距離等.對本章的學(xué)習(xí)要立足基礎(chǔ)＞強(qiáng)化運(yùn)算，重視運(yùn)用，能根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進(jìn)行運(yùn)篦并能運(yùn)用向量知識解決平面幾何中的一些證明和計(jì)算問題.平面向量的概念、幾何運(yùn)算和基本定理1?向量的相關(guān)概念冶TIf童'匪有大小盤有芳佝的童甲.1.■■■?.：土女.k「或甲有向娃段的起點(diǎn)與舞點(diǎn)的大寫宇母表示如孫口哼口繭1方向是彳I意眥哮向量和-=fj旬星平行噲為1廠羊洼勺丘至平方洪逖向重77口館応應(yīng)牛尺門1「哼口生任何平方向重經(jīng)過平稲后啟、可脯癱1同一條安“￡匡叩豐三三刁欄n羽門繭.t0^T重址過平移怎臭鯛亜合屮記2；=-口相反向童1與向星丘長度相等?方向相反的向重,-L]7v.7nt=.-n^LF二L?丘星的模向車的大小月陸童的模帳度片記作:禺巫P2.向量的線性運(yùn)算工在運(yùn)箕；+￡蘇運(yùn)萬-加1三角麟則2.平行四佛則3■多丑法訓(xùn)理15三角恿陸肚同起點(diǎn)璉接兩向量蜒點(diǎn)厲向扌前被拡向量卩1?欖婁譽(yù)訂1=1IIa1:方習(xí)關(guān)吾0珞運(yùn)3X^i=（e+^=j-ts結(jié)血+E）+c二門+區(qū)一巧口向重加伺生互丸逆運(yùn)聲—?-b-1-f二-。二皿+:-二】li血;=丁…口」Aij+A)=:皿-?.i■+■■+—?仇+咖=5+3allb且同向:|lj4-6|=|l2-|jj；慮且反向:|a41=||a-|A|parb不平行|a-Fi＜匸|+可串3.向量的共線定理非零向量a與向量b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實(shí)數(shù)入，使b=九a?！由旖Y(jié)論:A,B,C三點(diǎn)共線oAB//ACO當(dāng)且僅當(dāng)有唯一壯R,使AB二九AC4?平面向量的基本定理_如果。?是一個平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對這平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)知禺__一格式-可編輯-感謝下載支持使:a二九e+九r，其中不共線的向量e,r叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.11J二12__一-_練習(xí)：(1)已知e,是平面向量的一組基底,a=xe+yz,b=xe+yr,__12__11122122①若a=b當(dāng)且僅當(dāng)x=x且y=y?②若a=0,則x=x=0.121212(2)如圖OA,OB為單位向量，IOC\=2*3，其中OA,OB的夾角為120。，OA,OC的夾角為30。。若OC=XOB+^OA，求九小的值。BS產(chǎn)BM5?—個常用結(jié)論:△ABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，則有:2AM=AB+AC.練習(xí):設(shè)AABC的重心為點(diǎn)G，設(shè)AB=a,AC=b.試用a,b表示AG.典型例題分析：知識點(diǎn)一:基本概念例1.)內(nèi)的所有向量都可以表示成1.如果一〈是平面a內(nèi)兩個不共線向量，那么下列各說法錯誤的有)內(nèi)的所有向量都可以表示成九e+卩丁(尢小GR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量;平面a一1_2Xe+e(尢，卩gR)。TOC\o"1-5"\h\z12一一—對于平面a中的任一向量a使a=九e+卩e的九，》有無數(shù)多對；一__12一若向量Xe+卩e與Xe+卩e共線，則有且只有一個kgR,Xe+pe=k(Xe+pe)111鼻J1_222122……若實(shí)數(shù)X,p使Xe+pe=0，則X=p=0.12A.①②B.②③C.③④D.②練習(xí):1)二判斷下列命題的真假向量AB與向量CD為共線向量，則A,B,C,D四點(diǎn)共線.若AB=CD則四邊形ABCD為平行四邊形.若向量a〃b,bc則a||c.a,b是兩個向量，則\a+b\<\a\+\b\當(dāng)且僅當(dāng)：,b不共線時成立知識點(diǎn)二:向量的線性運(yùn)算例1.化簡：⑶OA+0C+B0+CO;(6)AB-AD-DC;(1)AB+⑶OA+0C+B0+CO;(6)AB-AD-DC;(4)AB-AC+BD-CD;⑸OA-OD+AD;(7)NQ+QP+MN-MP.例2?如圖，四邊形ABCD,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，求證:AB+DC=2EF.練習(xí)：(1)已知△ABC三個頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若PA+PB+PC=AB，則()A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在AB邊所在直線上巴P在線段BC上⑵設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn)測OA+OB+OC+OD=AOMB.2OMC.3OMD.4OM知識點(diǎn)三:平面向量基本定理和共線定理>?―>>>—>??—>>>~*■~*■~*■例1.1)已知e,e為不共線向量,a=3e-2e,b=-2e+e,c=7e-4e用a,b表示c.12丄乙一丄2一一122)設(shè)e,e是兩個不共線的向量，已知AB=2e+ke,CB=2e+3e,CD=2e-e若A,B,D三點(diǎn)共線,12121212求k的值.

uyord格式-可編輯-感謝下載支持例2.證明:平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線存在兩個均不為o的實(shí)數(shù)m,n,使OA=mOB+nOC,且m+n=1.練習(xí):證明:平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線°存在三個均不為0的實(shí)數(shù)l,m,n,^使lOA+mOB+nOC=0,^且l+m+n—0.向量數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算2)若a-b2)若a-b—b-c,則a—c4)(a土b)2—a2土2a-b+b26)0-a—0,0-a—0A.e—(0,0),e—(-2,1)12C.e—(2,-5),r—(-6,4)12B.e—(4,6),e—(6,9)1213D.e—(2,-3),e—(亍-)1224向量幾何表示或運(yùn)算向量運(yùn)算與關(guān)系向量坐標(biāo)表示或運(yùn)算平行四邊形法則或二角形法則向量加減法—>—>■a土b—(x土x,y土y)1212實(shí)數(shù)九與向量a的積是個向量，記作九a實(shí)數(shù)與向量的積九a—X(x,y)—(Xx,Xx)1112a-b—a]”]cos<a,b>數(shù)量積a-b―?―?a-b—xx+yy1212存在唯的實(shí)數(shù)九，使a—九b(b豐0)向量a//b(b主0)xy——^nxy—xyxy122122a-b—0―?—?向量a丄bxx+yy—01212a—\la^(a2—a2)―?向量的模aa—&x2+y2H11一子acosva,b>—=a-bb―?―?向量夾角＜a，＞-子xx+yycosva,b>—f12訂2Jx2+y2Jx2+y2V11*22AB//BCoAB-九BCA,B,C三點(diǎn)共線OA—xOB+yOC,且x+y—1良已知向量a,b,其中a-Sy1),b-宀y?):向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示?在引入向量的坐標(biāo)表示后，即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合了起來練習(xí)：1、判斷下列命題的真假1)若向量a//b,b//c,則a//c?3)(a-b)-c—a-(b-c),5)a—boa—b8)已知a//b,a—3,b—4,則a在b方向上的投影為二、典型例題講解例1:1)已知a—已知a—(4,2),b—(x,3).若a//b，則已知a—(4,2),b—(x,3).若a//b，則x—；若a丄b，則x—.已知A(4,1),B(7,-3),則與AB同向的單位向量是—，與AB平行的單位向量是已知點(diǎn)A(-1，5)和向量a=(2,3)，若AB=3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為已知a—(5,-5),b—(-6,-3),c—(1,8)，若a—mb+nc,求實(shí)數(shù)m,n.已知a—(1,0),b—(2,1)，則Ia+3bI—7)下列各組向量中，可以作為平面基底的是()wordword格式-可編輯-感謝下載支持(1)a在b方向上的投影(2)(3a-2b)?(a-2b)(3)a+b2)4、在直角△ABC中,CD是斜邊AB上的高，則下列等式不成立的是()A.|AC|2=AC-ABB.|BC|2=BA-BCc.|AB|2=Ac-CdD|CD|2=(AC--BC)?|AB|23)已知向量e,e夾角為60o，|e|=2,|e=1,a=2e+7e,b=e+te若a與b的夾角為銳角，求t的12121212范圍。-—?―?―>—?―?—?—?練習(xí):1)已知向量a,b滿足a=1,b=2,a—b=2,則a+b=2)在AABC中，已知AB=&BC=7,ZABC=120°,求邊AC的長度例2:1)已知A(2,3),B(4,—3)，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且IAP1=|lPBI,求點(diǎn)P的坐標(biāo)(若點(diǎn)P在直線AB上)2)在AABC中，點(diǎn)P在BC上，且Bp=2pC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA=(4,3),PQ=(1,5)，則BC=_例3:已知向量m=(a—sin0，—2),rn=(*,cos0).(I)當(dāng)a=計(jì)，且m丄蘇時,求sin20的值；(II)當(dāng)a=0,且m〃n時，求tan0的值.解：(I)當(dāng)a=￥時,m=(￥-sin0，—2),3分?/m丄n,由m-n=0,得sin0+cos0=<^3分2上式兩邊平方得1+sin20=2,因此,因此,sin20=—*6分(II)當(dāng)a=0時,m=(—sin0,—1),9分由m〃n得sin0cos0=—即sin209分4212分?/sin20=2tan0,???tan0=2+、3或2-飛12分1+tan20TOC\o"1-5"\h\z「33?xx兀例4、已知向量a=(cos—x,sinx),b=(cos—,—sin).且xg[0,—]^2^2^2^2^2~?―?—?—?—>—?1)當(dāng)a丄b時，求x的集合；2)求a+b;3)求函數(shù)y=a-b—4|a+b|的最小值4)求函數(shù)y=a-b—2九|a+b|的最小值5)若fC)=a-b—2九a+b的最小值是—二,求實(shí)數(shù)九的值.練習(xí):1)設(shè)a,b是不共線的兩非零向量，若|a|=|b|,且a,b夾角為60°,求t為何值時—tb|的值最小.33xx兀兀2)已知向量a=(cos2x,sin2x),b=(cos2,-sin2)且x丘[—蘆].(1)求a?b及|a+b|；⑵若f(x)=a?b-|a+bI,求f(x)的最大值和最小值.word格式-可編輯-感謝下載支持向量與三角形平面向量的應(yīng)用十分廣泛.由于三角形中的有關(guān)線段可以視為向量，線線之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系以及邊角關(guān)系均可以用向量表示,這就為向量與三角形的溝通、聯(lián)系、交匯提供了條件,在這類問題中，往往要涉及到向量的和差運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及向量的共線、垂直、向量的模等性質(zhì)，因此解題思路較寬、方法靈活、綜合性強(qiáng).三角形之心一、外心.（下左圖）三角形外接圓的圓心，簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點(diǎn).二、重心（下左圖）三角形外接圓的圓心，簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點(diǎn).二、重心三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心.掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍.（上右圖）三、垂心三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（下左圖）三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（下左圖）三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn).三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.（上右圖）知識點(diǎn)一、三角形形狀與向量1、已知向量OP,OP,OP滿足條件OP+OP+OP=0,且IOP1=OP1=1OP1=1，求證AP1231231231正三角形.2、O是AABC所在平面上的一點(diǎn)，若（OB—OC）-（OB+OC—20A）=0,則AABC是三角形..AbACac?bc3、已知非零向量AB,AC和BC滿足（藺+前）-BC=0且IACI.IBCI=「則AABC為.OB+0C—2OA,則AABC的形狀為（4、若OB+0C—2OA,則AABC的形狀為（A.等腰直角三角形B.A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形ABACABAC15、已知非零向量AB與AC滿足（+）-BC=0且=，則△ABC為IABIIACIIABIIACI2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形思路分析：1.根據(jù)四個選擇支的特點(diǎn):本題可采用驗(yàn)證法來處理，不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意,則可同時排除其他三個選擇支，故選D.

__lword格式-可編輯-感謝下載支持_lABacabac2.由于+所在直線穿過AABC的內(nèi)心，則由（+）?BC二0知，AB=AC（等腰三IABIIACIIABIIACIABAC1八兀角形的三線合一定理）；又二，所以ZA二〒，即厶ABC為等邊三角形，故選D.IABIIACI23知識點(diǎn)二、三角形的“心”與向量重心在厶ABC中,AD為BC邊上的中線，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得AB+AC二2AD.這說明AB+AC所在的直線過BC的中點(diǎn)D,從而一定通過AABC的重心.另外，G為AABC的重心的充要條1—件是GA+GB+GC=0或°G=3（OA+OB+OC）,（其中O為AABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），這也是兩個常用的結(jié)論.例1.已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是AABC的外心，動點(diǎn)P滿足OP二1［（1-X）OA+（1-X）OB+（1+2九）OC）］（XgR），則P的軌跡一定通過AABC的（）A.內(nèi)心B.垂心C.外心D.重心思路分析:取AB邊的中點(diǎn)M,則OA+OB=2OM,由OP=3［（1-九）OA+（1-九）OB+（1+2九）OC）］（九eR）可得3OP=2OM+OC+2九（OC-OM）=3OM+（1+2九）MC,所以1+2九—MP=3MCGeR）,即點(diǎn)P的軌跡為三角形中AB邊上的中線，故選D.垂心TOC\o"1-5"\h\zABAC.在AABC中，由向量的數(shù)量積公式，可得（+）?BC二0，這說明IABIcosBIACIcosCABAC+所在直線是BC邊上的高所在直線，從而它一定通過△ABC的垂心.IABIcosBIACIcosCABAC例：若動點(diǎn)P滿足OP=OA+九（+）,九〉0,則點(diǎn)P軌跡一定通過AABC的IABIcosBIACIcosC（）A、外心B、內(nèi)心C、垂心D、重心??????例2?點(diǎn)O是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA?OB二OB?OC二OC?OA，則點(diǎn)O是AABC的（）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)AAAA*>■?-?-思路分析：由OA?OB二OB?